【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級上冊 19.9 勾股定理 同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級上冊19.9勾股定理同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023八上·東方期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，則AD等于（）

A．6B．7C．8D．9

【答案】C

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，

在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

2．（2023八上·余姚期末）如圖，以直角三角形的各邊邊長分別向外做等邊三角形，再把較小的兩個(gè)三角形按如圖2的方式放置在最大的三角形內(nèi)，是小梯形面積，是三個(gè)三角形重疊部分的面積，是大梯形的面積，是平行四邊形的面積，則下列關(guān)系一定成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點(diǎn)】三角形的面積；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】解：如下圖，設(shè)直角三角形的三邊長度分別為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵為直角三角形，，

∴，

∵為等邊三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

同理，，，

根據(jù)題意，把較小的兩個(gè)三角形放置在最大的三角形內(nèi)，如圖2，

可知，，，

∴，

∴，

∴.

故答案為：B.

【分析】設(shè)直角△ABC的三邊長度分別為a、b、c，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，由勾股定理可得a2+b2=c2，由等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BD=AD=c，表示出BH、DH，根據(jù)三角形的面積公式可得S△ABD，同理可得S△BCF、S△ACE，根據(jù)題意可知S1+S2=S△ACE，S2+S3=S△BCF，S1+S2+S2+S3=S△ABD，據(jù)此解答.

3．（2023八上·青田期末）如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG=CH=8，BG=DH=6，則線段GH的長為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點(diǎn)】三角形全等的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：如圖，延長BG交CH于點(diǎn)E，

∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，

∴AG2+BG2＝AB2，

∴△ABG和△DCH是直角三角形，

在△ABG和△CDH中，

，

∴△ABG≌△CDH（SSS），

∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，

∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，

又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，

∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，

在△ABG和△BCE中，

，

∴△ABG≌△BCE（ASA），

∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，

∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，

同理可得HE＝2，

在Rt△GHE中，GH2.

故答案為：A.

【分析】延長BG交CH于點(diǎn)E，利用勾股定理逆定理得△ABG和△DCH是直角三角形，由SSS證明△ABG≌△CDH，得到∠1＝∠5，∠2＝∠6，進(jìn)而推出∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，由ASA證明△ABG≌△BCE，得到BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，GE＝BE-BG＝2，同理可得HE＝2，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

4．（2022八上·丹東期末）下列各組數(shù)據(jù)為三角形三邊，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

【答案】D

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A.，故此選項(xiàng)不符合題意

B.，故此選項(xiàng)不符合題意

C.，故此選項(xiàng)不符合題意

D.，故此選項(xiàng)符合題意

故答案為：D.

【分析】利用勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可。

5．（2023八上·開江期末）△ABC的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）

A．a(chǎn)2＋b2＝c2B．∠A＝∠B＋∠C

C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13

【答案】C

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵，∴此三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B＋∠C，

∴∠A＝90°，

∴此三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、設(shè)∠A＝3x，則∠B＝4x，∠C＝5x，

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°，

∴∠C＝5×15°＝75°，

∴此三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

D、∵，

∴此三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可判斷A、D；根據(jù)B、C中的條件結(jié)合內(nèi)角和定理即可判斷.

6．（2022八上·海港期末）在下列條件中：①；②；③；④，能確定是直角三角形的條件有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】C

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：對于①：∵，

∴，

∴，故①滿足題意；

對于②：，設(shè)，

∴，

∴，

∴，故②滿足題意；

對于③：，設(shè)，

∵，

∴是直角三角形，故③滿足題意；

對于④：∵，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，故④不滿足題意；

所以能判斷是直角三角形的有：①②③，

故答案為：C．

【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和逐項(xiàng)判斷即可。

7．（2022八上·沈陽期末）下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（）

A．1、2、3B．7、8、9C．6、8、10D．5、12、20

【答案】C

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】A、12+22=5，32=9，

∵5≠9，

∴1、2、3不能作為直角三角形的三邊長；

B、72+82=103，92=81，

∵103≠81，

∴7，8，9可以不能作為直角三角形的三邊長；

C、∵62+82=100，102=100，

∴62+82=102，

∴6、8、10能作為直角三角形的三邊長；

D、∵52+122=169，202=400，

∴52+122≠202，

∴5、12、20不能作為直角三角形的三邊長．

故答案為：C．

【分析】利用勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可。

8．（2023七下·孝義期中）如圖，在三角形ABC中，，，，，將三角形沿射線的方向平移個(gè)單位長度得到三角形，連接，則下列結(jié)論：①且；②四邊形的面積等于四邊形DFCG的面積；③四邊形的周長為；④其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】C

【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；勾股定理；平移的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由平移可知且，AD=CF=6，AC=DF=8，AB∥ED，S△ABC=S△DEF，①正確；

∴，

即四邊形的面積等于四邊形DFCG的面積，②正確；

∴四邊形的周長為6+6+10+10+6+8=36，③錯(cuò)誤；

在△ABC中，，

∴∠BAC=90°，

∵AB∥DE，

∴∠BAC=∠EGC=90°，④正確，

∴正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)，

故答案為：C

【分析】先根據(jù)平移的性質(zhì)再結(jié)合題意即可判斷①②③，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到∠BAC=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可判斷④，進(jìn)而即可求解。

二、填空題

9．（2023八上·江北期末）如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)D為∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，OD的垂直平分線交OA、OB分別于點(diǎn)P，Q，點(diǎn)E是OA上異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，且DE=OP=6，則△ODE的面積為.

