第六節(jié)　函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù)的應(yīng)用

第六節(jié)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及

三角函數(shù)的應(yīng)用第五章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.結(jié)合具體實(shí)例,了解y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際意義;能借助圖象理解參數(shù)A,ω,φ的意義,了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響.2.會(huì)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題,體會(huì)可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的有關(guān)概念

微思考

如圖所示為函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖象.利用零點(diǎn)代入求φ時(shí),ωx1+φ,ωx2+φ取哪些值?提示

若利用x1這樣的零點(diǎn)(圖象經(jīng)過(x1,0)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減)代入求φ的值,應(yīng)令ωx1+φ=π+2kπ(k∈Z);而如果利用x2這樣的零點(diǎn)(圖象經(jīng)過(x2,0)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增)代入求φ的值,應(yīng)令ωx2+φ=2kπ(k∈Z),應(yīng)注意區(qū)分,不能籠統(tǒng)地令ωx+φ=kπ(k∈Z).3.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖象的兩種方法.主要指平移變換(相位變換)和伸縮變換(周期變換、振幅變換)常用結(jié)論1.三角函數(shù)圖象的平移規(guī)則是“左加右減”“上加下減”.2.在函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,若其最大值、最小值分別為M,m,自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)√×3.由y=sinωx(ω>0)的圖象平移得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的圖象,只能向左平移,不能向右平移.(

)××題組二

雙基自測(cè)答案

C解析

依題意,應(yīng)把圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的

倍,橫坐標(biāo)不變.6.

某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5cm,秒針繞點(diǎn)O勻速旋轉(zhuǎn),當(dāng)時(shí)間t=0時(shí),點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合.將A,B兩點(diǎn)間的距離d(單位:cm)表示成t(單位:s)的函數(shù),則d=

,t∈[0,60].

研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及其應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))考向1函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換

答案

(1)D

(2)B答案

D答案

A規(guī)律方法

三角函數(shù)圖象變換的關(guān)鍵點(diǎn)三角函數(shù)的平移變換問題類型多、情況復(fù)雜、技巧性強(qiáng),在解題時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤,破解此類題的關(guān)鍵如下:(1)定函數(shù):一定要看準(zhǔn)是將哪一個(gè)函數(shù)的圖象變換得到哪一個(gè)函數(shù)的圖象.(2)變同名:變換前后函數(shù)的名稱要一樣.(3)選方法:即選擇變換方法.要注意:對(duì)于函數(shù)y=sin

ωx(ω>0)的圖象,向左平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的是函數(shù)y=sin[ω(x+|φ|)]的圖象,而不是函數(shù)y=sin(ωx+|φ|)的圖象.考向2由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象確定解析式

答案

C規(guī)律方法

根據(jù)圖象求函數(shù)解析式的解法要點(diǎn)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象求其解析式時(shí),關(guān)鍵是求ω和φ,常用如下兩種方法:(1)由T可求出ω;確定φ時(shí),若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0,則令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.(2)代入圖象中已知點(diǎn)的坐標(biāo),利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn))的坐標(biāo)或零點(diǎn)代入解析式,再結(jié)合圖象解出ω和φ,若對(duì)A,ω的符號(hào)或?qū)Ζ盏娜≈捣秶幸?則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(多選)(2023·江蘇徐州高三模擬)已知函數(shù)f(x)=Acos(2x+φ)-1(A>0,0<φ<π),若函數(shù)y=|f(x)|的部分圖象如圖所示,則關(guān)于函數(shù)g(x)=Asin(Ax-φ),下列結(jié)論正確的是(

)答案

BC考向3函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的應(yīng)用例題(2022·山東濟(jì)南三模)已知函數(shù)f(x)=sinx+sin2x在(0,a)上有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的最大值為(

)答案

C(方法2)由f(x)=sin

x+sin

2x=0得sin

2x=-sin

x,在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=sin

2x,y=-sin

x的圖象(如下圖),由圖象可知,要使兩個(gè)函數(shù)圖象在(0,a)上有4個(gè)交點(diǎn),實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足規(guī)律方法

利用三角函數(shù)圖象解決方程根或零點(diǎn)問題的方法(1)研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在給定區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí),仍然采用整體換元的方法,將ωx+φ作為一個(gè)整體,結(jié)合函數(shù)的周期性確定ωx+φ的范圍,從而解決問題.(2)將方程的根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,結(jié)合三角函數(shù)的周期性,建立不等式組進(jìn)行求解.解析

如圖,記A,B,C為連續(xù)三交點(diǎn)(不妨設(shè)點(diǎn)B在x軸下方),D為AC的中點(diǎn).由對(duì)稱性可得△ABC是以∠B為頂角的等腰三角形,考點(diǎn)二三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用例題(2023·遼寧沈陽(yáng)高三月考)水車是古代中國(guó)勞動(dòng)人民發(fā)明的灌溉工具,體現(xiàn)了中華民族的創(chuàng)造力.如圖是水車示意圖,其半徑為6m,中心O距水面3m,一水斗從水面處的點(diǎn)P0處出發(fā),逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn),80s轉(zhuǎn)動(dòng)一周,經(jīng)t(單位:s)后,水斗第一次旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P處,此時(shí)水斗距離水面高度為h(單位:m).(1)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以過點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,試將點(diǎn)P距離水面的高度h表示為時(shí)間t的函數(shù);(2)此水斗經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間后再次到達(dá)水面?在旋轉(zhuǎn)一周的過程中,水斗位于水下的時(shí)間是多少?規(guī)律方法

三角函數(shù)模型的應(yīng)用類型及解題策略(1)給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型,根據(jù)所給模型,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),解決一些實(shí)際問題.(2)給定呈周期變化的圖象,利用待定系數(shù)法求出函數(shù),再解決其他問題.(3)搜集一個(gè)實(shí)際問題的調(diào)查數(shù)據(jù),根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,通過擬合函數(shù)圖象,求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)式,進(jìn)一步用函數(shù)性質(zhì)來解決相應(yīng)的實(shí)際問題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練海水受日月的引力,在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表:時(shí)刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米4.56.54.52.54.56.54.52.54.5(1)已知該港口的水深y與時(shí)間x滿足函數(shù)y=Acos(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,b>0,-π<φ<π),畫出函數(shù)圖象,并求出函數(shù)解析式.(2)現(xiàn)有一條貨船的吃