人教版初三數(shù)學：中心對稱與中心對稱圖形-知識講解

中心對稱與中心對稱圖形一知識講解【學習目標】1、理解中心對稱和中心對稱圖形的定義和性質(zhì)，掌握他們之間的區(qū)別和聯(lián)系；2、掌握關(guān)于原點對稱的點的坐標特征，以及如何求對稱點的坐標；3、探索圖形之間的變化關(guān)系（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合），靈活運用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設(shè)計.【要點梳理】要點一、中心對稱和中心對稱圖形中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心.這兩個圖形中的對應點叫做關(guān)于中心的對稱點.要點詮釋（1）有兩個圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；（2）位置必須滿足一個條件：將其中一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°能夠與另一個圖形重合（全等圖形不一定是中心對稱的，而中心對稱的兩個圖形一定是全等的）.中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.要點詮釋：（1）中心對稱圖形指的是一個圖形；（2）線段，平行四邊形，圓等等都是中心對稱圖形.3.中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系：中心對稱中心對稱圖形區(qū)別指兩個全等圖形之間的相互位置關(guān)系.對稱中心不定.指一個圖形本身成中心對稱.對稱中心是圖形自身或內(nèi)部的點.聯(lián)系如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖形.如果把中心對稱圖形對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又關(guān)于中心對稱.要點二、關(guān)于原點對稱的點的坐標特征關(guān)于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標均互為相反數(shù)?即點尸（兀力關(guān)于原點的對稱點丹坐標為日（-疋_刃,反之也成立.要點三、中心對稱、軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱【高清課堂：高清ID號：388635關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系】中心對稱圖形與旋轉(zhuǎn)對稱圖形的比較：

吝稱定義區(qū)別聯(lián)系旋轉(zhuǎn)對如果一個圖形疑著某一點旋轉(zhuǎn)一定角度（?卜于周角詬能2匣團舷晁舍重合,那么這嚇圈形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圈形旋轉(zhuǎn)角度不一走是1狩旋轉(zhuǎn)對稱圖形只有旋轉(zhuǎn)1訝才是中心時稱圖形，而中心對稱圏形一定是旅轉(zhuǎn)對稱團形中心對稱圖形如果_個舉第耘點旄轉(zhuǎn)國『后能與自身重合，那么這個團形叫做中心對稱團羽必須庭轉(zhuǎn)2.中心對稱圖形與軸對稱圖形比較:答稱定義基本圖形區(qū)別舉例中心對稱圖形如果個圖形豊著某點旋轉(zhuǎn)180^能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱S形旋轉(zhuǎn)180°線段、平行四辺形、矩形、菱形、圓軸對稱圖形如果一個圖形沿某一條直裟翻折1呂F后，直線兩旁的部分能鏗互相重合，那蟲這樣的圖形叫做軸對稱圖形1180沿某一荼直線翻扌斤18『侃寸折）線段、等腰三甫形、矩形、菱形、正右殉、?要點詮釋：中心對稱圖形是特殊的旋轉(zhuǎn)對稱圖形；掌握三種圖形的不同點和共同點是靈活運用的前提.【典型例題】類型一、中心對稱和中心對稱圖形【高清課堂：高清ID號：388635關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例3及練習】1.（2015春?鄄城縣期末）如圖，△ABC與厶A1B1C1關(guān)于點O成中心對稱，下列說法：①/BAC=ZB1A1C1；②AC=A]C]；@OA=OA1；④厶ABC與厶A1B1C1的面積相等，其中正確的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】D【解析】中心對稱的兩個圖形全等，則①②④正確;對稱點到對稱中心的距離相等，故③正確；故①②③④都正確.

