第四章-復(fù)變函數(shù)與積分變換課件

第四章級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換第四章級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)列的極限二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)列的極限二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念.)(￥??naxnlim=￥?axnn，或記為的極限，恒成立,則稱>Nn時(shí)，當(dāng)(無(wú)論有多小)，如果對(duì)于a是一個(gè)實(shí)數(shù)。是一個(gè)數(shù)列，設(shè)a為數(shù)列此時(shí)稱數(shù)列收斂;若數(shù)列極限不存在稱數(shù)列是發(fā)散的.回憶：實(shí)數(shù)數(shù)列的極限.)(￥??naxnlim=￥?axnn，或記為的極限，恒成n>NNO,有些點(diǎn)在條形域外面！●●●●●●●●●●●●●●●●●●數(shù)列極限的幾何意義OK!N找到了！！n>NNO,●●●●●●●●●●●●●●●●●●數(shù)列極限的幾Ne越來(lái)越小，N越來(lái)越大！Ne越來(lái)越小，N越來(lái)越大！一、復(fù)數(shù)列的極限1.定義記作一、復(fù)數(shù)列的極限1.定義記作2.復(fù)數(shù)列收斂的條件證從而有所以同理2.復(fù)數(shù)列收斂的條件證從而有所以同理反之,如果從而有該定理說(shuō)明:可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性.[證畢]反之,如果從而有該定理說(shuō)明:可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別下列數(shù)列是否收斂,如果收斂,求出其極限.而解

例1所以數(shù)列發(fā)散.下列數(shù)列是否收斂,如果收斂,求出其極限.而解例1所以數(shù)課堂練習(xí):下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.發(fā)散課堂練習(xí):下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.發(fā)散二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.定義表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù).其最前面n

項(xiàng)的和稱為級(jí)數(shù)的部分和.部分和設(shè)為一個(gè)復(fù)數(shù)列.二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.定義表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù).其最前收斂與發(fā)散說(shuō)明:

與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是:收斂與發(fā)散說(shuō)明:與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同,第四章——復(fù)變函數(shù)與積分變換課件2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的條件證定理說(shuō)明

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問(wèn)題實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問(wèn)題(定理)則2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的條件證定理說(shuō)明復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問(wèn)題實(shí)數(shù)例2解例2解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.課堂練習(xí)所以原級(jí)數(shù)收斂.(1)所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.課堂練習(xí)所以原級(jí)數(shù)收斂.(1)級(jí)數(shù)收斂的必要條件重要結(jié)論:級(jí)數(shù)收斂的必要條件重要結(jié)論:不滿足必要條件,所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.啟示:判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí),可先考察?級(jí)數(shù)發(fā)散;應(yīng)進(jìn)一步判斷.不滿足必要條件,所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.啟示:判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí),3.絕對(duì)收斂與條件收斂注：可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法.定理證由于而根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較準(zhǔn)則,知3.絕對(duì)收斂與條件收斂注：可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法.定理證由非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂級(jí)數(shù).說(shuō)明如果

收斂,那么稱級(jí)數(shù)

為絕對(duì)收斂.定義所以綜上:非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂級(jí)數(shù).說(shuō)明如果例3故原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.因?yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知:解例3故原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.因?yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值判故原級(jí)數(shù)收斂.所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.例4解故原級(jí)數(shù)收斂.所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.例4解§4.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)的斂散性三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)§4.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)的斂散性一、冪級(jí)數(shù)的概念

1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義其中各項(xiàng)在區(qū)域

D內(nèi)有定義.表達(dá)式稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),記作

一、冪級(jí)數(shù)的概念

1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)稱為這級(jí)數(shù)的部分和.