【答案】

【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理

【解析】【解答】解：連接DP、DQ，過D作DF⊥OE于F，

∵平分，

∴，

∵OD的垂直平分線交OA、OB分別于點(diǎn)P，Q

∴，

∴，

∴，

∵

∴，

∵

∴，

∵

∴

∴

∴

∴的面積，

故答案為：.

【分析】連接DP、DQ，過D作DF⊥OE于F，根據(jù)角平分線的定義得∠AOD=15°，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得OP=PD，由等邊對等角得∠AOD=∠ODP=15°，由三角形外角性質(zhì)得∠APD=30°，根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)得DF=3，根據(jù)勾股定理算出PF的長，易得DP=DE，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得PE的長，進(jìn)而根據(jù)三角形面積計(jì)算公式即可算出答案.

10．（2023八上·鄞州期末）如圖，在中，，D為的中點(diǎn)，連結(jié)，作交于點(diǎn)M.若，，則.

【答案】

【知識點(diǎn)】勾股定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：延長至點(diǎn)E，使，連結(jié)，.

∵D為的中點(diǎn)，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

設(shè)，則，，

在中，，

在中，，

∴，

解得（負(fù)值舍去）.

故答案為：.

【分析】延長MD至點(diǎn)E，使DE=DM，連結(jié)BE、CE，由中點(diǎn)的概念可得AD=DB，利用SAS證明△AMD≌△BED，得到∠DBE=∠A，結(jié)合∠A+∠ABC=90°可得∠DBE+∠ABC=90°，利用SAS證明△CMD≌△CED，得到CE=CM，設(shè)CM=x，則CE=x，AC=2+x，然后在Rt△CBE、Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求解即可.

11．（2023八上·義烏期末）氣動(dòng)升降桌由于高度可調(diào)節(jié)，給人們學(xué)習(xí)生活帶來許多便捷．如圖1所示是桌子的側(cè)平面示意圖，AC，BC，DC，DE，HG是固定鋼架，HG垂直桌面MN，GE是位置可變的定長鋼架．DF是兩端固定的伸縮桿，其中，DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，∠EDC是一個(gè)固定角為150°，當(dāng)GE旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，伸縮桿最短，此時(shí)伸縮桿DF的長度為cm．點(diǎn)D的離地高度為60cm，HG＝10cm，小南將桌子調(diào)整到他覺得最舒服的高度，此時(shí)發(fā)現(xiàn)FD＝FE，則桌面高度為cm．

【答案】；

【知識點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理的應(yīng)用；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，延長CD交EF于點(diǎn)P，

由題意可知CD與水平面垂直，當(dāng)GE旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，則PD⊥EF，

∴∠DPE＝∠DPF＝90°，

∵∠EDC＝150°，

∴∠PDE＝30°，

∵DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，

∴PE＝DE＝10cm，F(xiàn)E＝GEGF＝26cm，cm，

∴PF＝FEPE＝16cm，

∴cm，

如圖，作FL⊥DE于點(diǎn)L，交CD的延長線于點(diǎn)R，

∵FD＝FE，

∴DL＝EL＝DE＝10cm，

∵∠DLR＝∠ELF＝90°，

∴DR=2LR，cm，

∴102＋LR2＝（2LR）2，

∴cm，cm，cm，

∴作EQ⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)Q，F(xiàn)K⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)K，

∵∠DQE＝∠FKR＝90°，∠FRK＝∠DRL＝60°，

∴EQ＝DE＝10cm，∠RFK＝30°，

∴cm，cm，

∴cm，

作GT⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)T，作EO⊥GT交GT的延長線于點(diǎn)O，交FK的延長線于點(diǎn)I，

∵EQ∥FK∥GT，EO∥QT，∠EQK＝90°，

∴四邊形EQKI、四邊形EQTO都是矩形，

∴cm，

∵，

∴cm，

∴cm，

連結(jié)AB，延長CT交MN于點(diǎn)W，延長DC交AB于點(diǎn)J，則DJ＝60cm，

∵M(jìn)N∥OG，WT⊥MN，HG⊥MN，

∴WT＝HG＝10cm，

∴cm.

故答案為：，.

