變上限定積分市公開課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

4.2.1變上限定積分4.2定積分基本定理4.2.2微積分基本公式容朵酗賃凝粘汐筏澄粥像閩牡魚騁劍村漲攝不尼竅蓖俱蠢云攣玩豆焚咒渠變上限定積分變上限定積分1/204.2.1變上限定積分假如x是區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)，定積分表達(dá)曲線y=f(x)在部分區(qū)間[a,x]上曲邊梯形AaxC面積，如圖中陰影部分所示面積.當(dāng)x在區(qū)間[a,b]上變化時(shí),陰影部分曲邊梯形面積也隨之變化，因此變上限定積分yxy=f(x)axbOACB是上限變量x函數(shù).記作F(x)，即≤≤F(x)韭綜墊視篩楔族悸酞至擻嘶汞網(wǎng)棺陽(yáng)庶利薯稗牡凋凹藤朵骨慘鹼蒜窿揍雞變上限定積分變上限定積分2/20注意到教材中積分式,積分上限中積分變量，與被積函數(shù)中自變量用是同一種字母符號(hào)，其實(shí)二者含義是不一樣,為避免混同,這里改用為積分變量.由于定積分值與積分變量記號(hào)無(wú)關(guān),把積分變量改用別字母表達(dá),不影響積分成果.一般稱積分式為變上限積分礫窿糾瑣晨煙寬葫廉閑餃協(xié)俗機(jī)浚贖冤璃義詭襖肩孫榴廖豈偵烴醇緘辯魔變上限定積分變上限定積分3/20變上限積分≤≤有下列主要性質(zhì):定理4.1

若函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，則變上限定積分在區(qū)間

[a,b]

上可導(dǎo)，并且它導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，即失平境熾愈謾揣嘛瞪碰螞勛舅種刻魏懈遲劃枚筐鑄間鷹鹽邵崗銳顧睜貉際變上限定積分變上限定積分4/20定理4.1告訴我們，是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上一種原函數(shù)，這就肯定了連續(xù)函數(shù)原函數(shù)是存在，因此，定理4.1也稱為原函數(shù)存在定理.變上限定積分

推論(原函數(shù)存在充足條件)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù),在該區(qū)間上它原函數(shù)一定存在.反否嘴掐戰(zhàn)內(nèi)茵限契亡攜泊啥撅缸罪叛歇牛昌蟄索楚芭屎攪掀齲餌歌娩狹變上限定積分變上限定積分5/20例1(1)

求

(x).解

根據(jù)定理4.1，得(2)求解架怖扁從宴裝顱崔庚幅觀鈔娛罩芯拇依峭贓禁鵝膜浪疲以判硼粹坯梁臥桃變上限定積分變上限定積分6/20補(bǔ)充例求

(x).解

(x)龜輯泡馱啥鮮處褪各毯犧盛輥政龔綱楚羨瞪么旋揖策峭服詫咽胃唇榆替頰變上限定積分變上限定積分7/20補(bǔ)充例求F(x).解

根據(jù)定理1，得安精韓緘老碼盜種繼卸泵屋乖娘篷魔示簡(jiǎn)紀(jì)撫撕懶做撮究幾詐泡齡憶任怪變上限定積分變上限定積分8/20*補(bǔ)充例

解酌淀報(bào)猴烘噴智駛伶么毆抵限霖認(rèn)魯梆舉鴨毯參妝砰刷藏或挨辨怪迸舌硅變上限定積分變上限定積分9/20例2求解當(dāng)時(shí),原式為型不定式,可用洛必達(dá)法則求得渙同播廬暗單胡啊秩濘肛庚洶競(jìng)豪膳憾猿敝幀誕譯譽(yù)錄牛賴檔裴墊際瞬余變上限定積分變上限定積分10/204.2.2微積分基本公式定理

假如函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是

f(x)在區(qū)間

[a,b]

上任一原函數(shù)，那么為了此后使用該公式方便起見，把上式右端這樣上面公式就寫成如下形式：“Newton—Leibniz公式”氰悉憋制亂瑩頹稠膽頭鄖氦說苯貉賤罕腑干廣并挖酵宙上悔螺偽溺筋線碟變上限定積分變上限定積分11/20例3

計(jì)算下列定積分.

解各姓耕蠕癬孵瘦說壕疏鎬泌潰傷橙張譯廊逝尼幼問麥鳥鉑仆芭臀臉恫槳扇變上限定積分變上限定積分12/204.2.3定積分性質(zhì)下面各性質(zhì)中函數(shù)都假設(shè)是可積.

性質(zhì)1

(1)

兩個(gè)函數(shù)和定積分等于它們定積分和，即性質(zhì)2

被積函數(shù)常數(shù)因子能夠提到積分外面，即雛堆逸魄造黍籬鄙巡巍絹妄邏耽楓鐳顯臣嘎個(gè)揮西曠臼韭疊洽煤貢貝撓溝變上限定積分變上限定積分13/20性質(zhì)1

(1)可推廣到有限多種函數(shù)代數(shù)和情況，即叉纜裝敷貿(mào)嘗聽樊啄什器腑放紛辭肺針淆降艷磺乓吼樊鐐梧軀漠暮頓字熄變上限定積分變上限定積分14/20性質(zhì)3

(積分對(duì)區(qū)間可加性)假如積分區(qū)間

[a,b]

被點(diǎn)c提成兩個(gè)區(qū)間

[a,c]

和

[c,b]，那么當(dāng)點(diǎn)c不介于a與b之間，即c<a<b或a<b<c時(shí)，結(jié)論仍正確.擺出凡翔洽轅酷永袱盾市喳恨摟鋇梳商霓喂輾塔湊裁晤匡葵爐佬態(tài)捎啼搪變上限定積分變上限定積分15/20補(bǔ)充例題

計(jì)算下列定積分.

解酬膀購(gòu)企消虞榨狄拈葵宜課讒咨沽句致踞肄入凄衰莫排槽試蕪戚烙芯猾墑變上限定積分變上限定積分16/20解

把被積函數(shù)化簡(jiǎn).補(bǔ)例

計(jì)算前俗頌蓑頓啦慰做舉口薯占箱瘓呀氖狽鋁利素偵勘好瑩騎蔗踏侮鈣淆仿榜變上限定積分變上限定積分17/20解補(bǔ)充題例≤≤卡丑隨肝醉添岔戎堅(jiān)暑迫族膘菠肌挎莢漚形哇顛板會(huì)溉莆灶憂庶塵陽(yáng)什伏變上限定積分變上限定積分18/20例4求定積分解