級(jí)數(shù)最前面n項(xiàng)的和和函數(shù)稱為這級(jí)數(shù)的部分和.級(jí)數(shù)最前面n項(xiàng)的和和函數(shù)稱為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,那么它的和一定稱為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,那么例1

求級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級(jí)數(shù)的部分和為級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂范圍為一單位圓域且有例1求級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級(jí)數(shù)的部分和為級(jí)數(shù)收斂,2.冪級(jí)數(shù)當(dāng)或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形或這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).為簡(jiǎn)便，以下討論冪級(jí)數(shù).2.冪級(jí)數(shù)當(dāng)或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形或這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).為二、冪級(jí)數(shù)的斂散性

1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級(jí)數(shù)在收斂,那么對(duì)的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂,如果在級(jí)數(shù)發(fā)散,那么對(duì)滿足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿足阿貝爾介紹二、冪級(jí)數(shù)的斂散性

1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級(jí)第四章——復(fù)變函數(shù)與積分變換課件第四章——復(fù)變函數(shù)與積分變換課件2.收斂圓與收斂半徑（1）對(duì)所有的復(fù)數(shù)都收斂.（2）對(duì)所有的復(fù)數(shù)，除z=0外都發(fā)散.例如，級(jí)數(shù)通項(xiàng)不趨于零,故級(jí)數(shù)發(fā)散.對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù),其收斂的情況有三種:2.收斂圓與收斂半徑（1）對(duì)所有的復(fù)數(shù)都收斂.（2）對(duì)所..收斂圓收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域..（3）既存在使級(jí)數(shù)收斂的復(fù)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的復(fù)數(shù).由阿貝爾定理，則存在正數(shù)R，..收斂圓收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域..（答案:

冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問(wèn)題1:

在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意問(wèn)題2:冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?答案:冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問(wèn)題1:3.收斂半徑的求法方法1：（比值法）那么收斂半徑方法2：（根值法）那么收斂半徑說(shuō)明:如果收斂半徑公式可記為冪級(jí)數(shù)3.收斂半徑的求法方法1：（比值法）那么收斂半徑方法2：（例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時(shí)的情形)或解(1)例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形所以收斂半徑即原級(jí)數(shù)在圓內(nèi)收斂,在圓外發(fā)散,收斂的級(jí)數(shù)所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周上,級(jí)數(shù)所以收斂半徑即原級(jí)數(shù)在圓內(nèi)收斂,在圓外發(fā)散,收斂的級(jí)數(shù)說(shuō)明：在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),也有級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).原級(jí)數(shù)成為交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂.發(fā)散.原級(jí)數(shù)成為調(diào)和級(jí)數(shù)，解(2)(并討論時(shí)的情形)說(shuō)明：在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),也有原級(jí)數(shù)成為交錯(cuò)級(jí)數(shù)所以收斂半徑為例3求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:解所以收斂半徑為例3求冪級(jí)數(shù)解例4求的收斂半徑.解例4求的收斂半徑答案課堂練習(xí)試求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.因?yàn)樗怨适諗堪霃酱鸢刚n堂練習(xí)試求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.因?yàn)樗怨适諗堪霃饺?、冪?jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

1.冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

1.冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算2.冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算如果當(dāng)時(shí),又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那么當(dāng)時(shí),說(shuō)明:此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).2.冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算如果當(dāng)時(shí),又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那定理設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為那么(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到,是收斂圓內(nèi)部的解析函數(shù)

.(1)3.復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)定理設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為那么(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,簡(jiǎn)言之:在收斂圓內(nèi),冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析;冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分.(常用于求和函數(shù))即(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,簡(jiǎn)言之:在收斂圓內(nèi),冪級(jí)例5把函數(shù)表成形如的冪級(jí)數(shù),其中是不相等的復(fù)常數(shù).解把函數(shù)寫成如下的形式:代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出例5把函數(shù)表成形如的冪級(jí)數(shù),其中是不相等的復(fù)常數(shù).解把函級(jí)數(shù)收斂,且其和為級(jí)數(shù)收斂,且其和為第四章——復(fù)變函數(shù)與積分變換課件作業(yè)：