故選D.【總結(jié)升華】中心對稱的關(guān)鍵是：旋轉(zhuǎn)180°之后可以與原來的圖形重合.舉一反三【變式】如圖，若正方形EFGH由正方形ABCD繞某點旋轉(zhuǎn)得到，貝V可以作為旋轉(zhuǎn)中心的是（）A.M或0或NB.E或0或CC.E或0或ND.M或0或C【答案】A【高清課堂：高清ID號：388635關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題2】我們平時見過的幾何圖形，如:線段、角、等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心對稱圖形？哪些是軸對稱圖形？中心對稱圖形指出對稱中心，軸對稱圖形指出對稱軸.【答案與解析】7圖形軸對稱圖形中心對稱圖形■■■2條■?■中點角僚<X等JK三角形A1條AX警邊三角形A3條AX千行四遊>?■JXti+2條:X<>-2條正方形4條【總結(jié)升華】線段、角、等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形是重要的幾種對稱幾何圖形，要了解其性質(zhì)特點更要熟記.類型二、作圖已知：如圖甲，試用一條直線把圖形分成面積相等的兩部分（至少三種方法）.

【答案與解析】【答案與解析】【總結(jié)升華】解決這類問題時，關(guān)鍵是將圖形轉(zhuǎn)化成兩個中心對稱圖形（如果原圖形本身就是中心對稱圖形，則直接過對稱中心作直線即可），再由兩點確定一條直線，過兩個對稱中心畫直線即滿足條件.舉一反三【高清課堂：高清ID號：388635關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例5及練習】TOC\o"1-5"\h\z【變式】如圖①，O，O，O，O為四個等圓的圓心，A，B，C，D為切點，請你在圖中畫出1234一條直線，將這四個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個點；如圖②，o，O，O，O，O為五個等圓的圓心，A，B，C，D，E為切點，請你在圖中畫出12345一條直線，將這五個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個點.圖①【答案】圖①【答案】圖①：O]O3或O0或AC或BD;圖②：O5M或O4A類型三、利用圖形變換的性質(zhì)進行計算或證明a（2014春?青神縣校級月考）已知：如圖，三角形ABM與三角形ACM關(guān)于直線AF成軸對稱，三角形ABE與三角形DCE關(guān)于點E成中心對稱，點E、D、M都在線段AF上,BM的延長線交CF于點P.（1）求證：AC=CD；（2）若/BAC=2ZMPC,請你判斷/F與/MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【解題思路（1）利用中心對稱圖形的性質(zhì)以及軸對稱圖形的性質(zhì)得出全等三角形進而得出對應線段相等;（2）利用（1）中所求，進而得出對應角相等，進而得出答案.【答案與解析（1）證明：T△ABM與厶ACM關(guān)于直線AF成軸對稱，△ABM竺△ACM，???AB=AC，又:△ABE與氐DCE關(guān)于點E成中心對稱，△ABE竺△DCE，???AB=CD，???AC=CD；（2）解：ZF=ZMCD.理由：由（1）可得ZBAE=ZCAE=ZCDE，ZCMA=ZBMA，TZBAC=2ZMPC，ZBMA=ZPMF，?設(shè)ZMPC=a，則ZBAE=ZCAE=ZCDE=a,設(shè)ZBMA邙，則ZPMF=ZCMA邙，ZF=ZCPM-ZPMF=a-B，ZMCD=ZCDE-ZDMC=a-B，AZF=ZMCD.【總結(jié)升華】此題主要考查了中心對稱圖形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出對應角相等進而得出是解題關(guān)鍵.舉一反三【高清課堂：高清ID號：388635關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例4及練習】【變式】如圖，三個圓是同心圓，則圖中陰影部分的面積為.

