分?jǐn)?shù)階微積分魯棒控制課件

分?jǐn)?shù)階微積分魯棒控制分?jǐn)?shù)階微積分魯棒控制1目錄一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法四.分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)目錄一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法2一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.1分?jǐn)?shù)階微積分定義

在控制領(lǐng)域應(yīng)用較多的三種分?jǐn)?shù)階微積分定義包括：

定義、Riemann-Liouville定義、Caputo定義。1.1.1

定義：

對(duì)于任意的

，函數(shù)

的

階微積分為

式中，一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.1分?jǐn)?shù)階微積分定義3一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法

當(dāng)

時(shí)，表示f(t)的

階導(dǎo)數(shù)；當(dāng)

時(shí)，表示f(t)的

次積分。若滿足

，則

有性質(zhì)1.1.2Riemann-Liouville

定義對(duì)于任意的實(shí)數(shù)

，分?jǐn)?shù)階微分的RL定義為

為Gamma函數(shù)。分?jǐn)?shù)階積分的RL定義為一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法當(dāng)4一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法

將分?jǐn)?shù)階微分和積分的RL定義統(tǒng)一到一個(gè)表達(dá)式中，則有分?jǐn)?shù)階微積分RL定義為Riemann-Liouville定義在數(shù)學(xué)上的要求比較苛刻，不僅需要函數(shù)是連續(xù)的，還需要滿足f(t)可積。盡管在工程實(shí)際應(yīng)用中，可以保證系統(tǒng)函數(shù)的連續(xù)性和f(t)可積的條件，但是，由于Riemann-Liouville定義還需要解決一個(gè)理論上可實(shí)現(xiàn)、實(shí)際上缺乏物理意義的初始值問(wèn)題，因而它在應(yīng)用上受到了一定限制。一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法將分?jǐn)?shù)階微5一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.1.3Caputo定義Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義為取整數(shù)，Caputo分?jǐn)?shù)階積分定義為Caputo分?jǐn)?shù)階積分統(tǒng)一定義為一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.1.3Caputo6一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.1.3Caputo定義

進(jìn)一步證明發(fā)現(xiàn)，在t>0時(shí)，如果考慮一類函數(shù)

，它具有m+1階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，那么，

分?jǐn)?shù)階微積分定義與Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分定義是完全相等的。Caputo定義和Riemann-Liouville定義的區(qū)別主要在于對(duì)常數(shù)求導(dǎo)的定義上，前者對(duì)常數(shù)的求導(dǎo)是有界的，而后者對(duì)常數(shù)的求導(dǎo)是無(wú)界的。Caputo定義則更適合于對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分初值問(wèn)題的求解。一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.1.3Caputo7一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.2分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值求解方法

分?jǐn)?shù)階

控制器參數(shù)整定的數(shù)值化實(shí)現(xiàn)方法主要依賴于目標(biāo)函數(shù)的數(shù)值計(jì)算。這里介紹一種Z域數(shù)值法。

Z域數(shù)值法主要用于理論仿真和實(shí)驗(yàn)研究。目前，針對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分環(huán)節(jié)的Z域數(shù)值法主要包括Eider,Tustin,Simpson及Alalaoui方法，不同的生成函數(shù)和展開(kāi)方法決定了逼近形式及效果.（1）基于Tustin+CFE法求解分?jǐn)?shù)階微積分環(huán)節(jié)

采用Tustin型生成函數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子進(jìn)行離散化處理是常用的一種方法，此時(shí)分?jǐn)?shù)階微積分算子可表達(dá)為:一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.2分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值求8一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.2分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值求解方法

它把s平面的穩(wěn)定域充分地映射到z平面，且把點(diǎn)

和

分別映射到點(diǎn)

和

?？梢圆捎眠B分式展開(kāi)法(CFE)，對(duì)其進(jìn)行有理化處理。當(dāng)將Tustin型生成函數(shù)與CFE展開(kāi)方法結(jié)合時(shí)，分?jǐn)?shù)階微積分算子的離散化近似形式為:一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.2分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值求9一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.2分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值求解方法

