塑性力學例題課件

第九章塑性力學簡單實例第九章塑性力學簡單實例1§9-1彈塑性彎曲和扭轉問題一、梁的純彎曲如圖所示等截面梁,橫截面y和z兩個對稱軸,x是梁的縱軸,純彎曲發(fā)生在xoy平面內.§9-1彈塑性彎曲和扭轉問題一、梁的純彎曲如圖所示等截2基本關系式按照梁的初等彎曲理論:平截面和小變形,并且材料不可壓縮,即,它們的應力和應變表示為截面上的應力分布情況(是梁的中性面到彈塑性分界面的距離):梁截面上要滿足的條件基本關系式按照梁的初等彎曲理論:平截面和小變形,并且材31.對于理想彈塑性材料截面上的彎矩是是彈性區(qū)對中性軸的慣性矩,塑性區(qū)對中性軸的靜矩.1.對于理想彈塑性材料截面上的彎矩是是彈性區(qū)4彈性區(qū)的高度,梁的撓度和梁的曲率半徑.可以通過梁的彎矩公式來確定.可以由梁軸的撓度方程來定,即在處有可以由撓度和曲率半徑的關系得到,即彈性區(qū)的高度,梁的撓度和梁的曲率半徑5例1如果梁截面是矩形,高為,寬為,彎矩和曲率半徑.根據(jù)上面的公式求出截面慣性矩,靜矩和彎矩.例1如果梁截面是矩形,高為,寬為,6彈性極限彎矩,將代入上式得到塑性極限彎矩,將代入前式得到曲率半徑和彎矩的關系.彈性極限時的曲率半徑令其為梁屈服前的曲率半徑和彎矩的關系彈性極限彎矩,將代入上式7殘余應力梁在塑性極限以后全部卸載,則在梁截面內要發(fā)生殘余應力.利用卸載定理,即卸載時的彎矩改變量按彈性計算應力的改變量,然后卸載時的應力減去這個改變量得到殘余應力.即由材料力學公式得到則殘余應力為殘余應力梁在塑性極限以后全部卸載,則在梁截面內要發(fā)生8塑性力學例題課件92.線性硬化彈塑性材料2.線性硬化彈塑性材料10梁的線性硬化材料的彈塑性性質和梁截面的應力分布如上圖.那么截面彎矩的表達式為彈性區(qū)對中性軸的慣性矩.塑性區(qū)對中性軸下靜矩.塑性區(qū)對中性軸的慣性矩.梁的線性硬化材料的彈塑性性質和梁截面的應力分布如上圖.那么截11例2如果截面為的矩形,則將這些代入彎矩表達式得到例2如果截面為的矩形,則將這些代入12二、梁的橫向彎曲注意兩點:第一,忽略擠壓應力和剪應力,純彎曲的結果基本上可以用;第二,在純彎曲時有些梁只與y軸有關,而橫向彎曲它們還與x軸有關.截面應力為另外截面應力還要滿足下面條件:二、梁的橫向彎曲注意兩點:第一,忽略擠壓應力和剪應力,13例3分析均布荷載作用下的矩形截面簡支梁,材料為理想彈塑性.應力分布與純彎曲情況相同,只是隨變化.截面彎矩為它還要等于外荷載引起的彎矩整理得到與的變化規(guī)律表明彈塑性區(qū)的交界線時雙曲線.如圖紅線所示.A和B為:例3分析均布荷載作用下的矩形截面簡支梁,材料為理想彈塑性14其中是梁的彈性極限荷載,令和得到梁的塑性極限荷載可令和得到這樣此時,梁中截面全部進入塑性狀態(tài),上圖的深黃色線表示.相當于在中截面安置一只鉸,稱為塑性鉸.塑性鉸的出現(xiàn),梁變?yōu)閹缀慰蓜拥?使梁喪失了繼續(xù)承載的能力.其中是梁的彈性極限荷載,令15三、壓桿的塑性失穩(wěn)塑性失穩(wěn)問題的提出.從壓桿彈性失穩(wěn)的Euler臨界荷載公式可以看出,有效長度越短,壓桿隨壓曲應力就會增加.因此,在短柱情況下有可能壓縮應力超過屈服應力以后才會失穩(wěn).這就是壓桿塑性失穩(wěn).這時的臨界荷載要低于按彈性計算的臨界荷載.對壓桿塑性失穩(wěn)的計算要點.當壓桿進入塑性用塑性模量代替Euler臨界荷載公式中的彈性模量來計算臨界荷載固然可以,但這是臨界荷載的下限.從失穩(wěn)過程看,截面的凸側部分()壓縮應力減少而引起卸載,要服從彈性規(guī)率;而截面的凹側部分()應力增加是加載過程,要服從塑性規(guī)律,所以失穩(wěn)過程截面即不能用塑性模量,更不能用彈性模量.我們需要計算折減模量.根據(jù)彈性力學的分析,壓桿彈性失穩(wěn)的Euler臨界荷載為三、壓桿的塑性失穩(wěn)塑性失穩(wěn)問題的提出.從壓桿彈性失穩(wěn)的16通過上面分析,我們應該注意加載區(qū)和卸載區(qū)引起的附加應力和附加應變的情況.由于平截面假定,壓曲時附加應變?yōu)?