高中數(shù)學(xué)課件-第四章-第一節(jié)《平面向量的概念及其線性運(yùn)算》

高中數(shù)學(xué)ppt課件-第四章-第一節(jié)《平面向量的概念及其線性運(yùn)算》1高中數(shù)學(xué)ppt課件-第四章-第一節(jié)《平面向量的概念及其線性運(yùn)算》21.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.1.了解向量的實(shí)際背景.3高中數(shù)學(xué)ppt課件-第四章-第一節(jié)《平面向量的概念及其線性運(yùn)算》41.向量的有關(guān)概念1.向量的有關(guān)概念52.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝

.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝

.b＋a(b＋c)a＋2.向量的線性運(yùn)算向量定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加求兩個(gè)6向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差

法則a－b＝a＋(－b)三角形向量定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律減求a與b的相反向量－b的7向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|.(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向

；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向

；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝

.λ(μa)＝

；

(λ＋μ)a＝

；

λ(a＋b)＝

.相同相反λμaλa＋μaλa＋λb0向量定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律數(shù)求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)83.向量a(a≠0)與向量b共線向量a(a≠0)與向量b共線的充要條件為存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,

使

.[思考探究]如何用向量法證明三點(diǎn)A、B、C共線？提示：證明(或或)，即證明與共線，又因?yàn)橛幸还颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.

b＝λa3.向量a(a≠0)與向量b共線[思考探究]提示：證明91.判斷下列各命題的真假：

(1)向量的長度與向量的長度相等；

(2)向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；

(3)兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；1.判斷下列各命題的真假：10(4)兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；(5)向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上；(6)有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中假命題的個(gè)數(shù)為(

)A.2

B.3C.4D.5(4)兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；11解析：理解基本概念的內(nèi)涵，按照定義逐個(gè)判定.(1)真命題；(2)假命題，若a與b中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的；(3)真命題；(4)假命題，終點(diǎn)相同并不能說明這兩個(gè)向量的方向相同或相反；(5)假命題，共線向量所在直線可以重合，也可以平行；(6)假命題，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段.答案：C解析：理解基本概念的內(nèi)涵，按照定義逐個(gè)判定.答案：C122.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.AB＝DC

B.AD＋AB＝ACC.AB－AD＝BD

D.AD＋CB＝0解析：由向量減法法則可知AB－AD＝DB.答案：C2.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論A.AB＝DC133.在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若點(diǎn)D滿足BD＝2DC，則AD

＝(

)

解析：如圖所示，可知AD＝AB＋

(AC－AB)＝c＋(b－c)＝b＋c.答案：A3.在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若點(diǎn)D滿足BD＝2DC144.化簡(AB－CD)－(AC－BD)＝

.解析：(AB－CD)－(AC－BD)＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0答案：04.化簡(AB－CD)－(AC－BD)＝.解析：(A155.已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，

CD＝7a－2b，則A、B、C、D四點(diǎn)中，一定共線

的三點(diǎn)是

.5.已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，16解析：BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB，∴BD與AB共線，又∵有公共點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線.答案：A、B、D

解析：BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)答案17高中數(shù)學(xué)ppt課件-第四章-第一節(jié)《平面向量的概念及其線性運(yùn)算》181.著重理解向量以下幾個(gè)方面：

(1)向量的模；(2)向量的方向；(3)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)；(4)

共線向量；(5)相等向量.2.當(dāng)判定兩個(gè)向量的關(guān)系時(shí)，特別注意以下兩種特殊情況：

(1)零向量的方向及與其他向量的關(guān)系；

(2)單位向量的長度及方向.1.著重理解向量以下幾個(gè)方面：19

下列命題正確的是(

)A.a與b共線，b與c共線，則a與c也共線B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊

形的四個(gè)頂點(diǎn)C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行下列命題正確的是20[思路點(diǎn)撥][思路點(diǎn)撥]21[課堂筆記]由于零向量與任意向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，也不可能是個(gè)平行四邊形，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以D不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題入手考慮，假若a與b不都是非零向量，即a與b至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任意向量都共線，可得a與b共線.[答案]

C[課堂筆記]由于零向量與任意向量都共線，所以A不正確；由于221.用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，

除利用向量的加、減法、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面

幾何的一些定理.2.在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)

用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線，

相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量

轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.1.用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，23[特別警示]若A為BC的中點(diǎn)，則OA＝

(OB＋OC)(O為平面上任意一點(diǎn)).[特別警示]若A為BC的中點(diǎn)，則OA＝(OB＋24△ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N.設(shè)AB＝a，AC＝b，用a、b表示向量AE、BC、DE、DN、AM、AN.△ABC中，AD＝25[思路點(diǎn)撥][思路點(diǎn)撥]26[課堂筆記]