（2）基于Al-Alaoui+CFE法求解分?jǐn)?shù)階微積分環(huán)節(jié)

采用Al-Alaoui型生成函數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分進(jìn)行離散化處理，其分?jǐn)?shù)階微積分算子表達(dá)式為:

當(dāng)Al-Alaoui型生成函數(shù)與CFE法結(jié)合時(shí)，分?jǐn)?shù)階算子的離散化近似形式為:

其中，CFE{u}表示對(duì)函數(shù)。進(jìn)行連分式展開(kāi)，P和Q是變量z的多項(xiàng)式，其階次分別為p和q。一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.2分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值求10一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.2分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值求解方法

（3）有限脈沖響應(yīng)不變法求解分?jǐn)?shù)階微積分環(huán)節(jié)分?jǐn)?shù)階微積分算子

的一階向后差分的

展開(kāi)為：分?jǐn)?shù)階微積分算子

的一階向后差分的連分式（CFE）：一.分?jǐn)?shù)階微積分定義和數(shù)值求解方法1.2分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值求11二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.1分?jǐn)?shù)階頻域分析

常規(guī)PID有三個(gè)可調(diào)參量，分?jǐn)?shù)階

控制器是有五參量調(diào)節(jié)的控制器，參量調(diào)節(jié)上增加了取值具有任意性的微積分階次自由度

和

，這樣極大拓寬了控制器參數(shù)的整定思路，對(duì)于被控模型的調(diào)節(jié)度來(lái)說(shuō)就更敏銳和自由。圖2-1所示的框圖代表負(fù)反饋結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)。圖2-1負(fù)反饋結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)階

系統(tǒng)控制器的描述為：二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.1分?jǐn)?shù)階頻域分析12二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.1.1常數(shù)增益項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)K的幅頻特性：其相頻特性為：

常數(shù)增益項(xiàng)的Bode圖如圖2.2所示，常數(shù)項(xiàng)

的對(duì)數(shù)增益曲線是一條水平線，相頻特性曲線也是一條水平線（0°線），即常數(shù)項(xiàng)為-K時(shí)，其對(duì)數(shù)增益仍為

，而相角則變成了

。

圖2.2幅頻特性，

圖2.2相頻特性，二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.1.1常數(shù)增益項(xiàng)13二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.1.2分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)傳遞函數(shù)表達(dá)式：頻率域表達(dá)式：

對(duì)數(shù)增益表達(dá)式：

對(duì)數(shù)相頻特性表達(dá)式：

對(duì)數(shù)增益表達(dá)式在波特圖上的直觀表現(xiàn)就是斜率為

，而相頻曲線則是直的水平線。由自控理論知，在對(duì)數(shù)幅值增益圖中，截止頻率越高，系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快；基于以上的理論，如果選擇

的值恰好是0-1間的數(shù)，分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)的斜率就完全可以滿足小于

的斜率要求，這樣相應(yīng)的截止頻率就會(huì)變大，中頻段相應(yīng)地就會(huì)變寬，系統(tǒng)在快速性和穩(wěn)定性方面的性能就會(huì)超過(guò)采用常規(guī)的積分控制器。二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.1.2分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)14二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法借助

工具編寫(xiě)語(yǔ)句命令，得到分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)的波特圖，如圖所示。

從圖可以看出，幅頻特性居于比例環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)特性之間，且

值越小，系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快，穩(wěn)定性越好2.1.2分?jǐn)?shù)階積分項(xiàng)圖2-3的波特圖二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法借助工具編寫(xiě)語(yǔ)句命令，得15二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.1.3分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)傳遞函數(shù)表達(dá)式：頻率域表達(dá)式：