注意坐標軸的選取):這樣引起的附加應力為根據(jù)Engesser和Karman的意見,壓桿在壓曲時軸力不變,所以式中和是面積和對分界線()的靜矩.由此可以確定分界線的位置(即確定).通過上面分析,我們應該注意加載區(qū)和17另外,壓曲是桿的彎矩為式中稱為折減模量,或稱Engesser-Karman模量我們用這個折減模量來代替Euler臨界荷載中的彈性模量就可以得到壓桿塑性失穩(wěn)的臨界荷載.例題4-4計算矩形截面的折減模量.解:設加載區(qū)和卸載區(qū)的高度分別為和,即有代入前面的公式得到所以另外,壓曲是桿的彎矩為式中稱為折減模量,或稱Engess18注意:許多實驗結果表明,荷載低于本節(jié)給出的塑性失穩(wěn)的臨界荷載就會失穩(wěn).這是因為在桿發(fā)生壓曲的同時可能伴隨荷載的增量,這樣在截面上不存在卸載區(qū),此時必需采用來代替.4-4圓桿的塑性扭轉問題的提出:等截面長圓桿的兩端,作用有大小相等,方向相反的扭矩時的扭轉問題.假定:1)截面的直徑在變形過程中沒有彎曲及伸縮;2)原來的截面變形后仍為圓形平面(平截面假定);3)任意兩個截面變形后距離不變而只發(fā)生相對轉動(稱為扭角).根據(jù)上述假定,橫截面上任意一點的位移矢量是在橫截面內并且垂直于該點的半徑,而任意兩個橫截面的相對扭角正比于它們之間的距離.注意:許多實驗結果表明,荷載低于本節(jié)給出的塑性失穩(wěn)的臨界19圓桿的位移,應變和應力采用圓柱坐標,位移分量為:其中為單位長度扭角.應變,其它為零.應力除(它的大小與有關,是的函數(shù))不等于零外,其它為零.注意:這個問題滿足簡單加載條件.另外,應力滿足平衡條件,也滿足圓桿側面的邊界條件.根據(jù)Saint-Venant原理桿兩端的邊界條件可以只在合力方面得到滿足.圓桿的位移,應變和應力采用圓柱坐標,位移分量為:其中20桿的兩端的邊界條件可以寫成如果知道具體的,就可以積分.現(xiàn)在假定材料是理想彈塑性的,見圖.1)求彈塑性交界面交界面的半徑為應力分布圖殘余應力桿的兩端的邊界條件可以寫成如果知道具體的212)扭矩和的關系:3)彈性極限扭角():彈性極限扭矩為4)塑性極限扭角():那么有5)殘余應力在作用下,按彈性計算得到由卸載前的應力減去上式的剪應力得到殘余應力.見前頁圖.2)扭矩和的關系:3)彈性極限扭角(224-5非圓截面桿的塑性極限扭矩在圓桿的彈塑性扭轉中,截面上的最大剪應力產生在距圓心最遠處的外邊界上,且在扭轉過程中截面無翹曲.對于非圓截面桿件,前述兩個結論不適用.此時桿件截面將發(fā)生翹曲,及扭轉中橫截面不再保持平面,但剛性轉動的假定仍然成立,而因此得到的最大剪應力產生在距形心最近處.先討論非圓截面桿的彈性扭轉.1.彈性分析1)位移法采用直角坐標系,以表示桿的單位長度的扭角,則非圓截面桿件在扭轉時的位移分量為:表示各截面的翹曲形狀,稱為翹曲函數(shù),是待定的.這里采用等翹曲假定.4-5非圓截面桿的塑性極限扭矩在圓桿的彈塑性扭轉中,截面23代入幾何方程得到再代入廣義Hooke定律得到將它們代入下面的平衡方程得翹曲函數(shù)要滿足調和方程:滿足邊界條件:在側面:在兩端:邊界條件為代入幾何方程得到再代入廣義Hooke定律得到將它們代入下面的24由此可以得到上面可以先求解翹曲函數(shù),然后求,最后求應力應變和位移.2)應力函數(shù)方法.引入扭轉應力函數(shù),使得上面兩式分布對y和x求導然后相加得到考慮邊界條件:在周邊上有所以在周邊上對于實心桿由此可以得到上面可以先求解翹曲函數(shù),然后求25在兩端有根據(jù)上面分析,求解扭轉問題的應力函數(shù)法的步驟是:a)先求應力函數(shù)b)求應力分量,和應變分量.再求總應力,即即總剪應力等于的梯度的絕對值.c)再求位移u,v和翹曲函數(shù),再求w.在兩端有根據(jù)上面分析,求解扭轉問題的應力函數(shù)法的步驟是:a)262.塑性極限分析在扭矩達到時,在截面上一點開始屈服,那么稱為彈性極限扭矩.如果整個截面處于塑性狀態(tài),桿為理想塑性材料,則桿的承載能力已經(jīng)達到極限,這時扭矩稱為塑性極限扭矩.