【分析】延長CD交EF于點(diǎn)P，則當(dāng)GE旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，則PD⊥EF，先由∠EDC＝150°得∠PDE＝30°，而∠DPE＝90°，所以PE＝DE＝10cm，F(xiàn)E＝GEGF＝26cm，則PF＝16cm，根據(jù)勾股定理可求得PD＝cm即可求得DF＝cm；作FL⊥DE于點(diǎn)L，交CD的延長線于點(diǎn)R，由FD＝FE得DL＝EL＝DE＝10cm，可求得FL＝24cm，即可根據(jù)勾股定理求得LR作EQ⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)Q，F(xiàn)K⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)K，則EQ＝DE＝10cm，RK＝FR＝cm，由勾股定理求得DQ＝cm，則QK＝cm，作GT⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)T，作EO⊥GT交GT的延長線于點(diǎn)O，交FK的延長線于點(diǎn)I，則cm，cm，cm，連結(jié)AB，延長CT交MN于點(diǎn)W，延長DC交AB于點(diǎn)J，則DJ＝60cm，WT＝HG＝10cm，由JW＝DJ＋WT＋DT求出JW的長即可．

12．（2023八上·鄞州期末）如圖，在中，，于點(diǎn)，于點(diǎn)若，.

（1）的長為；

（2）在的腰上取一點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，長為.

【答案】（1）3

（2）或

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理

【解析】【解答】解：（1）于點(diǎn)，，

，，

于點(diǎn)，

，

，

，

，

故答案為：3；

（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖1，

，

是等腰三角形，

，

，

，

；

當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，

若，如圖，

，，

平分，

于點(diǎn)，

，

此時(shí)為等腰三角形，

過點(diǎn)M作MN⊥AB，與BA的延長線交于點(diǎn)N，

，，

由勾股定理知，，

，

，

，

，

，

由（1）知，，，

∴∠ADM=30°

，

，

是等邊三角形，

，

所以當(dāng)，或時(shí)，都有；

綜上，或，

故答案為：或.

【分析】（1）由含30°角直角三角形性質(zhì)得AB=2AD，∠DAE=60°，∠ADE=30°，AD=2AE，據(jù)此求出AB的長，最后根據(jù)BE=AB-AE即可算出答案；

（2）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時(shí)，易得△DEM是等腰直角三角形，可求出DE=EM=，進(jìn)而根據(jù)BM=BE-EM代入計(jì)算可得BM的長；②當(dāng)點(diǎn)M在AC邊上時(shí)，若DM⊥AC，根據(jù)等腰三角形的三線合一得AD平分∠BAC，進(jìn)而根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得，此時(shí)△DEM是等腰三角形，過點(diǎn)M作MN⊥AB，與BA的延長線交于點(diǎn)N，根據(jù)勾股定理易得AM=AE=1，由三角形外角性質(zhì)得∠MAN=60°，故∠AMN=30°，根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)得AN的長，進(jìn)而根據(jù)公共點(diǎn)了算出MN、BM的長；③易判斷出△DEM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得DE=DM=MN，故當(dāng)DE=EM或MD=ME時(shí)，都有，綜上即可得出答案.

13．（2022八上·拱墅月考）如圖，在中，，為邊的中點(diǎn)，、分別為邊、上的點(diǎn)，且，若，，則，線段的長度．

【答案】45；

【知識點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：如圖，延長FD到M使得DM＝DF=2，分別連接AM、EM、EF，作EN⊥DF于點(diǎn)N，

∵∠C＝90°，

∴∠BAC+∠B＝90°，

∵AE＝AD，BF＝BD，

∴∠AED＝∠ADE，∠BDF＝∠BFD，

∴2∠ADE+∠BAC＝180°，2∠BDF+∠B＝180°，

∴2∠ADE+2∠BDF＝270°，

∴∠ADE+∠BDF＝135°，

∴∠EDF＝180°-（∠ADE+∠BDF）＝45°，

∵∠END＝90°，DE＝，

∴∠EDN＝∠DEN＝45°，

∴EN＝DN＝1，

∵D為AB的中點(diǎn)，

∴AD=BD，

又∵∠ADM=∠BDF，DM＝DF=2，

△ADM≌△BDF（SAS），

∴BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，

∴∠MAE＝∠MAD+∠BAC＝90°，

∴EM＝AM，

∵在Rt△EMN中，EN＝1，MN＝DM+DN＝3，

∴EM＝＝=，

∴AM＝，AB＝2AM＝．

故答案為：45，．

【分析】延長FD到M使得DM＝DF=2，分別連接AM、EM、EF，作EN⊥DF于點(diǎn)N，先利用角的互余關(guān)系及等腰三角形性質(zhì)得到∠ADE+∠BDF＝135°，再利用角的互補(bǔ)關(guān)系求得∠EDF＝45°，從而得到∠EDN＝∠DEN＝45°，EN＝DN＝1；再利用“SAS”定理證明△ADM≌△BDF，從而得BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，進(jìn)而得到EM＝AM，再利用勾股定理求得EM的長，從而求出AM的長，進(jìn)而求得AB的長.

三、解答題

14．（2023八上·渭濱期末）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積.

【答案】解：連接AC，

∠B=90°，AB=4，BC=3，

CD=12，AD=13，

，

是直角三角形且，

∴

.

【知識點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】連接AC，由勾股定理可求出AC的值，根據(jù)勾股定理逆定理知△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，然后根據(jù)S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.

