《線性代數(shù)§》課件

6.2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）．例如都為二次型；為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.6.2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)對(duì)于二次型,我們討論的基本問(wèn)題是:尋求可逆的線性變換x＝Cy,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.或：對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A，尋求可逆陣C，使得為對(duì)角陣.設(shè)對(duì)于二次型,我們討論的基本問(wèn)題是:尋求可逆的線性變換說(shuō)明如何找矩陣C？說(shuō)明如何找矩陣C？一、正交變換法已知結(jié)論：對(duì)任意實(shí)對(duì)稱矩陣A，一定存在正交矩陣Q，使得其中為矩陣A的n個(gè)特征值.因?yàn)镼為正交陣，所以于是由此得到：一、正交變換法已知結(jié)論：對(duì)任意實(shí)對(duì)稱矩陣A，一定存在正交矩陣《線性代數(shù)§》PPT課件用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟例1:

將二次型通過(guò)正交變換x=Py化成標(biāo)準(zhǔn)形.f=17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3解:1.寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣.2.求A的特征值.=

(

–18)2(

–9)從而得A的特征值:

1=9,

2=

3=18.例1:將二次型通過(guò)正交變換x=Py化成標(biāo)準(zhǔn)形.f=173.求特征向量.將

1=9代入(A–

E)x=0得基礎(chǔ)解系:

1=(1,2,2)T.將

2=

3=18代入(A–

E)x=0得基礎(chǔ)解系:

2=(–2,1,0)T,

3=(–2,0,1)T.將特征向量正交化:得正交向量組取

1=

1,

2=

2,

1=(1/2,1,1)T,

2=(–2,1,0)T,

2=(–2/5,–4/5,1)T.3.求特征向量.將1=9代入(A–E)x=0得基礎(chǔ)解系將正交向量組單位化,令得4.作正交變換令于是所求正交變換為:且有f=9y12+18y22+18y32.將正交向量組單位化,令得4.作正交變換令于是所求正交變換（1）幾何意義：在自然基坐標(biāo)系下的

二次曲面說(shuō)明：17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3=1在另一直角坐標(biāo)系下的方程為9y12+18y22+18y32=

1

.它表示一個(gè)橢球面，其主軸與新坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重合，主軸長(zhǎng)度分別為為A的特征值，而變換的矩陣正是由基到基

的過(guò)渡矩陣。（1）幾何意義：在自然基（2）一般，的符號(hào)決定二次曲面的類型三正：橢球面；兩正一負(fù)：?jiǎn)雾?yè)雙曲面；一正兩負(fù)：雙頁(yè)雙曲面；二正一0：橢圓柱面一正一負(fù)一0：雙曲柱面（3）二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的.(4)正交變換的優(yōu)點(diǎn)：保持幾何形狀不變,保持度量.

(5)利用正交變換法時(shí)，一定有為A的特征值。一般地；不一定是A的特征值，C中的列向量也不一定是A的特征向量.（2）一般，的符號(hào)決定二次曲面的類型三正：橢球面；兩正一負(fù)：f=2x1x2+2x1x3–2x1x4–2x2x3+2x2x4+2x3x4例2:

求一個(gè)正交變換x=Py,把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.解:

二次型的矩陣為A的特征多項(xiàng)式為計(jì)算特征多項(xiàng)式:把二,三,四列都加到第一列上,有f=2x1x2+2x1x3–2x1x4–2x2x3+2x把二,三,四行分別減去第一行,有從而得A的特征值:

1=–3,

2=

3=

4=1.當(dāng)

1=–3時(shí),解方程組(A+3E)x=0,得基礎(chǔ)解系:把二,三,四行分別減去第一行,有從而得A的特征值:單位化即得

當(dāng)

2=

3=

4=1時(shí),解方程組(A–E)x=0,可得正交的基礎(chǔ)解系:單位化即得:于是正交變換為:單位化即得當(dāng)2=3=4=1時(shí),解方程且有f=–3y12+y22+y32+y42.且有f=–3y12+y22+y32+y42解：二次型的矩陣為:求得特征多項(xiàng)式為:|

A–

E|

=–

(4–

)(9–

).于是A的特征值為:

1=

9,

2=

4,

3=

0.對(duì)應(yīng)特征向量為:例3:化為標(biāo)準(zhǔn)形,并指出f(x,y,z)=36表示何種二次曲面.求一正交變換,將二次型f(x,y,z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz解：二次型的矩陣為:求得特征多項(xiàng)式為:|A–E|=正交變換為:化二次型為f=9u2+4v2.可知f(x,y,z)=36為橢圓柱面方程.將其單位化得正交變換為:化二次型為f=9u2+4v2.可知f在o-xyz坐標(biāo)系中的圖形在o-uvw坐標(biāo)系中的圖形在o-xyz坐標(biāo)系中的圖形在o-uvw坐標(biāo)系中的圖形例4已知二次型

經(jīng)過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形

求的值和正交矩陣.解：二次型和標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣分別為：由題設(shè)條件又故與相似，從而A有特征值所以有又例4已知二次型解：二次型和標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣分別為：由題設(shè)條件故由解方程組得特征向量：由解方程組得特征向量：由解方程組得特征向量：?jiǎn)挝换茫赫痪仃嚍椋汗视?/p>

1.實(shí)二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題,在理論和實(shí)際中經(jīng)常遇到,通過(guò)在二次型和對(duì)稱矩陣之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,將二次型的化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣,而這是已經(jīng)解決了的問(wèn)題,請(qǐng)注意這種研究問(wèn)題的思想方法.