第四章習(xí)題

6（1）（3）（5）作業(yè)：第四章習(xí)題阿貝爾資料

非凡的數(shù)學(xué)家

——阿貝爾Died:6April1829inFroland,NorwayNielsAbelBorn:5Aug1802inFrindoe,Norway

阿貝爾資料非凡的數(shù)學(xué)家Died:6April182

阿貝爾（1802-1829）挪威數(shù)學(xué)家。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸）教區(qū)窮牧師的六個(gè)孩子之一。盡管家里很貧困，父親還是在1815年把阿貝爾送進(jìn)克里斯蒂安尼亞的一所中學(xué)里讀書，15歲時(shí)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師洪堡發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)學(xué)天才，對(duì)他給予指導(dǎo)。16歲時(shí)阿貝爾寫了一篇解方程的論文。丹麥數(shù)學(xué)家戴根看過(guò)這篇論文后，為阿貝爾的數(shù)學(xué)才華而驚嘆，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界正興起對(duì)橢圓積分的研究，于是他給阿貝爾回信寫到：“...與其著手解決被認(rèn)為非常難解的方程問(wèn)題，不如把精力和時(shí)間投入到對(duì)解析學(xué)和力學(xué)的研究上。例如，橢圓積分就是很好的題目，相信你會(huì)取得成功...”。于是阿貝爾開始轉(zhuǎn)向?qū)E圓函數(shù)的研究。阿貝爾（1802-1829）挪威數(shù)學(xué)家。是克里斯蒂安

阿貝爾18歲時(shí)，父親去世，這使生活更加貧困。1821年在洪堡老師的幫助下，阿貝爾進(jìn)入克里斯蒂安尼亞大學(xué)。1823年，他發(fā)表了第一篇論文，開了研究積分方程的先河。1824年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問(wèn)題。這一論文也寄給了高斯，但是高斯連信都未開封。

1825年，他去柏林，結(jié)識(shí)了業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者克萊爾。他建議克萊爾創(chuàng)辦了著名數(shù)學(xué)刊物《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》。這個(gè)雜志頭三卷發(fā)表了阿貝爾22篇包括方程論、無(wú)窮級(jí)數(shù)、橢圓函數(shù)論等方面的論文。

阿貝爾18歲時(shí)，父親去世，這使生活更加貧困。1821

1826年，阿貝爾來(lái)到巴黎，會(huì)見(jiàn)了柯西、勒讓德、狄利赫萊等，但人們并沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)到他的天才。阿貝爾又太靦腆，不好意思在陌生人面前談?wù)撍睦碚?，但他仍然?jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)的研究工作。撰寫了“關(guān)于一類極廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)”的論文，提交給巴黎科學(xué)院。阿貝爾在給洪堡的信中，非常自信地說(shuō)：“...已確定在下個(gè)月的科學(xué)院例會(huì)上宣讀我的論文,由柯西審閱,恐怕還沒(méi)有來(lái)得及過(guò)目。不過(guò)，我認(rèn)為這是一件非常有價(jià)值的工作，我很想能盡快聽到科學(xué)院權(quán)威人士的意見(jiàn)，現(xiàn)在正昂首以待...?！?/p>

1826年，阿貝爾來(lái)到巴黎，會(huì)見(jiàn)了柯西、勒讓德、狄

可是，負(fù)責(zé)給阿貝爾審稿的柯西把論文放進(jìn)抽屜里，一放了之（這篇論文原稿于1952年在佛羅倫薩重新發(fā)現(xiàn)）。阿貝爾等到年末，了無(wú)音信。一氣之下離開了巴黎，在柏林作短暫停留之后于1827年5月20日回到了挪威。由于過(guò)渡疲勞和營(yíng)養(yǎng)不良，在旅途上感染了肺結(jié)核。這在當(dāng)時(shí)是不治之癥。當(dāng)阿貝爾去弗魯蘭與女朋友肯普（ChristineKemp）歡度圣誕節(jié)時(shí)，身體非常虛弱，但他一邊與病魔作斗爭(zhēng)一邊繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。他原希望回國(guó)后能被聘為大學(xué)教授，但是他的可是，負(fù)責(zé)給阿貝爾審稿的柯西把論文放進(jìn)抽屜里，一