15．（2023八上·鳳翔期末）如圖，有兩棵樹，一棵高6m，另一棵高2m，兩樹相距5m.一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？（結(jié)果精確到0.1m）

【答案】解：如圖，設(shè)大樹高為AC=6m，小樹高為BD=2m，

過B點(diǎn)作BE⊥AC于E，則EBDC是矩形，

連接AB，

∴EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，

在Rt△AEB中，AB=（m），

故小鳥至少飛行m.

【知識點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【分析】設(shè)大樹高為AC=6m，小樹高為BD=2m，過B點(diǎn)作BE⊥AC于E，則EBDC是矩形，連接AB，則得EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，在Rt△AEB中，用勾股定理算出AB的長即可.

四、作圖題

16．（2023八上·溫州期末）在直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．如圖，直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A(-3，0)，B(0，4)．請?jiān)谒o的網(wǎng)格區(qū)域(含邊界)作圖．

（1）畫一個(gè)等腰三角形ABC，且點(diǎn)C為第一象限內(nèi)的整點(diǎn)，并寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（2）畫一個(gè)△OAD，使△OAD與△AOB重疊部分的面積是△AOB面積的一半，且點(diǎn)D為整點(diǎn)，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

【答案】（1）解：畫法不唯一，如圖1或圖2等

圖1中點(diǎn)C的坐標(biāo)：(5，4)

圖2中點(diǎn)C的坐標(biāo)：(4，1)

（2）解：畫法不唯一，如圖3或圖4等

圖3中點(diǎn)D的坐標(biāo)：(3，4)

圖4中點(diǎn)D的坐標(biāo)：(-3，4)

【知識點(diǎn)】三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【分析】（1）根據(jù)方格紙的特點(diǎn)及勾股定理算出AB的長為5，從而在第一象限內(nèi)找出以B一個(gè)端點(diǎn)長度為5的線段，且另一個(gè)端點(diǎn)是格點(diǎn)的點(diǎn)就是點(diǎn)C，連接AC，△ANBC就是所求的三角形，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)C的位置讀出其坐標(biāo)即可；

（2）由于等底同高的三角形面積相等，故過BO的中點(diǎn)及點(diǎn)A的直線經(jīng)過的第一象限的格點(diǎn)的點(diǎn)就是點(diǎn)D，連接OD，根據(jù)點(diǎn)D的位置讀出其坐標(biāo)即可；或者過BA的中點(diǎn)及點(diǎn)O的直線經(jīng)過的第二象限的格點(diǎn)的點(diǎn)就是點(diǎn)D，連接AD，根據(jù)點(diǎn)D的位置讀出其坐標(biāo)即可.

五、綜合題

17．（2023七下·張店期末）已知線段垂直直線于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，分別以，為邊作等邊三角形（點(diǎn)在邊的右側(cè)）和等邊三角形，直線交直線于點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，求證：；

（2）①當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)（如圖2），請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；

②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)（如圖3），請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；

③在①和②中，選擇其中一個(gè)進(jìn)行證明；

（3）當(dāng)，且時(shí)，請直接寫出的長．

【答案】（1）證明：設(shè)交于，如圖：

∵，都是等邊三角形，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即．

（2）解：①結(jié)論：．②結(jié)論：；

③證明①：如圖2中，

∵，都是等邊三角形，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

即．

證明②：如圖3中，

∵，都是等邊三角形，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即．

（3）的長為或

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，如圖1：

∵，，設(shè)，

則，，

∵，

故，

解得：，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∵，，

∴，

故，

即；

當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，如圖2：

∵，即，故該情況不符合題意；

當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，如圖3：

∵，，設(shè)，

則，，

∵，

故，

解得：，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∵，，

∴，

故，

即；

綜上，當(dāng)，且時(shí)，的長為或．

【知識點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；等腰三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理

【解析】【解答】（2）②結(jié)論DF=CE+CF。證明：如圖3所示，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠DAB=∠EAC，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，又∵AB⊥l，∴∠ABD=∠ABF=90°，又∠ABC=60°，∴∠FBC=30°，又∠ACE=∠ABD，∴∠ACE=90°，∴∠BFC+∠BAC=360°-（90°+90°）=180°，∴∠BFC=180°-60°=120°，∴∠FCB=30°，∴CF=BF，∵DF=BD+BF，∴DF=CE+CF；

【分析】（1）先根據(jù)SAS證明△ABD和△ACE全等，得出BD=CE，然后再分別計(jì)算∠FBC=30°，∠OFD=60°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求得∠FCB=30°，根據(jù)等角對等邊得出CF=BF，然后等量代換，即可得出結(jié)論；

（2）①DF=CF-CE，先根據(jù)SAS證明△ABD和△ACE全等，得出BD=CE，然后再分別計(jì)算∠FBC=30°，∠DFE=120°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠FCB=30°，根據(jù)等角對等邊得出CF=BF，然后等量代換，即可得出結(jié)論；