對(duì)數(shù)增益表達(dá)式：

對(duì)數(shù)相頻特性表達(dá)式：

反映于波特圖，對(duì)數(shù)增益曲線是以

為斜率的直線，而相頻特性曲線仍是一條直的水平線。根據(jù)整數(shù)階控制知識(shí)，誤差是輸入與輸出的差值，微分項(xiàng)的主要作用是反映這個(gè)差值的變化率，且它的相角超前

，可以在系統(tǒng)產(chǎn)生一個(gè)前期的修正，這個(gè)修正就是變化率，能夠?qū)崿F(xiàn)增強(qiáng)穩(wěn)定度和改善動(dòng)態(tài)性能的目的。二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.1.3分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)16二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法

現(xiàn)實(shí)的很多系統(tǒng)，僅僅依靠

的相角超前，不能很好地達(dá)到所需的阻尼度，并且很有可能使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不好。相比于傳統(tǒng)

的基本微分項(xiàng)，分?jǐn)?shù)階

能夠參照系統(tǒng)本身具有的形式來(lái)選擇所需的值.

進(jìn)一步地取得所需的超前校正網(wǎng)絡(luò)的角度，最終實(shí)現(xiàn)良好的動(dòng)態(tài)指標(biāo)。借助MATLAB工具編寫(xiě)語(yǔ)句命令，得到分?jǐn)?shù)階微分環(huán)節(jié)波特圖，如圖所示。2.1.3分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)圖2-4的波特圖二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法現(xiàn)實(shí)的很多系統(tǒng)，僅僅17二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.1.3分?jǐn)?shù)階比例積分微分項(xiàng)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階控制器的傳遞函數(shù)，利用MATLAB軟件繪制了在

值不變、

值改變時(shí)和

值不變、

值改變時(shí)的波特圖，分別如圖2-5和圖2-6所示。圖2-5和

的情況圖2-6和

的情況二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.1.3分?jǐn)?shù)階比例積18二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.1.3分?jǐn)?shù)階比例積分微分項(xiàng)

分?jǐn)?shù)階

控制器的獨(dú)特的不可替代性，關(guān)鍵在于可以根據(jù)系統(tǒng)自己本身的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)?/p>

值和

值，這樣就保證微分環(huán)節(jié)能提供適當(dāng)?shù)某跋嘟?，積分環(huán)節(jié)能提供適當(dāng)?shù)臏笙嘟?。從而使系統(tǒng)保持良好響應(yīng)特性的條件同時(shí)還能保證穩(wěn)定性，繼而得到預(yù)期的調(diào)節(jié)效果。二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.1.3分?jǐn)?shù)階比例積19二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.2分?jǐn)?shù)階時(shí)域分析

整數(shù)階微積分的拉式變換是一種函數(shù)變換，可將微分方程變成代數(shù)方程，并且在變換的同時(shí)即引入初始條件，避免了經(jīng)典解法關(guān)于求積分常數(shù)的麻煩，大大簡(jiǎn)化解題手續(xù)?？梢哉f(shuō)，求解工程實(shí)踐問(wèn)題采用拉式求解法是非常有效的，受到學(xué)者的親睞。下面具體論述分?jǐn)?shù)階拉式變換及其相關(guān)理論。二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.2分?jǐn)?shù)階時(shí)域分析20二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.2.1Laplace定義及變換描述函數(shù)

的拉式變換是將時(shí)域轉(zhuǎn)化為復(fù)域

的有效手段，即：復(fù)變函數(shù)

作相反變換就可以推導(dǎo)出原函數(shù)的時(shí)域形式：函數(shù)

和

進(jìn)行卷積的表達(dá)式為：函數(shù)

和

時(shí)域中的卷積公式轉(zhuǎn)換到頻域有如下形式：

這樣，時(shí)域中的復(fù)雜卷積運(yùn)算，不需要求解積分運(yùn)算求值，可被簡(jiǎn)單地處理為復(fù)域的乘法運(yùn)算，其中，F(xiàn)(s)和G(s)分別是

