兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布課件

§3.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知（X，Y）的分布，求其函數(shù)Z=g(X,Y)的分布內(nèi)容：要點(diǎn)：一、離散型二、連續(xù)型（和的分布）要求：掌握基本方法下頁§3.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知（X，Y）的分布，求其函一、離散型例1．已知（X,Y)的聯(lián)合分布律-1,0,2,3,5,且求Z=X+Y的概率分布.解：Z=X+Y的所有可能取值為：P{Z=-1}=P{X+Y=-1}=P{X=-1，Y=0}=1/10P{Z=0}=P{X+Y=0}=P{X=-1，Y=1}=1/20P{Z=2}=P{X+Y=2}=P{X=-1，Y=3}+P{X=2，Y=0}=3/20+3/10pk1/101/209/2004/10Z-102351/101/203/203/1004/10-12013XY問題：Z=XY的概率分布？下頁一、離散型例1．已知（X,Y)的聯(lián)合分布律-1,已知X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=g(X,Y)的密度.

Z=X+Y的分布函數(shù)是:

FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}是直線x+y=z左下方的半平面.(一)Z=X+Y的分布二、連續(xù)型下頁已知X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=g(X,Y)的

化成累次積分,得

固定z和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序下頁化成累次積分,得固定z和y,對方括號內(nèi)的由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對稱性,fZ(z)又可寫成

以上兩式即是兩個隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.下頁由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,即得Z=X+Y的概率密度為:當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

這兩個公式稱為卷積公式.下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度下頁卷積公式.當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x

解

X、Y的概率密度例2

設(shè)X、Y的相互獨(dú)立，且都在[0，1]上服從均勻分布，求Z=X+Y的分布。下頁解X、Y的概率密度例2設(shè)X、Y的相互獨(dú)立

z-10z12u0z-11z2u當(dāng)0≤z≤1時，fZ(z)=當(dāng)1＜z＜2時，fZ(z)=所以法一下頁0z-11z下頁法二下頁法二

例3設(shè)X和Y是兩個互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X～N（0，1），Y～N（0，1），求Z=X+Y的概率密度。解

由于X、Y互相獨(dú)立，由卷積公式即

Z=X+Y～N（0，2）下頁例3設(shè)X和Y是兩個互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X～N（0

（2）如果Xi(i=1,2,…,n)為n個互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且Xi~N(μi，σi2)，則

一般地（1）若X1~

，X2~N

，且X1、X2相互獨(dú)立，則有X1+X2~N注意：1.卷積公式的條件及選擇；2.一般地，如求XY，X/Y，max(X,Y)可考慮分布函數(shù)法下頁（2）如果Xi(i=1,2,…,n)為n個互相（二）Z=X/Y與Z=XY的概率分布設(shè)（X、Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)向量，概率密度為f(x,y)求Z=X/Y的概率分布。解故Z=X/Y的概率密度為特別地，當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時有x/y=z下頁（二）Z=X/Y與Z=XY的概率分布設(shè)（X、Y）是二補(bǔ)充例1.設(shè)X,Y相互獨(dú)立服從同一分布,且P{X=i}=1/3(i=1,2,3)令Z=max(X,Y).求Z的概率分布解：先求X,Y的聯(lián)合分布律。因?yàn)閄,Y獨(dú)立，所以

P{X=iY=j}=P{X=i}P{Y=j}1/91/91/91/91/91/91/91/91/9123123XYZ=max(X,Y)的所有可能取值為1,2,3P{Z=1}=P{X=1,Y=1}=1/9P{Z=2}=P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=2}=1/3P{Z=3}=P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3}+P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=3}=5/9下頁補(bǔ)充例1.設(shè)X,Y相互獨(dú)立服從同一分布,且P{X=i}補(bǔ)充例2(課后習(xí)題17).解:所以下頁補(bǔ)充例2(課后習(xí)題17).解:所以下頁下頁下頁補(bǔ)充例3(99數(shù)學(xué)4—積的分布）設(shè)隨機(jī)向量（Ｘ，Ｙ）在矩形Ｇ＝{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上均勻分布，試求邊長Ｘ和Ｙ的矩形面積Ｓ的概率分布。21xy=2解：設(shè)面積Ｓ的分布函數(shù)為FS(s),則FS(s)＝P{S≤s}若0≤s≤2,則FS(s)＝P{S≤s}＝P{ＸＹ≤s}=1-P{ＸＹ>s}S<0,則FS(s)＝P{S≤s}=0S>2,則FS(s)＝P{S≤s}=1所以下頁補(bǔ)充例3(99數(shù)學(xué)4—積的分布）設(shè)隨機(jī)向量（Ｘ，Ｙ）在矩形補(bǔ)充4(課后習(xí)題19)

M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布設(shè)X，Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).又由于X和Y相互獨(dú)立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:即有FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于M=max(X,Y)不大于z等價于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)下頁

類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是即有=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]FM(z)=FX(z)FY(z)

具體見下例補(bǔ)充4(課后習(xí)題19)M=max(X,Y)及N=min(例設(shè)隨機(jī)向量（Ｘ，Ｙ）在矩形Ｇ＝{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}上均勻分布，試求Z=min（Ｘ，Ｙ)概率密度。設(shè)Z=min（Ｘ，Ｙ)的分布函數(shù)為FＺ(z),則FZ(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]12解：容易判定Ｘ和Ｙ相互獨(dú)立，且下頁例設(shè)隨機(jī)向量（Ｘ，Ｙ）在矩形Ｇ＝{(x,y)|0≤x作業(yè)：

80頁

18結(jié)束補(bǔ)充題：設(shè)X、Y相互獨(dú)立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函數(shù).作業(yè)：80頁

18結(jié)解一：用分布函數(shù)法例.設(shè)X、Y相互獨(dú)立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函數(shù).現(xiàn)考慮f(x,y)>0的區(qū)域與x+y≤z的取值，分四種情況計算.①當(dāng)z<0時，F(xiàn)z(z)=0；②當(dāng)z>2時，F(xiàn)z(z)=1；下頁③當(dāng)0≤z≤1時，解一：用分布函數(shù)法例.設(shè)X、Y相互獨(dú)立,fX(x)和fY解1：用分布函數(shù)法例.設(shè)X、Y相互獨(dú)立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函數(shù).現(xiàn)考慮f(x,y)>0的區(qū)域與x+y≤z的取值，分四種情況計算.④當(dāng)1<z≤2時，下頁解1：用分布函數(shù)法例.設(shè)X、Y相互獨(dú)立,fX(x)和fY解1：用分布函數(shù)法所以，例.設(shè)X、Y相互獨(dú)立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函數(shù).現(xiàn)考慮f(x,y)>0的區(qū)域與x+y≤z的取值，分四種情況計算.下頁解1：用分布函數(shù)法所以，例.設(shè)X、Y相互獨(dú)立,fX(x)

z-10z12u0z-11