②DF=CE+CF，先根據(jù)SAS證明△ABD和△ACE全等，得出BD=CE，然后再分別計(jì)算∠FBC=30°，∠BFC=120°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠FCB=30°，根據(jù)等角對等邊得出CF=BF，然后等量代換，即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)點(diǎn)F的位置，可以分成三種情況分別計(jì)算AB的長度。①點(diǎn)F在線段BD上時(shí)，過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)BF=CF=x，根據(jù)（2）的結(jié)論，可求得x的值，然后根據(jù)含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)，求出BH的長，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出BC的長，根據(jù)等邊三角形三邊相等可知AB的長；②點(diǎn)F在線段BD的延長線上時(shí)，BD＜BF，不符合BD=3BF，故該情況不符合題意；③點(diǎn)F在線段DB的延長線上時(shí)，過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)BF=CF=x，根據(jù)（2）的結(jié)論，可求得x的值，然后根據(jù)含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)，求出BH的長，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出BC的長，根據(jù)等邊三角形三邊相等可知AB的長；即可得出線段AB的兩個(gè)值。

18．（2023七下·黃浦期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)、，過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D、E．

（1）說明的理由；

（2）求的面積

（3）在x軸上找到點(diǎn)P，使是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）解：∵、，軸，軸，

∴，，，則，

∴，

∴，則，

∴，

∴；

（2）解：的面積；

（3）或或

由勾股定理可得：，

①當(dāng)以頂角頂點(diǎn)，即時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

②當(dāng)以為頂角頂點(diǎn)，即時(shí)，

由勾股定理可得：，則，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

綜上，或或．

【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【分析】（1）通過證明△OAD和△BOE全等，得出對應(yīng)角∠AOD=∠OBE，從而得到∠AOD+∠BOE=90°，由平角定義求得∠AOB=90°，即結(jié)論得證；

（2）把△AOB的面積轉(zhuǎn)化成直角梯形ADEB的面積減去2倍的Rt△AOD的面積，即可求出結(jié)果；

（3）△BOP以O(shè)B為腰的等腰三角形可分為兩種種情況：①以點(diǎn)O為頂角頂點(diǎn)：OP=OB=5，求出兩個(gè)符合條件的點(diǎn)；②以點(diǎn)B為頂角頂點(diǎn)：BO=BP=5，求出OP=6，得到一個(gè)符合條件的點(diǎn)，即可求得三個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

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2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級上冊19.9勾股定理同步分層訓(xùn)練培優(yōu)卷(滬教版五四制)

一、選擇題

1．（2023八上·東方期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，則AD等于（）

A．6B．7C．8D．9

2．（2023八上·余姚期末）如圖，以直角三角形的各邊邊長分別向外做等邊三角形，再把較小的兩個(gè)三角形按如圖2的方式放置在最大的三角形內(nèi)，是小梯形面積，是三個(gè)三角形重疊部分的面積，是大梯形的面積，是平行四邊形的面積，則下列關(guān)系一定成立的是（）

A．B．C．D．

3．（2023八上·青田期末）如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG=CH=8，BG=DH=6，則線段GH的長為（）

A．B．C．D．

4．（2022八上·丹東期末）下列各組數(shù)據(jù)為三角形三邊，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

5．（2023八上·開江期末）△ABC的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）

A．a(chǎn)2＋b2＝c2B．∠A＝∠B＋∠C

C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13

6．（2022八上·海港期末）在下列條件中：①；②；③；④，能確定是直角三角形的條件有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

7．（2022八上·沈陽期末）下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（）

A．1、2、3B．7、8、9C．6、8、10D．5、12、20

8．（2023七下·孝義期中）如圖，在三角形ABC中，，，，，將三角形沿射線的方向平移個(gè)單位長度得到三角形，連接，則下列結(jié)論：①且；②四邊形的面積等于四邊形DFCG的面積；③四邊形的周長為；④其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

二、填空題

9．（2023八上·江北期末）如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)D為∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，OD的垂直平分線交OA、OB分別于點(diǎn)P，Q，點(diǎn)E是OA上異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，且DE=OP=6，則△ODE的面積為.

10．（2023八上·鄞州期末）如圖，在中，，D為的中點(diǎn)，連結(jié)，作交于點(diǎn)M.若，，則.

11．（2023八上·義烏期末）氣動(dòng)升降桌由于高度可調(diào)節(jié)，給人們學(xué)習(xí)生活帶來許多便捷．如圖1所示是桌子的側(cè)平面示意圖，AC，BC，DC，DE，HG是固定鋼架，HG垂直桌面MN，GE是位置可變的定長鋼架．DF是兩端固定的伸縮桿，其中，DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，∠EDC是一個(gè)固定角為150°，當(dāng)GE旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，伸縮桿最短，此時(shí)伸縮桿DF的長度為cm．點(diǎn)D的離地高度為60cm，HG＝10cm，小南將桌子調(diào)整到他覺得最舒服的高度，此時(shí)發(fā)現(xiàn)FD＝FE，則桌面高度為cm．

12．（2023八上·鄞州期末）如圖，在中，，于點(diǎn)，于點(diǎn)若，.

（1）的長為；

（2）在的腰上取一點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，長為.