這一希望又一次落空。他靠給私人補(bǔ)課謀生，一度當(dāng)過(guò)代課教師。阿貝爾和雅可比是公認(rèn)的橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始人。這一理論很快就成為十九世紀(jì)分析中的重要領(lǐng)域之一，他對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)物理以及代數(shù)幾何有許多應(yīng)用。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性。此外，在交換群、二項(xiàng)級(jí)數(shù)的嚴(yán)格理論、級(jí)數(shù)求和等方面都有巨大的貢獻(xiàn)。在這個(gè)時(shí)候，阿貝爾的名聲隨著克萊爾雜志的廣泛發(fā)行而傳遍了歐洲的所有數(shù)學(xué)中心。雅可比看見(jiàn)這篇橢圓函數(shù)的論文，而且知道了巴黎科學(xué)院所作的蠢事之后，非常吃驚，在1829年3月14日寫信給巴黎科學(xué)院表示抗議：“...這在我們生活的這個(gè)世紀(jì)中，恐怕是數(shù)學(xué)中最重要的發(fā)現(xiàn)，雖然向‘老爺們’的研究院提交此論文達(dá)兩年之久，但一直沒(méi)有得到諸位先生的注意，這是為什么呢？...”。這一希望又一次落空。他靠給私人補(bǔ)課謀生，一度當(dāng)過(guò)

由于阿貝爾身處孤陋寡聞之地，對(duì)于這一切一無(wú)所知。阿貝爾的病情不斷發(fā)展，甚至連醫(yī)生也束手無(wú)策了。

1829年4月5日夜間，阿貝爾的病情急劇惡化，于4月6日上午11點(diǎn)去世。作為命運(yùn)捉弄人的是，在他死后的第二天，克萊爾寫信給阿貝爾“...我國(guó)教育部決定招聘您為柏林大學(xué)教授...，一個(gè)月之內(nèi)就能發(fā)出招聘書...?！边@封信還提到，希望阿貝爾能盡量用最好的藥物治療，不要考慮費(fèi)用支出。他的親人們聽到這一消息，禁不住淚流滿面。第四章——復(fù)變函數(shù)與積分變換課件§4.3泰勒級(jí)數(shù)一、問(wèn)題的引入二、泰勒定理三、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)§4.3泰勒級(jí)數(shù)一、問(wèn)題的引入二、泰勒定理三、將函數(shù)一、問(wèn)題的引入問(wèn)題:任一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)？如圖:.內(nèi)任意點(diǎn).K.一、問(wèn)題的引入問(wèn)題:任一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)？如圖由柯西積分公式,有其中K取正方向.則..K.由柯西積分公式,有其中K取正方向.則..K.第四章——復(fù)變函數(shù)與積分變換課件由高階導(dǎo)數(shù)公式,上式又可寫成其中可知在K內(nèi)由高階導(dǎo)數(shù)公式,上式又可寫成其中可知在K內(nèi)令則在K上連續(xù),則存在一個(gè)正常數(shù)M,令則在K上連續(xù),則存在一個(gè)正常數(shù)M,在內(nèi)成立,從而在K內(nèi)圓周的半徑還可以增大,只要內(nèi)即可.在的泰勒展開式．在泰勒級(jí)數(shù)稱為如果到的邊界上各點(diǎn)的最短距離為那么在的泰勒展開式在內(nèi)成立．由上討論得重要定理——泰勒展開定理特別地，在內(nèi)成立,從而在K內(nèi)圓周的半徑還可以增大,只要內(nèi)即可二、泰勒定理其中泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開式定理為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離,設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,為

內(nèi)的一點(diǎn),成立,泰勒介紹時(shí),當(dāng)那么.R二、泰勒定理其中泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開式定理為到的邊界上各點(diǎn)的最短說(shuō)明:1.由泰勒定理，復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)時(shí)弱得多;(想一想,為什么?)yxz0aO說(shuō)明:1.由泰勒定理，復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)那么即因此,任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù),因而是唯一的.3.解析函數(shù)在一點(diǎn)處的冪級(jí)數(shù)展開式是唯一的．事實(shí)上,4.由泰勒定理及冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)得:函數(shù)在一點(diǎn)解析的充要條件是它在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)可以展開為冪級(jí)數(shù)．那么即因此,任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù)三、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)常用方法:

直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù)三、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)常用方法:直接法和間接法.1.直接例如，故有1.直接法:例如，故有1.直接法:仿照上例,仿照上例,2.間接展開法:

借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式.間接法的優(yōu)點(diǎn):

不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡(jiǎn)潔,使用范圍也更為廣泛.2.間接展開法:借助于一些已知函數(shù)的展例如，例如，例1解上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),例1解上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),例2分析如圖,例2分析如圖,即