和

的拉式變換。二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.2.1Laplace21二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.2.2分?jǐn)?shù)階積分的Laplace變換描述

舉一個(gè)例子，讓我們直觀地理解分?jǐn)?shù)階積分的拉式變換過(guò)程，下面直接以分?jǐn)?shù)階積分的RL表達(dá)式來(lái)做舉例加以說(shuō)明。

的拉式變換：可以推導(dǎo)出拉式變換的描述形式為：式中，

p>0;二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.2.2分?jǐn)?shù)階積分的22二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.2.2分?jǐn)?shù)階微分的Laplace變換描述

舉一個(gè)例子，讓我們直觀地理解分?jǐn)?shù)階微分的拉式變換描述，以分?jǐn)?shù)階微分的RL表達(dá)式做具體說(shuō)明。

假設(shè)

則有我們都知道整數(shù)階微分，通過(guò)拉式變換理論能夠得到如下形式：二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.2.2分?jǐn)?shù)階微分的23二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.2.2分?jǐn)?shù)階微分的Laplace變換描述故函數(shù)

的拉式變換為：函數(shù)

的Laplace變換連同公式一起聯(lián)合可以推導(dǎo)出綜上所述，當(dāng)初始條件

時(shí)，信號(hào)

的

階微分Laplace變換為：其中，二.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的時(shí)域和頻域分析方法2.2.2分?jǐn)?shù)階微分的24三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法

分?jǐn)?shù)階微積分算子具有的“無(wú)限歷史記憶”特殊的品質(zhì)和階次非整數(shù)品質(zhì)增加了其進(jìn)行數(shù)值化研究(離散近似化)的難度，因而研究分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的主要方法是對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行離散化或者近似化成有理函數(shù)。根據(jù)自控理論，整數(shù)階系統(tǒng)的特征方程是用整數(shù)階次的多項(xiàng)式來(lái)描述的，它的根決定了系統(tǒng)響應(yīng)的模式。

然而分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的特征方程不具有整數(shù)階次特性，不適合仿照現(xiàn)有傳統(tǒng)的理論方法對(duì)其加以分析和解決，所以對(duì)這種特殊性建立自己的理論體系，這就需要開(kāi)發(fā)出獨(dú)特的理論思路和原理對(duì)其研究。研究和分析分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的近似化，十分重要的過(guò)程是對(duì)有理函數(shù)實(shí)施近似化和離散化，通過(guò)近似化方法后分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)就能被化為常規(guī)控制系統(tǒng)。三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法分?jǐn)?shù)階微積分算子具有的25三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法直接近似化方法

分?jǐn)?shù)階微積分的生成函數(shù)是其離散化的基礎(chǔ)，是其重要組成部分，因?yàn)殡x散化算法中的前半部分生成函數(shù)不同將會(huì)得到不同的離散化公式。后半部分主要就是對(duì)生成函數(shù)進(jìn)行展開(kāi)算法。這是因?yàn)槲⒎e分算子直接作用于Z域所生成的函數(shù)一般是無(wú)理函數(shù)，這就需要用有限項(xiàng)數(shù)的有理函數(shù)去近似無(wú)理函數(shù)。不同的生成函數(shù)與不同的展開(kāi)方法采用自由搭配的形式能夠?qū)崿F(xiàn)不同的逼近形式和效果。下面重點(diǎn)研究基于Tustin生成函數(shù)的離散化方法。

Tustin法相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的梯形積分法，它是一種常用的方法，主要離散化處理分?jǐn)?shù)階微分器?；?/p>

算子的離散化方法歸納起來(lái)通常分為兩種情形：第一種是將Tustin算子的分子和分母分別用

遞推公式進(jìn)行遞推，除此之外，還有一種算子用連分式公式展開(kāi)來(lái)有理化和近似處理微積分算子。三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法直接近似化方法分?jǐn)?shù)階微26三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法Tustin生成函數(shù)：式中：

z為復(fù)數(shù)變量；

為轉(zhuǎn)換算子。為了使接下來(lái)的整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程不僅簡(jiǎn)單且并不失一般性，假定

