2023年專升本高數(shù)復(fù)習(xí)資料全

第一章極限和連續(xù)

第一節(jié)極限

［復(fù)習(xí)考試規(guī)定］

1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作規(guī)定）。會求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了

解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充足必要條件。

2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會進(jìn)行無窮小量階的比較

（高階、低階、同階和等價(jià)）。會運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。

4.純熟掌握用兩個重要極限求極限的方法。

第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

［復(fù)習(xí)考試規(guī)定］

1.理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函

數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。

2.會求函數(shù)的間斷點(diǎn)。

3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡樸命題。

4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會運(yùn)用函數(shù)連續(xù)性求極限。

第二章一元函數(shù)微分學(xué)

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分

［復(fù)習(xí)考試規(guī)定］

】?理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

2.會求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。

3.純熟掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。

4.掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對數(shù)求導(dǎo)法。會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

5.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會求簡樸函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

6.理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導(dǎo)的關(guān)系，會求函數(shù)的一階微分。

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

［復(fù)習(xí)考試規(guī)定］

1.純熟掌握用洛必達(dá)法則求“髀2'“0?8”、“8-8”型未定式的極限的方法。

2.掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)鑒定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明簡樸的不等式。

3.理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、最大值與最小值的方法，會解簡樸的應(yīng)用題。

4.會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點(diǎn)。

5.會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線

第三章一元函數(shù)積分學(xué)

第一節(jié)不定積分

［復(fù)習(xí)考試規(guī)定］

1.理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。

2.純熟掌握不定積分的基本公式。

3.純熟掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡樸的根式代換）。

4.純熟掌握不定積分的分部積分法。

5.掌握簡樸有理函數(shù)不定積分的計(jì)算。

第二節(jié)定積分及其應(yīng)用

【復(fù)習(xí)考試規(guī)定］

1.理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件

2.掌握定積分的基本性質(zhì)

3.理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。

4.純熟掌握牛頓一萊布尼茨公式。

5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

6.理解無窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

7.掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

第四章多元函數(shù)微分學(xué)

［復(fù)習(xí)考試規(guī)定］

1.了解多元函數(shù)的概念，會求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。

2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。

3.理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求

法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。

4.掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。

5.會求二元函數(shù)的無條件極值和條件極值。

6.會用二元函數(shù)的無條件極值及條件極值解簡樸的實(shí)際問題。

第五章概率論初步

［復(fù)習(xí)考試規(guī)定］

1.了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的基本特點(diǎn)；理解基本領(lǐng)件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。

2.掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對立關(guān)系。

3.理解事件之間并（和）、交（積）、差運(yùn)算的意義，掌握其運(yùn)算規(guī)律。

4.理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計(jì)算。

5.會求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨(dú)立性。

6.了解隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)。

7.理解離散性隨機(jī)變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計(jì)算方法。

8.會求離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)盼望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

第一章極限和連續(xù)

第一節(jié)極限

【復(fù)習(xí)考試規(guī)定］

1.了解極限的概念（對極限定義,等形式的描述不作規(guī)定）。會求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了

解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充足必要條件。

2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會進(jìn)行無窮小量階的比較

（高階、低階、同階和等價(jià)）。會運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。

4.純熟掌握用兩個重要極限求極限的方法。

［重要知識內(nèi)容］

（-）數(shù)列的極限

1.數(shù)列

定義按一定順序排列的無窮多個數(shù)

$.占，…勺?…

稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記作{Xn},數(shù)列中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)Xn為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如

（1）1,3,5,…，（2nd）,…（等差數(shù)列）

（2）；-*?*?（等比數(shù)列）

（3）共‘》言"（遞增數(shù)列）

（4）1,0,1,0,…呼\…（震蕩數(shù)列）

都是數(shù)列。它們的一般項(xiàng)分別為

1n1+(-1)""1

(2n-l)，亍e~~o

對于每一個正整數(shù)n,都有一個Xn與之相應(yīng)，所以說數(shù)列｛Xn｝可看作自變量n的函數(shù)Xn=f(n),它的定義域是全體

正整數(shù)，當(dāng)自變量n依次取1,2,3…一切正整數(shù)時，相應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。