2.實(shí)二次型的化簡(jiǎn),并不局限于使用正交矩陣,根據(jù)二次型本身的特點(diǎn),可以找到某種運(yùn)算更快的可逆變換.下一節(jié),我們將介紹另一種方法——拉格朗日配方法.1.實(shí)二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題,在理論和實(shí)際中經(jīng)常遇到,通二、拉格朗日配方法用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,其特點(diǎn)是保持幾何形狀不變.

問(wèn)題:

有沒(méi)有其它方法,也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形?問(wèn)題的回答是肯定的.下面首先介紹——拉格朗日配方法.二、拉格朗日配方法用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,其特點(diǎn)是

1.若二次型含有xi的平方項(xiàng),則先把含有xi的乘積項(xiàng)集中,然后配方,再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行,直到都配成平方項(xiàng)為止,經(jīng)過(guò)非退化線性變換,就得到標(biāo)準(zhǔn)形;拉格朗日配方法的步驟

2.若二次型中不含有平方項(xiàng),但是aij0(i

j),則先作可逆線性變換:

化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型,然后再按1中方法配方.(k

i,

j).1.若二次型含有xi的平方項(xiàng),則先把含有xi的乘積例5:

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的線性變換矩陣.

f=x12+2x22+5x32+2

x1x2+2

x1x3+6x2x3f=x12+2x22+5x32+2

x1x2+2

x1x3+6x2x3解:用含有x1的項(xiàng)配方含有平方項(xiàng)=x12+2

x1x2+2

x1x3+2x22+5x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2–x22–x32–2x2x3+2x22+5x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2+x22+4x32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2例5:化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的線性變換矩陣.f=令所用變換矩陣為f=x12+2x22+5x32+2

x1x2+2

x1x3+6x2x3

=y12+y22令所用變換矩陣為f=x12+2x22+5x32+2x解:

由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng),f=2

x1x2+2

x1x3–6x2x3例6:

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的線性變換矩陣.所以令即代入二次型f=2

x1x2+2

x1x3–6x2x3,得f=2y12–2y22–4

y1y3+8y2y3再配方,得f=2(y1-y3)2–2(y2–2y3)2+6

y32.令解:由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng),f=2x1x2+2x即f=2z12–2z22+6

z32.得所用變換矩陣為|

C

|

=–2

0.用配方法時(shí)要注意所用的變換是否為可逆變換.按上述標(biāo)準(zhǔn)程序配方時(shí)一定是可逆變換.即f=2z12–2z22+6z32.得所用變換矩陣為|三、初等變換法定理：對(duì)任一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，都存在可逆陣C，使得即：任一n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，都可以通過(guò)一系列同類型的初等行、列變換化為對(duì)角陣.三、初等變換法定理：對(duì)任一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，都存在可逆陣C1、同類型的初等行列變換：當(dāng)C可逆時(shí)，一定存在一列初等矩陣，使得于是：且注意到所以表示對(duì)A進(jìn)行同類型的初等行，列變換.1、同類型的初等行列變換：當(dāng)C可逆時(shí)，一定存在一列2、可將對(duì)稱矩陣A化為對(duì)角陣－－用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：對(duì)A的階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)n－1階對(duì)稱矩陣成立，那么對(duì)于2、可將對(duì)稱矩陣A化為對(duì)角陣－－用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：對(duì)A的（1）若先做可將第二行的變?yōu)?再做可將第二列的變?yōu)?繼續(xù)做下去，可將第一行和第一列的其余元素變?yōu)?，得到的矩陣：其中為n－1階對(duì)稱矩陣。（1）若先做可將第二行的變?yōu)?再做可將第二列的變?yōu)?繼續(xù)做下（2）若則先將第一行和第i行交換，再將第一列和第i行交換，則為第一行第一列的元素，從而化為情形（1）.（3）若主對(duì)角元均為0，則先做為第一行第一列的元素，也可化為情形（1）.再做則由歸納假設(shè)可知結(jié)論成立.（2）若則先將第一行和第i行交換，再將第一列和第i行由可知方法如下:同類型的初等行，列變換或：同類型的初等行，列變換一般采用第二種方法.由可知方法如下:同類型的初等行，列變換或：同類型的初等行，列例7：將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形，并求變換矩陣C.解：二次型f的矩陣為方法一：例7：將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形，并求變換矩陣C.解：二次型f的故且為坐標(biāo)變換，于是故且為坐標(biāo)變換，于是方法二：方法二：于是做坐標(biāo)變換其中則將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形于是做坐標(biāo)變換其中則將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形又故又故38例8：已知二次型的秩為2，（1）求參數(shù)c及二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣的特征值；（2）判定f＝1表示什么曲面？解：二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣為由題設(shè)知所以|A|=0即例8：已知二次型的秩為2，（1）求參數(shù)c及二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣所以c＝3.A的特征方程為所以c＝3.A的特征方程為故A的特征值為二次型可通過(guò)正交變換化為所以f＝1表示橢圓柱面.故A的特征值為二次型可通過(guò)正交變換化為所以f＝1表示例9：已知實(shí)二次型求在單位球面上的最值.解：二次型的矩陣為故A的特征值為：例9：已知實(shí)二次型求在單位球面上的最值.解：二次型的矩陣為故于是可通過(guò)正交變換可將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：注意到正交變換不改變向量的長(zhǎng)度，所以于是二次型在單位球面上的最值就是二次型在單位球面上的最值.因?yàn)榧此笞畲笾禐?，最小值為1.于是可通過(guò)正交變換可將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：注意到正交變換不改變將一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,可以用正交變換法,也可以用配方法,或者初等變換法,這取決于問(wèn)題的要求.如果要求找出一個(gè)正交矩陣,或條件與度量有關(guān)，應(yīng)使用正交變換法;如果只需要找出一個(gè)可逆的線性變換,那么各種方法都可以使用.正交變換