13．（2022八上·拱墅月考）如圖，在中，，為邊的中點(diǎn)，、分別為邊、上的點(diǎn)，且，若，，則，線段的長度．

三、解答題

14．（2023八上·渭濱期末）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積.

15．（2023八上·鳳翔期末）如圖，有兩棵樹，一棵高6m，另一棵高2m，兩樹相距5m.一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？（結(jié)果精確到0.1m）

四、作圖題

16．（2023八上·溫州期末）在直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．如圖，直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A(-3，0)，B(0，4)．請?jiān)谒o的網(wǎng)格區(qū)域(含邊界)作圖．

（1）畫一個(gè)等腰三角形ABC，且點(diǎn)C為第一象限內(nèi)的整點(diǎn)，并寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（2）畫一個(gè)△OAD，使△OAD與△AOB重疊部分的面積是△AOB面積的一半，且點(diǎn)D為整點(diǎn)，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

五、綜合題

17．（2023七下·張店期末）已知線段垂直直線于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，分別以，為邊作等邊三角形（點(diǎn)在邊的右側(cè)）和等邊三角形，直線交直線于點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，求證：；

（2）①當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)（如圖2），請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；

②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)（如圖3），請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；

③在①和②中，選擇其中一個(gè)進(jìn)行證明；

（3）當(dāng)，且時(shí)，請直接寫出的長．

18．（2023七下·黃浦期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)、，過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D、E．

（1）說明的理由；

（2）求的面積

（3）在x軸上找到點(diǎn)P，使是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，

在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

2．【答案】B

【知識點(diǎn)】三角形的面積；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】解：如下圖，設(shè)直角三角形的三邊長度分別為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵為直角三角形，，

∴，

∵為等邊三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

同理，，，

根據(jù)題意，把較小的兩個(gè)三角形放置在最大的三角形內(nèi)，如圖2，

可知，，，

∴，

∴，

∴.

故答案為：B.

【分析】設(shè)直角△ABC的三邊長度分別為a、b、c，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，由勾股定理可得a2+b2=c2，由等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BD=AD=c，表示出BH、DH，根據(jù)三角形的面積公式可得S△ABD，同理可得S△BCF、S△ACE，根據(jù)題意可知S1+S2=S△ACE，S2+S3=S△BCF，S1+S2+S2+S3=S△ABD，據(jù)此解答.

3．【答案】A

【知識點(diǎn)】三角形全等的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：如圖，延長BG交CH于點(diǎn)E，

∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，

∴AG2+BG2＝AB2，

∴△ABG和△DCH是直角三角形，

在△ABG和△CDH中，

，

∴△ABG≌△CDH（SSS），

∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，

∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，

又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，

∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，

在△ABG和△BCE中，

，

∴△ABG≌△BCE（ASA），

∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，

∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，

同理可得HE＝2，

在Rt△GHE中，GH2.

故答案為：A.

【分析】延長BG交CH于點(diǎn)E，利用勾股定理逆定理得△ABG和△DCH是直角三角形，由SSS證明△ABG≌△CDH，得到∠1＝∠5，∠2＝∠6，進(jìn)而推出∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，由ASA證明△ABG≌△BCE，得到BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，GE＝BE-BG＝2，同理可得HE＝2，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

4．【答案】D

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A.，故此選項(xiàng)不符合題意

B.，故此選項(xiàng)不符合題意

C.，故此選項(xiàng)不符合題意

D.，故此選項(xiàng)符合題意

故答案為：D.

【分析】利用勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可。

5．【答案】C

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵，∴此三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B＋∠C，

∴∠A＝90°，

∴此三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、設(shè)∠A＝3x，則∠B＝4x，∠C＝5x，

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°，

∴∠C＝5×15°＝75°，

∴此三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

D、∵，

∴此三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故答案為：C.

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可判斷A、D；根據(jù)B、C中的條件結(jié)合內(nèi)角和定理即可判斷.

6．【答案】C

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：對于①：∵，

∴，

∴，故①滿足題意；

對于②：，設(shè)，

∴，

∴，

∴，故②滿足題意；

對于③：，設(shè)，

∵，

∴是直角三角形，故③滿足題意；

對于④：∵，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，故④不滿足題意；

所以能判斷是直角三角形的有：①②③，

故答案為：C．

【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和逐項(xiàng)判斷即可。

7．【答案】C

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】A、12+22=5，32=9，

∵5≠9，

∴1、2、3不能作為直角三角形的三邊長；

B、72+82=103，92=81，

∵103≠81，

∴7，8，9可以不能作為直角三角形的三邊長；

C、∵62+82=100，102=100，

∴62+82=102，

∴6、8、10能作為直角三角形的三邊長；

D、∵52+122=169，202=400，

∴52+122≠202，

∴5、12、20不能作為直角三角形的三邊長．

故答案為：C．

【分析】利用勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可。

8．【答案】C

【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；勾股定理；平移的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由平移可知且，AD=CF=6，AC=DF=8，AB∥ED，S△ABC=S△DEF，①正確；