，則有上式中，MATLAB的工具箱生成，對(duì)于任意階次n，有：3.1Tustin+Miur的離散化方法（3.1）（3.3）（3.2）（3.4）三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法Tustin生成函數(shù)：式中：27三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法3.2Tustin+CFE的離散化方法

有理函數(shù)是由兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商所表示的函數(shù)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)插值或函數(shù)計(jì)算來(lái)說(shuō)，其作為工具構(gòu)造算法逼近的效果要超過(guò)多項(xiàng)式逼近的效果。連分式是一種很有效的近似形式，它的收斂速度快于指數(shù)展開(kāi)法，尤其在復(fù)平面內(nèi)的收斂域更大。實(shí)際中從而采取連分式展開(kāi)來(lái)近似分?jǐn)?shù)階微積分算子，獲取的逼近程度更理想。無(wú)理函數(shù)G(z)用如下有理函數(shù)

進(jìn)行逼近：

式中

和

為連分式的一般項(xiàng)，它們都是關(guān)于

z的有理函數(shù)或者常量。采取上面的手段可求解出有理函數(shù)

。（3.5）三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法3.2Tustin+CFE的28三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法

首先說(shuō)明一下，函數(shù)的輸入序列和函數(shù)的輸出序列分別為

，

。式中，

為采樣周期，

和

分別是

和

的Z變換形式，

代表函數(shù)

的CFE展開(kāi)形式，P和Q是變量

的互質(zhì)多項(xiàng)式，其指數(shù)的次數(shù)分別是

和

，經(jīng)常使用的情況

。應(yīng)用MATLAB軟件編程可以求解基于Tustin+CFE方法計(jì)算分?jǐn)?shù)階微積分算子

的離散化近似表達(dá)式：（3.6）三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法首先說(shuō)明一下，函數(shù)的29三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法3.3基于Al-Alaoui的離散化方法Al-Alaoui生成函數(shù)：

陳陽(yáng)泉教授將Al-Alaoui生成函數(shù)（3.7）應(yīng)用式（3.6）進(jìn)行連分式展開(kāi)，提出了一種加權(quán)的Al-Alaoui+CFE近似法：（3.8）（3.7）三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法3.3基于Al-Alaou30三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法

Tustin+Miur和Tustin+CFE以及Al-Alaoui+CFE近似法的離散化模型得到后，調(diào)用MATLAB文本程序，運(yùn)行結(jié)果就是

離散化模型的波特圖，如圖圖3-1的離散化模型的Bode圖三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法Tustin+Miur和31三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法

比較圖3-1給出的Tustin+Miur、Tustin+CFE和Al-Alaoui+CFE三種近似法的Bode圖，我們總結(jié)各自近似特點(diǎn)，可以得出以下幾點(diǎn)。Tustin+Miur在限制條件下，低頻段的幅頻特性曲線的近似效果優(yōu)于Tustin+CFE法，相頻特性逼近頻帶非常窄，沒(méi)有Al-Alaoui+CFE逼近效果好，但比Tustin+CFE要好。Tustin+CFE在低頻段的幅頻特性曲線逼近程度差于其余兩種方法。但其在高頻段的相頻特性能很好逼近理想曲線。Al-Alaoui+CFE不管在幅值曲線還是相頻曲線都能很好的在很寬的頻率范圍內(nèi)逼近理想曲線。本文的離散化方法采用Al-Alaoui+CFE對(duì)液壓伺服系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理。三.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的整數(shù)接近似算法比較圖3-1給出的32四.分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

如今，分?jǐn)?shù)微積分理論和分?jǐn)?shù)階控制器的應(yīng)用在科學(xué)與工程研究等許多領(lǐng)域表現(xiàn)出越來(lái)越大的潛力。在控制領(lǐng)域分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用已經(jīng)成為一個(gè)熱點(diǎn)專題

