1008靈敏度分析影子價(jià)格專題培訓(xùn)課件

第五節(jié)靈敏度分析線性規(guī)劃問題所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)集合Ａ，b，Ｃ常常是通過預(yù)測或估計(jì)所得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在實(shí)際使用中，不免會(huì)有一定的誤差。而且隨著市場環(huán)境，工藝條件和資源數(shù)量的改變，這些數(shù)據(jù)完全可能發(fā)生變化。

因此有必要來分析一下當(dāng)這些數(shù)據(jù)發(fā)生波動(dòng)時(shí)，對(duì)目前的最優(yōu)解或最優(yōu)值會(huì)產(chǎn)生什么影響，這就是所謂的靈敏度分析(結(jié)果分析)。

1靈敏度分析主要討論如下二類問題：若數(shù)據(jù)發(fā)生變化，最優(yōu)解會(huì)有什么變化?數(shù)據(jù)集合在什么范圍內(nèi)波動(dòng),最優(yōu)解保持不變？詳情可以參考如下教材:<<運(yùn)籌學(xué)>>清華大學(xué)出版社<<運(yùn)籌學(xué)原理和方法>>華中科技大學(xué)出版社2例1、某工廠用甲,乙兩種資源生產(chǎn)A,B,C三產(chǎn)品。已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需要的資源量,所獲利潤以及每種資源的最大供給均列于表。試問如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，即A,B,C三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少噸，可使該廠所獲得利潤達(dá)到最大。原料擁有總數(shù)

ABC甲乙

6334554530利潤(千元/噸)3143在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步考慮如下問題:1.甲乙兩種資源中哪種資源的擁有量是制約利潤進(jìn)一步提高的因素?2.若在市場上能按比正常價(jià)格貴0.5(千元)的單價(jià)買到資源甲和乙,問為了進(jìn)一步提高凈利潤是否應(yīng)該買?3.若欲通過提高售價(jià)提高產(chǎn)品B的單位利潤,問B的單位利潤要提高多少(千元),才能仍在追求最大利潤的目標(biāo)下考慮產(chǎn)品B的生產(chǎn)?4

由強(qiáng)對(duì)偶定理可知，如果原問題有最優(yōu)解對(duì)偶最優(yōu)解的經(jīng)濟(jì)解釋—影子價(jià)格

那么對(duì)偶問題也有最優(yōu)解而且他們的目標(biāo)函數(shù)值相等,即有:其中是線性規(guī)劃原問題約束條件

的右端數(shù)據(jù)向量，它代表各種資源的擁有量。

5是對(duì)偶問題的最優(yōu)解,記由得:各單位資源在最優(yōu)利用條件下所創(chuàng)造利潤的估價(jià)，這種估價(jià)不是資源的市場價(jià)格，為區(qū)別起見，稱之為影子價(jià)格(shadowprice)的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義是,它們代表6

影子價(jià)格的大小客觀地反映了各種不同資源在系統(tǒng)內(nèi)的稀缺程度。如果第i種資源供大于求，即在達(dá)到最優(yōu)解時(shí)，該種資源沒有用完，或松弛變量

由互補(bǔ)松弛定理，在對(duì)偶最優(yōu)解

中，第i種資源的

影子價(jià)格

反之如果第i種資源的影子價(jià)格

那么原問題的第i個(gè)約束為嚴(yán)格等式,即

,這表明

這表明第i種資源已經(jīng)用完，成為稀缺資源。

7

資源的影子價(jià)格同時(shí)也是一種機(jī)會(huì)成本，在市場經(jīng)濟(jì)的條件下，當(dāng)某種資源的市場價(jià)格低于影子價(jià)格時(shí)，企業(yè)應(yīng)買進(jìn)這種資源用于擴(kuò)大生產(chǎn)；相反當(dāng)某種資源的市場價(jià)格高于影子價(jià)格時(shí)，企業(yè)應(yīng)賣出這種資源。隨著資源的買進(jìn)賣出，企業(yè)資源的影子價(jià)格也將隨之發(fā)生變化，一直到影子價(jià)格與市場價(jià)格保持同等水平時(shí)，才處于平衡狀態(tài)。

8例1、某工廠用甲,乙兩種資源生產(chǎn)A,B,C三產(chǎn)品。已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需要的資源量,所獲利潤以及每種資源的最大供給均列于表。試問如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，即A,B,C三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少噸，可使該廠所獲得利潤達(dá)到最大。原料擁有總數(shù)

ABC甲乙

6334554530利潤(千元/噸)3149在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步考慮如下問題:1.甲乙兩種資源中哪種資源的擁有量是制約利潤進(jìn)一步提高的因素?2.若在市場上能按比正常價(jià)格貴0.5(千元)的單價(jià)買到資源甲和乙,問為了進(jìn)一步提高凈利潤是否應(yīng)該買?3.若欲通過提高售價(jià)提高產(chǎn)品B的單位利潤,問B的單位利潤要提高多少(千元),才能仍在追求最大利潤的目標(biāo)下考慮產(chǎn)品B的生產(chǎn)?10解：設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品分別為噸，則得如下數(shù)學(xué)模型:化為標(biāo)準(zhǔn)形:其中分別是資源甲和乙引進(jìn)的松弛變量.11