∴，

即四邊形的面積等于四邊形DFCG的面積，②正確；

∴四邊形的周長為6+6+10+10+6+8=36，③錯(cuò)誤；

在△ABC中，，

∴∠BAC=90°，

∵AB∥DE，

∴∠BAC=∠EGC=90°，④正確，

∴正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)，

故答案為：C

【分析】先根據(jù)平移的性質(zhì)再結(jié)合題意即可判斷①②③，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到∠BAC=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可判斷④，進(jìn)而即可求解。

9．【答案】

【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理

【解析】【解答】解：連接DP、DQ，過D作DF⊥OE于F，

∵平分，

∴，

∵OD的垂直平分線交OA、OB分別于點(diǎn)P，Q

∴，

∴，

∴，

∵

∴，

∵

∴，

∵

∴

∴

∴

∴的面積，

故答案為：.

【分析】連接DP、DQ，過D作DF⊥OE于F，根據(jù)角平分線的定義得∠AOD=15°，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得OP=PD，由等邊對等角得∠AOD=∠ODP=15°，由三角形外角性質(zhì)得∠APD=30°，根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)得DF=3，根據(jù)勾股定理算出PF的長，易得DP=DE，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得PE的長，進(jìn)而根據(jù)三角形面積計(jì)算公式即可算出答案.

10．【答案】

【知識點(diǎn)】勾股定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：延長至點(diǎn)E，使，連結(jié)，.

∵D為的中點(diǎn)，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

設(shè)，則，，

在中，，

在中，，

∴，

解得（負(fù)值舍去）.

故答案為：.

【分析】延長MD至點(diǎn)E，使DE=DM，連結(jié)BE、CE，由中點(diǎn)的概念可得AD=DB，利用SAS證明△AMD≌△BED，得到∠DBE=∠A，結(jié)合∠A+∠ABC=90°可得∠DBE+∠ABC=90°，利用SAS證明△CMD≌△CED，得到CE=CM，設(shè)CM=x，則CE=x，AC=2+x，然后在Rt△CBE、Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求解即可.

11．【答案】；

【知識點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理的應(yīng)用；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，延長CD交EF于點(diǎn)P，

由題意可知CD與水平面垂直，當(dāng)GE旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，則PD⊥EF，

∴∠DPE＝∠DPF＝90°，

∵∠EDC＝150°，

∴∠PDE＝30°，

∵DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，

∴PE＝DE＝10cm，F(xiàn)E＝GEGF＝26cm，cm，

∴PF＝FEPE＝16cm，

∴cm，

如圖，作FL⊥DE于點(diǎn)L，交CD的延長線于點(diǎn)R，

∵FD＝FE，

∴DL＝EL＝DE＝10cm，

∵∠DLR＝∠ELF＝90°，

∴DR=2LR，cm，

∴102＋LR2＝（2LR）2，

∴cm，cm，cm，

∴作EQ⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)Q，F(xiàn)K⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)K，

∵∠DQE＝∠FKR＝90°，∠FRK＝∠DRL＝60°，

∴EQ＝DE＝10cm，∠RFK＝30°，

∴cm，cm，

∴cm，

作GT⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)T，作EO⊥GT交GT的延長線于點(diǎn)O，交FK的延長線于點(diǎn)I，

∵EQ∥FK∥GT，EO∥QT，∠EQK＝90°，

∴四邊形EQKI、四邊形EQTO都是矩形，

∴cm，

∵，

∴cm，

∴cm，

連結(jié)AB，延長CT交MN于點(diǎn)W，延長DC交AB于點(diǎn)J，則DJ＝60cm，

∵M(jìn)N∥OG，WT⊥MN，HG⊥MN，

∴WT＝HG＝10cm，

∴cm.

故答案為：，.

【分析】延長CD交EF于點(diǎn)P，則當(dāng)GE旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，則PD⊥EF，先由∠EDC＝150°得∠PDE＝30°，而∠DPE＝90°，所以PE＝DE＝10cm，F(xiàn)E＝GEGF＝26cm，則PF＝16cm，根據(jù)勾股定理可求得PD＝cm即可求得DF＝cm；作FL⊥DE于點(diǎn)L，交CD的延長線于點(diǎn)R，由FD＝FE得DL＝EL＝DE＝10cm，可求得FL＝24cm，即可根據(jù)勾股定理求得LR作EQ⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)Q，F(xiàn)K⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)K，則EQ＝DE＝10cm，RK＝FR＝cm，由勾股定理求得DQ＝cm，則QK＝cm，作GT⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)T，作EO⊥GT交GT的延長線于點(diǎn)O，交FK的延長線于點(diǎn)I，則cm，cm，cm，連結(jié)AB，延長CT交MN于點(diǎn)W，延長DC交AB于點(diǎn)J，則DJ＝60cm，WT＝HG＝10cm，由JW＝DJ＋WT＋DT求出JW的長即可．

12．【答案】（1）3

（2）或

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理

【解析】【解答】解：（1）于點(diǎn)，，

，，

于點(diǎn)，

，

，

，

，

故答案為：3；

（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖1，

，

是等腰三角形，

，

，

，

；

當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，

若，如圖，

，，

平分，

于點(diǎn)，

，

此時(shí)為等腰三角形，

過點(diǎn)M作MN⊥AB，與BA的延長線交于點(diǎn)N，

，，

由勾股定理知，，

，

，

，

，

，

由（1）知，，，

∴∠ADM=30°

，

，

是等邊三角形，

，

所以當(dāng)，或時(shí)，都有；

綜上，或，

故答案為：或.