BC＝AC－AB＝b－a.由△ADE∽△ABC，得DE＝BC＝(b－a).[課堂筆記]27又AM是△ABC的中線，DE∥BC，得DN＝DE＝(b－a).又AM＝AB＋BC＝(a＋b).又AM是△ABC的中線，DE∥BC，28在例2題圖中，連結(jié)C、D交AM于點(diǎn)P，若＝λ，

求λ、μ.解：＝在例2題圖中，連結(jié)C、D交AM于點(diǎn)P，若＝λ29又＝b，又＝b，30高中數(shù)學(xué)ppt課件-第四章-第一節(jié)《平面向量的概念及其線性運(yùn)算》311.向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，

使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示與其他向量

共線，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.2.證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向

量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公

共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.1.向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，32

設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.[思路點(diǎn)撥]設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線33[課堂筆記]

(1)∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴、共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線.[課堂筆記](1)∵＝a＋b，＝2a＋34(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共線的兩個(gè)非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.(2)∵ka＋b與a＋kb共線，35

高考對本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法是：以三角形或平行四邊形為載體，以選擇題或填空題為呈現(xiàn)形式，考查向量的概念及簡單的線性運(yùn)算.09年天津高考則以填空題的形式考查了向量線性運(yùn)算的幾何意義，是高考命題的一個(gè)新方向.

高考對本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法是：以三角形或平行四邊36

[考題印證](2009·天津高考)在四邊形ABCD中，＝＝(1,1)，

則四邊形ABCD的面積為

.[考題印證]37【解析】由＝＝(1,1)知ABDC.又知四邊形ABCD為菱形，且AB＝AD＝，又∵＝3，∴2＋2·＝3，∴cos∠ABC＝，∴∠ABC＝60°，BD＝【解析】由＝＝(1,1)38在△ABD中，由余弦定理cos∠BAD＝故sin∠BAD＝，∴SABCD＝【答案】

在△ABD中，【答案】39

[自主體驗(yàn)]點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則△ABM與△ABC的面積之比為

.[自主體驗(yàn)]40解析：如圖，∵故B，C，M三點(diǎn)共線.設(shè)則四邊形AEMD是平行四邊形.易知于是點(diǎn)M到直線AB的距離是點(diǎn)C到直線AB的距離的.解析：如圖，∵41故△ABM與△ABC的面積之比為.故填，另外，本題也可以通過＝1，利用三點(diǎn)共線的充要條件得到B，C，M三點(diǎn)共線.答案：故△ABM與△ABC的面積之比為.故填42高中數(shù)學(xué)ppt課件-第四章-第一節(jié)《平面向量的概念及其線性運(yùn)算》431.(2009·山東高考)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，＋則(

)

1.(2009·山東高考)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，44解析：法一：由向量加法的平行四邊形法則易知，與

的和向量過AC邊中點(diǎn)，長度是AC邊中線長的二倍，結(jié)合已知條件可知P為AC邊中點(diǎn)，故＝0.法二：∵∴即＝0.答案：B解析：法一：由向量加法的平行四邊形法則易知，與452.平面向量a，b共線的充要條件是(

)A.a，b方向相同

B.a與b中至少有一個(gè)為零向量

C.?λ∈R，使b＝λa

D.存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1、λ2，使λ1a＋λ2b＝02.平面向量a，b共線的充要條件是46解析：A中，a，b同向則a，b共線，但a，b共線則a，b不一定同向.B中，若a，b兩向量中至少有一個(gè)為零向量，則a，b共線，但a，b共線時(shí)，a，b不一定是零向量，如a＝(1,2)，b＝(2,4)，C中，當(dāng)b＝λa時(shí)，a與b一定共線，但a，b共線時(shí)，若b≠0，a＝0，則b＝λa不成立.答案：D解析：A中，a，b同向則a，b共線，但a，b共線則a，b不一473.在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a

－3b，則四邊形ABCD的形狀是(

)A.矩形

B.平行四邊形

C.梯形

D.以上都不對3.在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－448解析：由已知＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.∴，又與不平行，即AD∥BC，AB不平行CD，∴四邊形ABCD是梯形.答案：C解析：由已知答案：C494.(2010·黃岡模擬)設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量，若＝

2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A、B、D三點(diǎn)共線，

則實(shí)數(shù)k的值等于

.解析：由于A、B、D三點(diǎn)共線，故∥，又＝2a＋kb，＝－＝a－2b，故由2a＋kb＝λ(a－2b)可解得k＝－4.答案：－44.(2010·黃岡模擬)設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量，若505.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中

點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分