在幾何上，數(shù)列｛Xn｝可看作數(shù)軸上的一個動點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)XLX2，X3，...X”.。

2.數(shù)列的極限

定義對于數(shù)列｛Xn｝,假如當(dāng)n->8時，Xn無限地趨于一個擬定的常數(shù)A,則稱當(dāng)n趨于無窮大時，數(shù)列｛Xn｝以常數(shù)A

為極限，或稱數(shù)列收斂于A,記作四力減L4臣一期

比如：

共’3#,無限的趨向o

拄?言…，無限的趨向1

否則，對于數(shù)列｛Xn｝,假如當(dāng)n-8時，Xn不是無限地趨于一個擬定的常數(shù)，稱數(shù)列｛Xn｝沒有極限，假如數(shù)列沒有極

限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。

比如：1,3,5,(2n-l),-

數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項(xiàng)—依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表達(dá)，若數(shù)列｛Xn｝以A為極限，就表達(dá)當(dāng)n

趨于無窮大時，點(diǎn)Xn可以無限靠近點(diǎn)A,即點(diǎn)Xn與點(diǎn)A之間的距離|Xn-A|趨于0。

比如：

勢**,無限的趨向0

黃9,言…無限的趨向1

(二)數(shù)列極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則

1.數(shù)列極限的性質(zhì)

定理1.1(惟一性)若數(shù)列｛X。收斂，則其極限值必然惟一。

定理1.2(有界性)若數(shù)列｛Xn｝收斂，則它必然有界。

注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。比如：

"(T尸.

I,0,1,0,…▼有界：0,1

2.數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則

定理1.3(兩面夾準(zhǔn)則)若數(shù)列｛Xn｝,｛yn｝,｛Zn｝滿足以下條件：

(])-1.232,

(2)蚣%=地4=",則期寸，

定理1.4若數(shù)列｛XQ單調(diào)有界，則它必有極限。

3.數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。

定理1.5

如果岬仆=4則阱y*=瓦則

(])蚣(々士以)=的"也以=4±3

(2)期X”).媽/)(/穌)B

t4處，

(3)當(dāng)蚣居*°時，…乂馳乂B

(三)函數(shù)極限的概念

1.當(dāng)X-Xo時函數(shù)f(X)的極限

(1)當(dāng)XfXo時f(X)的極限

定義對于函數(shù)y=f(X),假如當(dāng)X無限地趨于X。時，函數(shù)f(x)無限地趨于一個常數(shù)A,則稱當(dāng)X-Xo時，函數(shù)f

(X)的極限是A,記作

處或f(X)fA(當(dāng)XfXo時)

例y=f(x)=2x+i

XTl,f(x)f?

x<lx->l

x…0.90.990.999…-?1

y-2.8Z982.990~^3

x>lx->l

x-1.11.011.001--?1

y-3.23.023.002-^3

(2)左極限

當(dāng)XfXo時f(x)的左極限

定義對于函數(shù)y=f(X),假如當(dāng)x從Xo的左邊無限地趨于Xo時，函數(shù)f(x)無限地趨于一個常數(shù)A,則稱當(dāng)XfXo

時，函數(shù)f(x)的左極限是A,記作

黑”i或f(xo-O)=A

(3)右極限

當(dāng)X—Xo時，f(x)的右極限

定義對于函數(shù)y=f(X),假如當(dāng)x從X。的右邊無限地趨于d時，函數(shù)f(x)無限地趨于一個常數(shù)A,則稱當(dāng)X-Xo

時，函數(shù)f(x)的右極限是A,記作

品如“或f(xo+O)=A

例子：分段函數(shù)

x+lx<0

f(x)=0x=O

.2-1x>0求廓汽X)齡/⑶

解：當(dāng)X從。的左邊無限地趨于。時f(x)無限地趨于一個常數(shù)1。我們稱當(dāng)XfO時，f(x)的左極限是1,即有

場加)?班(x+l)?l

當(dāng)x從0的右邊無限地趨于。時，f(x)無限地趨于一個常數(shù)我們稱當(dāng)X-0時，f(x)的右極限是-1,即有

/網(wǎng)=,則X-1)=1

酵八X"場八力

顯然，函數(shù)的左極限期"㈤右極限期網(wǎng)與函數(shù)的極限既用之間有以下關(guān)系:

定理1.6當(dāng)XfXo時，函數(shù)f(x)的極限等于A的必要充足條件是

裝d如網(wǎng).加)一

反之，假如左、右極限都等于A,則必有螭問”。

x->l時f(x)->?

xr1ah-…I

XfIf岡f2

2

^7=T"攵

對于函數(shù)甘"四，當(dāng)Xfl時，f(x)的左極限是2,右極限也是2。

圖2

2.當(dāng)XT8時，函數(shù)f(X)的極限

(1)當(dāng)XT8時，函數(shù)f(X)的極限

y=f(x)x->oof(x)->?

y=f(x)=l+^

X->oof(X)=l+x->l

ltm(l+—)=1

定《對于函數(shù)y=f(x),假如當(dāng)X-8時，f(x)無限地趨于一個常數(shù)A,則稱當(dāng)X-8時，函數(shù)f(x)的極限是A,

記作

岫阿="或f(x)-A(當(dāng)Xf8時)

(2)當(dāng)X-+8時，函數(shù)f(x)的極限

定義對于函數(shù)y=f(X),假如當(dāng)X-+8時，f(x)無限地趨于一個常數(shù)A,則稱當(dāng)X-+8時，函數(shù)f(x)的極限是

A,記作圾

這個定義與數(shù)列極限的定義基本上同樣，數(shù)列極限的定義中n-+8的n是正整數(shù)；而在這個定義中，則要明確寫

出Xf+8,且其中的X不一定是正整數(shù)，而為任意實(shí)數(shù)。

y=f(x)x->+oof(x)x->?

n+尸

=2+占

x-+8,f(x)=2+7->2

覬(2+尸)-2

例：函數(shù)f(X)=2+ex,當(dāng)X-+8時，f(X)f?

解：f(x)=2+ex=2+^,

x—+8,f(x)=2+7-*2

所以馳

(3)當(dāng)Xf-8時，函數(shù)f(X)的極限

定義對于函數(shù)y=f(X),假如當(dāng)Xf-8時，f(X)無限地趨于一個常數(shù)A,則稱當(dāng)Xf-8時，f(X)的極限是A,

記作

單力)一

X->-oof(x)->?

貝川岡二2+表(xvO)

X—?-ooz-x—>+oo

f(x)=2+合-2

典(2+右”2

例：函數(shù)—表"？當(dāng)XT-8時，f(X)-?

解：當(dāng)X-—8時，-Xf+8

'如"去f2,即有

“.2+亡”2

由上述X-8,X-+8,X--8時，函數(shù)f(X)極限的定義，不難看出：X-8時f(X)的極限是A充足必要條件

是當(dāng)X-+8以及XT-8時，函數(shù)f(X)有相同的極限A。

例如函數(shù)當(dāng)X--8時，f(X)無限地趨于常數(shù)1,當(dāng)Xf+8時，f(X)也無限地趨于同一個常數(shù)1,因此

稱當(dāng)X-8時外"；的極限是1,記作

J^(l+-)-1

其幾何意義如圖3所示。

f岡=1+7

Il吐(I+1)=1

Jim&O+l)-.1

li個(1+—)=!

y=arctanx

l1.un一arctanx=--,ihmarc'tanx=—K

-2i*?2

:…h(huán)marctanx不-r-存-4--在f-r-。

但是對函數(shù)y=circtanx來講，由于有

hmarctanx=--

*-?-?2

hmarctanx=—

*-**?2

即雖然當(dāng)Xf?8時，f(x)的極限存在，當(dāng)Xf+8時，f(x)的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說,

當(dāng)x->8時，y=arctanx的極限不存在。

X)=l+x

ii4(i+l)=i

+.1)=I

1裝(1+1)=1

y=arctanx

litnarctanx=--,hmarctanx=—

T-?2*->*?2

&Maa，不存在。

但是對函數(shù)y=arctanx來講，由于有

litnarctanx=--limarctanx=—

—22

即雖然當(dāng)XT-8時，f(X)的極限存在，當(dāng)Xf+8時，f(X)的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說,