，不僅是在面向傳統(tǒng)整數(shù)階系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)上，而且在面向分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題上也很熱門(mén)。這里介紹了分?jǐn)?shù)階

控制器對(duì)分?jǐn)?shù)階

系統(tǒng)的控制。目的是利用比傳統(tǒng)

PID控制器多引進(jìn)的兩個(gè)參數(shù)

及

滿足額外性能規(guī)則的設(shè)計(jì)，確保分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的魯棒性，從而建立更多實(shí)際系統(tǒng)例如生物工程系統(tǒng)的更好的模型。在相同的整定規(guī)則下比較分?jǐn)?shù)階控制器和傳統(tǒng)整數(shù)階控制器，不幸的是整數(shù)階控制器不能滿足設(shè)計(jì)要求。

四.分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)如今，分?jǐn)?shù)微積分理論和分?jǐn)?shù)33四.分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)了一種分?jǐn)?shù)階

控制器，以提高分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（FOS）的特性及魯棒性。這類FOS系統(tǒng)可以模擬很多真實(shí)的系統(tǒng)如生物工程系統(tǒng)。分?jǐn)?shù)階

控制器比整數(shù)階控制器可以更靈活的調(diào)節(jié)參數(shù)，但由于多出可變的積分和微分階次

和

，其控制器的設(shè)計(jì)方法和途徑就需要重新建立.四.分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)了一種分?jǐn)?shù)階控34四.分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

4.1.1分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象傳遞函數(shù)本文所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象的傳遞函數(shù)如下

需要注意的是，式中的增益

K可以被歸一化到1而不失一般性，因?yàn)樵趥鬟f函數(shù)中的比例系數(shù)可合并到控制器的比例系數(shù)里。

被稱為“分?jǐn)?shù)階”，是一個(gè)已知的正實(shí)數(shù)，

。

是常用的拉普拉斯變換變量。

是已知的參數(shù)。然而，

可能會(huì)改變，不為標(biāo)稱值1。四.分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)4.1.1分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象傳遞函35四.分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

4.1.2

分?jǐn)?shù)階PID控制器傳遞函數(shù)整數(shù)階

控制器傳遞函數(shù)如式：可得其頻率響應(yīng)如下：分?jǐn)?shù)階

控制器傳遞函數(shù)如式：可得其頻率響如下：四.分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)4.1.2分?jǐn)?shù)階PID控制器傳36四.分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

相位和增益如式：四.分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)相位和增益如式：374.2.整數(shù)階控制器設(shè)計(jì)根據(jù)

控制器的傳遞函數(shù)式，頻率響應(yīng)為，（4..2.1）增益和相位如下，（4..2.2）四.分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PID控制器來(lái)控制分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，以提高分?jǐn)?shù)階模型的實(shí)際系統(tǒng)的性能和魯棒性。在設(shè)計(jì)整數(shù)階PID

控制器過(guò)程中也用了與分?jǐn)?shù)階控制器同樣的穩(wěn)定規(guī)范設(shè)計(jì)，但傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器不能滿足要求，而設(shè)計(jì)出來(lái)的分?jǐn)?shù)階

控制器具有較好的魯棒性。

開(kāi)環(huán)增益魯棒的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)4.2.整數(shù)階控制器設(shè)計(jì)（4..2.1）增益384.2整數(shù)階控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)被控對(duì)象P(s)的頻域響應(yīng)式（4.1.2），

控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的幅值和相位分別為，（4.2.3）控制器參數(shù)整定的約束方程組，（4..2.4）四.分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

4.2整數(shù)階控制器設(shè)計(jì)根據(jù)被控對(duì)象P(s394.2整數(shù)階控制器設(shè)計(jì)（4.2.5）（4.2.6）

基于

控制器的控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線如圖所示，

時(shí)，其相位值等于-110°，即相頻特性曲線在這段頻率范圍內(nèi)