將展開式兩端沿C逐項(xiàng)積分,得解即將展開式兩端沿C逐項(xiàng)積分,得解例3解例3解例4解例4解例5解例5解例6求冪函數(shù)(a為復(fù)數(shù))的主值支在z=0點(diǎn)的Taylor展開式.實(shí)軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析.因此在內(nèi),可展開為z的冪級(jí)數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,按照直接方法展開如下:

顯然,在復(fù)平面中割去從點(diǎn)-1沿負(fù)例6求冪函數(shù)(a為復(fù)數(shù))的主值支在z=0點(diǎn)的Taylo令z=0,有令z=0,有于是于是附:常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開式附:常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開式第四章——復(fù)變函數(shù)與積分變換課件例6解利用微分方程法

對(duì)上式求導(dǎo)得例6解利用微分方程法對(duì)上式求導(dǎo)得由此可得故由此可得故小結(jié)與思考

通過(guò)本課的學(xué)習(xí),應(yīng)理解泰勒展開定理,熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法,能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù).思考題奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題答案

奇函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含z的奇次冪項(xiàng),偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含z的偶次冪項(xiàng).小結(jié)與思考通過(guò)本課的學(xué)習(xí),應(yīng)理解泰勒展開定作業(yè)：

第四章習(xí)題

11.(1)(2)(3)12.(1)(2)(3)作業(yè)：第四章習(xí)題泰勒資料

非凡的數(shù)學(xué)家

——泰勒BrookTaylorBorn:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,EnglandDied:29Dec1731inSomersetHouse,London,England泰勒資料非凡的數(shù)學(xué)家BrookTaylorBorn:1泰勒定理其中泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開式定理為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離,設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,為

內(nèi)的一點(diǎn),成立,時(shí),當(dāng)那么.R泰勒定理其中泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開式定理為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離§4.4洛朗級(jí)數(shù)一、問(wèn)題的引入二、洛朗級(jí)數(shù)的概念三、函數(shù)的洛朗展開式§4.4洛朗級(jí)數(shù)一、問(wèn)題的引入二、洛朗級(jí)數(shù)的概念三、函一、問(wèn)題的引入問(wèn)題:負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分解析部分同時(shí)收斂收斂一、問(wèn)題的引入問(wèn)題:負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分解析部分同時(shí)收斂半徑收斂域收斂半徑兩收斂域無(wú)公共部分．兩收斂域有公共部分H:R

HR2z0R1收斂半徑收斂域收斂半徑兩收斂域無(wú)公共部分．兩收斂域有公共部分結(jié)論:.常見(jiàn)的特殊圓環(huán)域:...在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否能展開成雙邊冪級(jí)數(shù)?結(jié)論:.常見(jiàn)的特殊圓環(huán)域:...在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否能展二、洛朗級(jí)數(shù)的概念定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞

的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線.為洛朗系數(shù).洛朗級(jí)數(shù)洛朗展開式R2R1二、洛朗級(jí)數(shù)的概念定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞的任一正向簡(jiǎn)單閉說(shuō)明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級(jí)數(shù).1)2)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù).3)絡(luò)朗級(jí)數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi),其和函數(shù)是解析的,而且是可以逐項(xiàng)求積分和逐項(xiàng)求導(dǎo).說(shuō)明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laure三、函數(shù)的洛朗展開式1.直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)然后寫出根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開.2.間接展開法三、函數(shù)的洛朗展開式1.直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)然后例1解本例中z=0既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),例1解本例中z=0既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),解

練習(xí)解練習(xí)例2內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù).解xyO1xyO12xyO2例2內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù).解xyO1xyO12xyO2oxy1oxy112oxy由12oxy由2oxy由2oxy由注意:奇點(diǎn)但卻不是函數(shù)的奇點(diǎn).本例中圓環(huán)域的中心是各負(fù)冪項(xiàng)的說(shuō)明:1.函數(shù)在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中盡管含有的負(fù)冪項(xiàng),而且又是這些項(xiàng)的奇點(diǎn),但是可能是函數(shù)的奇點(diǎn),也可能的奇點(diǎn).不是注意:奇點(diǎn)但卻不是函數(shù)的奇點(diǎn).本例中圓環(huán)域的中心是各負(fù)冪項(xiàng)2.給定了函數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)以后,域內(nèi)解析，則在各個(gè)不同