【分析】（1）由含30°角直角三角形性質(zhì)得AB=2AD，∠DAE=60°，∠ADE=30°，AD=2AE，據(jù)此求出AB的長，最后根據(jù)BE=AB-AE即可算出答案；

（2）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時(shí)，易得△DEM是等腰直角三角形，可求出DE=EM=，進(jìn)而根據(jù)BM=BE-EM代入計(jì)算可得BM的長；②當(dāng)點(diǎn)M在AC邊上時(shí)，若DM⊥AC，根據(jù)等腰三角形的三線合一得AD平分∠BAC，進(jìn)而根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得，此時(shí)△DEM是等腰三角形，過點(diǎn)M作MN⊥AB，與BA的延長線交于點(diǎn)N，根據(jù)勾股定理易得AM=AE=1，由三角形外角性質(zhì)得∠MAN=60°，故∠AMN=30°，根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)得AN的長，進(jìn)而根據(jù)公共點(diǎn)了算出MN、BM的長；③易判斷出△DEM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得DE=DM=MN，故當(dāng)DE=EM或MD=ME時(shí)，都有，綜上即可得出答案.

13．【答案】45；

【知識點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：如圖，延長FD到M使得DM＝DF=2，分別連接AM、EM、EF，作EN⊥DF于點(diǎn)N，

∵∠C＝90°，

∴∠BAC+∠B＝90°，

∵AE＝AD，BF＝BD，

∴∠AED＝∠ADE，∠BDF＝∠BFD，

∴2∠ADE+∠BAC＝180°，2∠BDF+∠B＝180°，

∴2∠ADE+2∠BDF＝270°，

∴∠ADE+∠BDF＝135°，

∴∠EDF＝180°-（∠ADE+∠BDF）＝45°，

∵∠END＝90°，DE＝，

∴∠EDN＝∠DEN＝45°，

∴EN＝DN＝1，

∵D為AB的中點(diǎn)，

∴AD=BD，

又∵∠ADM=∠BDF，DM＝DF=2，

△ADM≌△BDF（SAS），

∴BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，

∴∠MAE＝∠MAD+∠BAC＝90°，

∴EM＝AM，

∵在Rt△EMN中，EN＝1，MN＝DM+DN＝3，

∴EM＝＝=，

∴AM＝，AB＝2AM＝．

故答案為：45，．

【分析】延長FD到M使得DM＝DF=2，分別連接AM、EM、EF，作EN⊥DF于點(diǎn)N，先利用角的互余關(guān)系及等腰三角形性質(zhì)得到∠ADE+∠BDF＝135°，再利用角的互補(bǔ)關(guān)系求得∠EDF＝45°，從而得到∠EDN＝∠DEN＝45°，EN＝DN＝1；再利用“SAS”定理證明△ADM≌△BDF，從而得BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，進(jìn)而得到EM＝AM，再利用勾股定理求得EM的長，從而求出AM的長，進(jìn)而求得AB的長.

14．【答案】解：連接AC，

∠B=90°，AB=4，BC=3，

CD=12，AD=13，

，

是直角三角形且，

∴

.

【知識點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】連接AC，由勾股定理可求出AC的值，根據(jù)勾股定理逆定理知△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，然后根據(jù)S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.

15．【答案】解：如圖，設(shè)大樹高為AC=6m，小樹高為BD=2m，

過B點(diǎn)作BE⊥AC于E，則EBDC是矩形，

連接AB，

∴EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，

在Rt△AEB中，AB=（m），

故小鳥至少飛行m.

【知識點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【分析】設(shè)大樹高為AC=6m，小樹高為BD=2m，過B點(diǎn)作BE⊥AC于E，則EBDC是矩形，連接AB，則得EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，在Rt△AEB中，用勾股定理算出AB的長即可.

16．【答案】（1）解：畫法不唯一，如圖1或圖2等

圖1中點(diǎn)C的坐標(biāo)：(5，4)

圖2中點(diǎn)C的坐標(biāo)：(4，1)

（2）解：畫法不唯一，如圖3或圖4等

圖3中點(diǎn)D的坐標(biāo)：(3，4)

圖4中點(diǎn)D的坐標(biāo)：(-3，4)

【知識點(diǎn)】三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【分析】（1）根據(jù)方格紙的特點(diǎn)及勾股定理算出AB的長為5，從而在第一象限內(nèi)找出以B一個(gè)端點(diǎn)長度為5的線段，且另一個(gè)端點(diǎn)是格點(diǎn)的點(diǎn)就是點(diǎn)C，連接AC，△ANBC就是所求的三角形，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)C的位置讀出其坐標(biāo)即可；

（2）