當(dāng)x-*8時，y=arctanx的極限不存在。

(四)函數(shù)極限的定理

定理1.7(惟一性定理)假如理‘⑶存在，則極限值必然惟一。

定理1.8(兩面夾定理)設(shè)函數(shù)/⑸屈?、窃邳c(diǎn)電的某個鄰域內(nèi)格可除外)滿足條件：

(1)9“⑶"⑶，(2)%g(?=腮岫)="

ml士lim/(x)4

則有…=J。

注意：上述定理L7及定理1.8對一8也成立。

下面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理

定理1.9假如理”…典的―則

八、l.m[/?±g?]=lim/(x)±limg(x)=A±B

II1X->X(X今'X->A,

C、Km[/(x)g(x)]=(hm/(x))(limg(x))=AB

(2)*■?&x-M.

hm/(x)

lim----=-

/Q\業(yè)limg(x)=BwO"，―&g(x)hmg(x)B

(3)當(dāng)f時，f時，

上述運(yùn)算法則可推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：

(1)瞰陽(肚郁磯嗨施±"m弋的

/c、lim[c/(x)]=ehm/(x)

(2)*■*&

(3)場")E”

用極限的運(yùn)算法則求極限時，必須注意：這些法則規(guī)定每個參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時，還規(guī)定

分母的極限不能為零。

此外，上述極限的運(yùn)算法則對于一8的情形也都成立。

(五)無窮小量和無窮大量

1.無窮小量(簡稱無窮小)

定義對于函數(shù)假如自變量X在某個變化過程中，函數(shù)/⑶的極限為零，則稱在該變化過程中，，⑸為無窮小量,

一般記作

常用希臘字母"以，，…來表達(dá)無窮小量。

定理1.10函數(shù)，⑸以A為極限的必要充足條件是：

小)可表達(dá)為A與一個無窮小量之和。

hm/'(x)=<O/(x)=A+a

(a為初小)

注意：(1)無窮小量是變量，它不是表達(dá)量的大小，而是表達(dá)變量的變化趨勢無限趨于為零。

(2)要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮小量。

(3)一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關(guān)的。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同

的變化趨勢，因此結(jié)論也不盡相同。

例|女口：x->0sinx-?0,cosx->l

xsinx->1

2

x->oosmx振蕩型發(fā)散也很1

(4)越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當(dāng)X越變越大時，1+彳就越變越小，但它不是無窮小量。

(5)無窮小量不是一個常數(shù)，但數(shù)“0”是無窮小量中惟一的一個數(shù)，這是由于陰°二°。

2.無窮大量(簡稱無窮大)

定義；假如當(dāng)自變量—(或8)時，，⑶的絕對值可以變得充足大(也即無限地增大)，則稱在該變化過程中，，⑶

為無窮大量。記作所/但=8。

注意：無窮大(8)不是一個數(shù)值，"8"是一個記號，絕不能寫成x=8或”加8。

3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系

無窮小量與無窮大量之間有一種簡樸的關(guān)系，見以下的定理。

定理1.11在同一變化過程中，假如"乃為無窮大量，則西為無窮小量；反之，假如如)為無窮小量，且加)，。，則石

為無窮大量。

當(dāng)33”而小無窮大

小小無窮小

當(dāng)x>>8,〃x)=ef為無窮小

11x

…發(fā)"尸"無窮大

4.無窮小量的基本性質(zhì)

性質(zhì)1有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；

性質(zhì)2有界函數(shù)(變量)與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。

limxsml=O

x-?0X

x->0,--?oo

X

卜扣

性質(zhì)3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。

性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。

5.無窮小量的比較

定義設(shè)“是同一變化過程中的無窮小量，即廝。=。，.即。。

(1)假如則稱”是比，較高階的無窮小量，記作。=?！?；

(2)假如"臺"。則稱。與』為同階的無窮小量；

(3)假如"丐"則稱。與,為等價(jià)無窮小量，記為

(4)假如嶗=8則稱。是比，較低價(jià)的無窮小量。當(dāng)3*+/…

3x+*2

lim-----=lim(3+x)=3

x-?0xio

lim------=hm(3x+/)=0

*->oxxTO

lim-----=lim(1+x)=1

Xx3

x+7~x(x->0)

