基于mellin變換的水文頻率分布參數(shù)估計最大熵法

基于mellin變換的水文頻率分布參數(shù)估計最大熵法

1總結在水文頻率分析中，精確的參數(shù)估計對水文頻率分布的實際應用具有重要意義。自20世紀70年代將最大信息熵原理引入水文頻率計算2指數(shù)分布參數(shù)估計pome的解析法指數(shù)Γ分布概率密度函數(shù)式中,x為隨機變量;f(x)為概率密度函數(shù);c為位置參數(shù);a為形狀參數(shù);β為比例參數(shù);b為變換參數(shù);Γ(*)為伽瑪函數(shù)。Shannon信息熵定義為:式中,I(f)為信息熵;f(y)為概率密度函數(shù)。由式(2)可知信息熵為概率密度函數(shù)的函數(shù),事實上可認為I(f)為-lnf(y)的均值。將式(1)代入式(2)得:式中,E[*]為均值。式(4)表達概率歸一化,式(5)、(6)分別為函數(shù)(x-c)根據(jù)最大信息熵原理,推導概率分布的參數(shù)和約束條件之間的關系(即POME),一般通過泛函分析,采用Lagrange乘子法對式(5),令:代入式(1)簡化得:對式(8)進行Mellin變換,則:式中,M[f;s]為f(y)的Mellin變換;s為參數(shù)。對式(9),當s=2、3時:聯(lián)立式(10)、(11)得:式中,Var[*]為方差。再將式(7)分別代入式(10)、(12)得:對式(6),再令對式(15)分別求s的一階導數(shù)和二階導數(shù),并取s=1分別得:式中,ψ將式(7)代入式(16)、(17),推導得:以式(13)、(14)、(20)、(21)構成求解a、β、b、c的方程組,即指數(shù)Γ分布參數(shù)估計的POME。因此,采用Mellin變換可直接推導POME。由于指數(shù)Γ分布是一種分布線型族,常用的P-Ⅲ、Γ、K-M、P-V等10余種概率密度函數(shù)都是其特殊情形3信息熵函數(shù)廣義Pareto分布密度函數(shù)的形式為:式中,b為尺度參數(shù);c為門限值。將式(22)代入式(2)得廣義Pareto分布的信息熵函數(shù)式(23)成立的條件為a<0。則其約束條件為:則式(22)變換為:式(28)中s=0時:根據(jù)式(15),并分別求s的一階導數(shù)和二階導數(shù),并令s=1得:將式(26)代入式(29)~(31)得廣義Pareto分布的POME可見,采用Mellin變換可推導POME。4二參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)式中,σ為形狀參數(shù),σ>0;μ為比例參數(shù),μ∈(-∞,∞)。其信息熵函數(shù)為:約束條件為:由約束條件可表達為:對式(35)進行Mellin變換得:根據(jù)式(15),進一步推導得:由式(40)得:二參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布的POME由式(42)、(43)組成,可見采用Mellin變換推導可行。5應用melin變換推導a.采用Mellin變換代替Lagrange乘子法推導了指數(shù)Γ分布、廣義Pareto分布和二參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)估計的POME,求矩推演過程證明,該方法比Lagrange乘子法更加直接、簡單、快捷。因此,可作為推導POME的有效方法之一。b.應用Mellin變換推導POME,當指定的約束條件包括一些待定參數(shù),僅用約束條件方程式不夠求參,還需增補除方差方程式