【答案】4附錄資料:弧長和扇形面積、【答案】4附錄資料:弧長和扇形面積、錐的側(cè)面展開圖一知識講解(基礎(chǔ))【學習目標】1?通過復習圓的周長、圓的面積公式，探索n°的圓心角所對的弧長和扇形面積180聞360的計算公式，并應用這些公式解決問題；了解圓錐母線的概念，理解圓錐側(cè)面積計算公式，理解圓錐全面積的計算方法，會應用公式解決問題;能準確計算組合圖形的面積.【要點梳理】要點一、弧長公式半徑為R的圓中360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：C=n°的圓心角所對的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)1QIJ要點詮釋：TOC\o"1-5"\h\z11…林對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即360360180公式中的n表示1°圓心角的倍數(shù)，故n和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.要點二、扇形面積公式扇形的定義由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形扇形面積公式半徑為R的圓中n°的圓心角所對的扇形面積公式：唇甩360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：n°的圓心角所對的扇形面積公式：唇甩3602要點詮釋:1⑴對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是】°的扇形面積是圓面積的‘1皿品—x兀F=即；(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式2有點類似，可類比記憶；⑷扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：幼360⑷扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：幼3602ISO2要點三、圓錐的側(cè)面積和全面積連接圓錐頂點和底面圓上任意一點的線段叫做圓錐的母線圓錐的母線長為卩，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°,則圓錐的側(cè)面積S==兀rl，扇360圓錐的全面積珞二務(wù)十耳二兀刈+耐衛(wèi)二岔卩+F）.要點詮釋：扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長.因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.【典型例題】類型一、弧長和扇形的有關(guān)計算1.如圖（1）,AB切00于點1.如圖（1）,AB切00于點B,OA=2羽,AB=3,弦BC〃OA，貝y劣弧BC的弧長為（）.C.圖（1）【答案】A.【解析】連結(jié)OB、OC，如圖（2）則Z【解析】連結(jié)OB、OC，如圖（2）則ZOBA=90°，ob=^3，ZA=30o,ZAOB^60°，由弦BC〃OA得上0BC=ZA0B=60°，所以△OBC為等邊三角形，ZBOC=60°.則劣弧BC的弧長為，故選a.1803圖（2）【總結(jié)升華】主要考查弧長公式：10IJ舉一反三：【變式】制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，?試計算如圖所示的管道的展直長度，即的長（結(jié)果精確到0.1mm）

【答案】R=40mm,n=110泗R110x40tt???占占的長=18°=18°~76.8(mm)因此，管道的展直長度約為76.8mm.【高清ID號：359387高清課程名稱：弧長扇形圓柱圓錐關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題1-2】.如圖，00的半徑等于1,弦AB和半徑0C互相平分于點M.求扇形0ACB的面積（結(jié)果保留n）【答案與解析】???弦AB和半徑0C互相平分,.??0C丄AB,0M=MC=*0C=*0A.AZB=ZA=30°,.\ZAOB=120°.c120'jrl_jt?S扇形！【總結(jié)升華】運用了垂徑定理的推論，考查扇形面積計算公式舉一反三：【高清ID號：359387高清課程名稱：弧長扇形圓柱圓錐關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題1-2】【變式】如圖（1）,在厶ABC中，BC=4,以點A為圓心，2為半徑的0A與BC相切于點D,交AB于E,交AC于F,點P是OA上的一點，且ZEPF=40°，則圖中陰影部分的面積是（）.兀8-9-4氏兀8-9-4氏4-9A.兀4-9

-8C.兀8-9-8D.圖（1）形EAF的面積是:ZA=2則扇故陰形EAF的面積是:ZA=2則扇故陰圖（2）【答案】連結(jié)AD,則AD丄BC,11△ABC的面積是：2BC?ADWX4X2=4,ZEPF=80°.80kx228=—兀.36098影部分的面積=^ABC的面積-扇形EAF的面積=4-一k.9故選B.類型二、圓錐面積的計算側(cè)面展開圖是半圓，求:（2014秋?廣東期末）如圖，一個圓錐的高為廠艮m,側(cè)面展開圖是半圓，求:（1）圓錐的底面半徑r與母線R之比;【思路點撥】（1）設(shè)出圓錐的底面半徑及圓錐的母線長，利用底面周長等于圓錐的弧長得到圓錐的母線與底面的半徑之比即可；（2）首先求得圓錐的底面半徑和圓錐的母線長，然后利用圓錐的側(cè)面積的計算方法求得其側(cè)面積即可.【答案與解析】1只門°解：（1）由題意可知2兀HJoU，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；2（2）在RtAAOC中，h二沂ITTR2$+h2J*聞)2,4r2=r2+27r2=9，r=±3???r>0r=3，R=6.二S側(cè)=nRr=18n(cm2)￡底二兀］7'二gTT(cm2).S=S/,+S=18n+9n=27n(cm2).全側(cè)底【總結(jié)升華】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