等價(jià)無窮小量代換定理:

lim；lim—=lim

假如當(dāng)時XT為1一叫均為無窮小量，又有…/且磔/存在，貝嗚擺‘

"4"?夕均為無窮小

又有

aad0'

方=￡斤W

..aaafff'

3方=.勺萬寧)

=1血與

&夕

a'

=hm—

$

這個性質(zhì)經(jīng)常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡化運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價(jià)無窮小量代換可以在極限的乘除

運(yùn)算中使用。

常用的等價(jià)無窮小量代換有:

當(dāng)，一。時，

sinx~x;tan~x;arctanx~x;arcsinx~-x;

1-cosx+苞

e*-l~x.Vl+x-1--

2

（六）兩個重要極限

1.重要極限I

重要極限I是指下面的求極限公式

,3mx_tanx,,arcsinx

hm----=1lim-----=1urn-------

*-*ox.x.x~0x

tanx,sinx1

litn----=lim----------

***oxxcosx

sinx1

=hm----hm-----

…xx*cosx

arcsinx

htn-------=1

gox

^,arcsinx=tsinl=x

xTCU->0

arcsinx

lim-------=lun----=Inn----=1

TOx10sint10：

situ

0

這個公式很重要，應(yīng)用它可以計(jì)算三角函數(shù)的6型的極限問題。

其結(jié)構(gòu)式為：‘區(qū)嘿

x——>0

,sm(7r-l)

lim-----=1

xflx-1

.s?n(x2-1)(x+1)s>n(x2-l)

照Fl一=(I+l)(z-l)

=lim(l+D，2H^2?

3(X2-1)

..,,.sin(x2-l).

=hm(x+ln)lun-------=2

Tl2】(X25-1)

2.重要極限II

重要極限II是指下面的公式：

hm(1+3"=0

38n

)x=e

38x

1

=e

葺中e是個常數(shù)(銀行家常數(shù))，叫自然對數(shù)的底，它的值為

e=2.7045……

其結(jié)構(gòu)式為：

押熱+w))而“

0

重要極限I是屬于6型的未定型式，重要極限II是屬于"產(chǎn)”型的未定式時，這兩個重要極限在極限計(jì)算中起很重要

的作用，純熟掌握它們是非常必要的。

(七)求極限的方法:

1.運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則求極限；

2.運(yùn)用兩個重要極限求極限；

3.運(yùn)用無窮小量的性質(zhì)求極限；

4.運(yùn)用函數(shù)的連續(xù)性求極限；

5.運(yùn)用洛必達(dá)法則求未定式的極限；

6.運(yùn)用等價(jià)無窮小代換定理求極限。

基本極限公式

hm

g\x=x0

(1)lime=c\^-)1*0

..1八

\hm_=0

(/3O)XT8X

-1

(4)期3,+*”+與尸+…/)

2

=a0XQ+/短+a2x^+???+%

例1.無窮小量的有關(guān)概念

(1)［9601］下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是

x-3.

CM"/、…。)D.R'f［答］c

A…叱-8.叫發(fā)散

￡

B.x—(r」T-co,我->0

x

11

XTO+.-TggX->400

X

x-3x-3_11

D.工T4訴T而a-E

(2)［0202］當(dāng)**。時，卬”與x比較是

A.高階的無窮小量B.等價(jià)的無窮小量

C.非等價(jià)的同階無窮小量D.低階的無窮小量

［答］B

解當(dāng)，7。邢+外與x是

x->O,ln(l+x)~x

必(1+?1...

litn-------=lim-m(l+x)

x->0xx->0x

￡工

=hmln(l+x)x=ln[hm(l+x)xJ

XTOid

=lne=l

極限的運(yùn)算:

x^+3x-l

[061心

“J+3*T巴o<J+3x-l)ox”］

lun------------------------------1

&力r-t>0x+1hm(x+1)O+l

解：1。

［答案］?1

0

例2.G型因式分解約分求極限

,?/+…5

(1)［0208］---［答P

..X2+x-6..(x+3)(x-2)..x+35

hm-z=htn=hm

xf2X2-4r->2(x+2)(x-2)x->2x+24

/一x_23

(2)［0621］計(jì)算黑下h［答］K

=hmQ2)(X+D-

解，2X2-4x->2(x-2)(x+2)4

0

例3.6型有理化約分求極限

⑴［0316］計(jì)算出卷［答］或

正-(瓜-應(yīng))

,lim0_.lim——0.一)，(二4一+二一

解：-2*2x_2(x-2)(77+72)

hm----x-j25尸

x->2(x-2)(4+應(yīng))XT2(〃+應(yīng))

1

2^2

⑵［9516］”不=［劄亍

原式二hm(^^字^［+鞏>/^+畛

解一一4(42-4(j2x+I+2(&-2+0)

.2(x-4)(4二5+偽

=hm-------)

x-?4(x-4)(v2x+l+3)

…率2

r->4(v2x+l+3)

A品2品

=~=~

co1

例4.當(dāng)，78時求a型的極限［答猿

(1)［0308］膽爾=一

一般地，有

0(〃<m),

lim」0/+//+.”+外三(“=㈤，

1叫/+…+幻

co(?>m).

lim-4^-=Itm-Tlim(1-當(dāng))

XT8X*=］

1一-2

XT83—+Xr-?oo3+-lim(3+-)J

XXT8X

例5.用重要極限I求極限

sinx1.sinQO))

lim---=1,hm----——=1

aOx"x)-?0(f\x)

(1)［9603］下列極限中,成立的是

sinxsinx2,

c.場方丸.細(xì)==1［答］B

「一sin(x-l)1

(2)[0006]理了幻=----[答戶

ssn(x-l)sin(x-l)..sm(x-l)1

i1m.hmr-------lira----——=bm-i-

解.x~ix2+5x-6K-?1(X+6)(X-1)r-?lx-1x+6

7

例6.用重要極限II求極限

]￡

lim(1+-)4=e,lim(l+x)x=e,

T8xz_>o

思"意"""?加0。+武初而=,?

2

(1)[0416]計(jì)算％叫)閣，2

22

[解析]解一:令『“二

x->oo,t->0

2I

hm(1+，)'=hm[(l+f)']2

[limQ+t)；]2=/

t->0

xx

々刀一.點(diǎn)=hm[(l+-)2p-[|im(l+^)2]2

解_.,加XXXX

hm(1+少”=產(chǎn)

Z8x

b

lim(l+ax)*=&ab

A->0

[0306]州

2

[0601]%(L

(2)⑼18]計(jì)算期一產(chǎn)[答卜-

解產(chǎn)式心嶺*Y

例7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限

[0407]既w+6-[答]0

々力,litnln(l+^2)

解i

/(x)=ln(l+x2)D(7)=(-co,+co)

J

hmln(l+x2)=ln(l+02)=0

XTO

例8.用等價(jià)無窮小代換定理求極限

「1-C0SX

[0317]^^^[答]0

解:當(dāng)

-lim---!lim-i--0

x-M)x+sinx2_0]+、nx

例9.求分段函數(shù)差分段點(diǎn)處的極限

八、[2x+l,x<0

(】)[0307]設(shè)'"-Iln(1+x),x>0

則/⑸在"。的左極限如?。?

［答］1

f々刀工口/(0-0)=呵J(x)=lim/2x+l)=l

［解析］1。I。

/(0+0)=lim/(x)=limln(l+x)=0

x-?0+1。+

x2+l,xMO

(2)［0406］設(shè)“機(jī)

Fx>。,則疆〃力=閣1

「々刀1嗎_/。)=1叫_儲+1)=1

I解析］7r1r

/(0+0)=!im/(x)=limcosx=1

x->0+xT)+

v/(0-0)=/(0+0)=l

lim/(x)=l

XTO

例10.求極限的反問題

t_，+H+6_c

（1）已知因則常數(shù)上

［解析］解法一：密‘蝕*6）=。，即】+/+6=0,得…7

J夫,-^-x2+ix+6=(x-l)(x+w)=x2+(w-l)x-w

(m-l=k

得i-"=6,解得人-7

解法三：（洛必達(dá)法則）

x2+kx+62x+k-

iSFx=?二1=5,即一(2+@=5,得…7

.x2+ax+b_-

(2)若界“MJ-1廣求a,b的值.

0

［解析］G型未定式.

當(dāng)x—l時，

x2+ax+6=(x-l)(x+m)

.x2+ax+b(x-l)(x+w)1+幽-

lim----x---=lun----------=----=3

于是7sm(x2-DT(x-l)(x+l)1+1,得加=5

即x2+ax+6=(x-l)(x+5)=x2+4x-5

所以—.

smax?

［0402］糜丁

［0017］^(^J=8,則1<=.(答:In2)

癡字4=產(chǎn)

-?（!_9）*產(chǎn)

［解析］

/=8

3^=!n8=In2^=31n2

2=ln2

前面我們講的內(nèi)容:

極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運(yùn)算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質(zhì)以及無

窮小量階的比較。

第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

［復(fù)習(xí)考試規(guī)定］

1.理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)(含分段函

數(shù))在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。

2.會求函數(shù)的間斷點(diǎn)。

3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡樸命題。

4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會運(yùn)用函數(shù)連續(xù)性求極限。

I重要知識內(nèi)容】

(-)函數(shù)連續(xù)的概念

】?函數(shù)在點(diǎn)X。處連續(xù)

定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)％的某個鄰域內(nèi)有定義，假如當(dāng)自變量的改變量(初值為X。)趨近于。時，相應(yīng)的

函數(shù)的改變量也趨近于0,即

黝3-o

或22［〃%+Ax)-/(%)］?0

則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)％處連續(xù)。

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)XQ連續(xù)也可作如下定義：

定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。的某個鄰域內(nèi)有定義，假如當(dāng)x-xo時，函數(shù)y=f(x)的極限值存在，且等于X。處

的函數(shù)值f(Xo),即

逅義3設(shè)函數(shù)y=f(x),假如吧次A狗，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)木處左連續(xù)；假如鴛沙”出，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。

處右連續(xù)。由上述定義2可知假如函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)Xo處連續(xù)，貝ijf(x)在點(diǎn)XQ處左連續(xù)也右連續(xù)。

2.函數(shù)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)

定義假如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的每一點(diǎn)*處都連續(xù)，則稱f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，并稱f(x)為［a,

b］上的連續(xù)函數(shù)。

這里，f(x)在左端點(diǎn)a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：既然”足)，在右端點(diǎn)b連續(xù)，是指滿足關(guān)系：盟即f(x)在

左端點(diǎn)a處是右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處是左連續(xù)。

可以證明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。

3.函數(shù)的間斷點(diǎn)

定義假如函數(shù)f(x)在點(diǎn)Xo處不連續(xù)則稱點(diǎn)XQ為f(x)一個間斷點(diǎn)。

由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，若f(x)在點(diǎn)Xo處有下列三種情況之一:

(1)在點(diǎn)X。處，f(x)沒有定義;

(2)在點(diǎn)X。處，f(x)的極限不存在；

(3)雖然在點(diǎn)XQ處f(x)有定義，且.既"存在，但

則點(diǎn)X。是f(X)一個間斷點(diǎn)。

/-L嵐。

/(x)-X,0<x<l

”MS2,則f(X)在

A.x=0,x=l處都間斷B.x=O,x=l處都連續(xù)

C.x=0處間斷，x=l處連續(xù)

D.x=0處連續(xù)，x=l處間斷

解：x=0處，f(0)=0

/(0+0)-hm(?-!)-0

?l?f(8o)*f(0+0)

x=0為f(x)的間斷點(diǎn)

x=l處，f(1)=1

/Q-0)-litn/(x)-limx-l

/Q+0)=hmf⑸=lim(2-x)=1

f(i-6)=r(i+o)=f(i)

，f(x)在x=l處連續(xù)［答案］C

[9703]設(shè)Ik,"6,在x=o處連續(xù)，則k等于

A.OB.lCJD.2

分析：f(0)=k

lim~"

('Jx+4-2)(-Jx+4+2)

---“Bi

/(0)=hm/(x)

［答案］B

例3［0209］設(shè)匹｛工］在x=0處連續(xù)，貝ija=

解：f(0)=e°=l

/(0-0)-Em/(x)-lim^,-1

/(0+0)-lim/(x)-x)-t?

vf(0)=f(0-0)=f(0+0)

.1.0=1［答案］1

(-)函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)

由于函數(shù)的連續(xù)性是通過