63510

45

34501

30-3

-1-4

0

0

0

1-1/301/3-1/3

5

011

-1/5

2/5

3

02

01/5

3/5

27

最終表格為:因此最優(yōu)解為:12因此最優(yōu)解為:由于標(biāo)準(zhǔn)形的最優(yōu)值為-27,故此時(shí)對(duì)應(yīng)的最大利潤為27千元.在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步考慮如下問題:1.甲乙兩種資源中哪種資源的擁有量是制約利潤進(jìn)一步提高的因素?2.若在市場上能按比正常價(jià)格貴0.5(千元)的單價(jià)買到資源甲和乙,問為了進(jìn)一步提高凈利潤是否應(yīng)該買?3.若欲通過提高售價(jià)提高產(chǎn)品B的單位利潤,問B的單位利潤要提高多少(千元),才能仍在追求最大利潤的目標(biāo)下考慮產(chǎn)品B的生產(chǎn)?即最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃為:生產(chǎn)A產(chǎn)品5噸,C產(chǎn)品3噸,不生產(chǎn)B產(chǎn)品.13最優(yōu)解為:1.甲乙兩種資源中哪種資源的擁有量是制約利潤進(jìn)一步提高的因素?解:(方法一)由最終表格知,對(duì)偶問題的最優(yōu)解為又對(duì)偶問題最優(yōu)解的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義-----資源的影子價(jià)格得:在最優(yōu)利用的條件下,資源甲增加一個(gè)單位,利潤增加1/5千元.資源乙增加一個(gè)單位,利潤增加3/5千元.由此可看出,這兩種資源的擁有量都是制約利潤進(jìn)一步提高的因素.14因此這兩種資源的擁有量都是制約利潤進(jìn)一步提高的因素.(當(dāng)然,在上面驗(yàn)證最優(yōu)解下約束不等式是否取等號(hào)時(shí),也可以直接代入驗(yàn)證,但是不如通過觀察松弛變量的取值是否為零簡單.)代入原問題的約束條件,則此時(shí)解:(方法二)由最優(yōu)解中松弛變量知,若把原問題最優(yōu)解不等式均取等號(hào).這說明資源甲和乙均用盡.15緊約束:也稱有效約束,指將某可行解代入約束條件后使等號(hào)成立,該約束條件對(duì)該解而言稱為緊約束條件,簡稱緊約束.兩個(gè)基本概念松約束:也稱無效約束,指將某可行解代入約束條件后不等號(hào)成立,該約束條件對(duì)該解而言稱為緊約束條件,簡稱緊約束.例如:例1中這兩個(gè)約束條件對(duì)當(dāng)前的最優(yōu)解而言都是緊約束條件.162.若在市場上能按比正常價(jià)格貴0.5(千元)的單價(jià)買到資源甲和乙,問為了進(jìn)一步提高凈利潤是否應(yīng)該買?解:由前面的分析知,對(duì)偶問題的最優(yōu)解分別對(duì)應(yīng)資源甲和乙的影子價(jià)格,即:在在這種最優(yōu)利用的條件下,資源甲增加一個(gè)單位,利潤將增加1/5=0.2千元.資源乙增加一個(gè)單位,利潤將增加3/5=0.6千元.因此,為了進(jìn)一步提高凈利潤,應(yīng)該只買乙,不買甲.而目前在市場上能按比正常價(jià)格貴0.5(千元)的單價(jià)買到資源甲和乙,且17即底行中第二個(gè)系數(shù)增加一個(gè)(-C)項(xiàng),再注意由初始表變?yōu)樽罱K表是經(jīng)若干次把底線以上的行倍加至底行而得到,故若將同樣的運(yùn)算過程應(yīng)用到上表格上,底線以上的行沒變化,底行不含C的地方數(shù)據(jù)不變,含C的地方只需在原來最終表的基礎(chǔ)上加上(-C)即可,即3.若欲通過提高售價(jià)提高產(chǎn)品B的單位利潤,問B的單位利潤要提高多少(千元),才能仍在追求最大利潤的目標(biāo)下考慮產(chǎn)品B的生產(chǎn)?解:解這個(gè)問題時(shí),可以設(shè)未知數(shù)C(千元)代表產(chǎn)品B單位利潤增加額,再修改模型,于是原初始表變?yōu)?

63510

45

34501

30-3

-(1+C)-4

0

0

0

18若

1-1/301/3-1/3

5

011

-1/5

2/5

3

02-C

01/53/5

27

則上面這個(gè)表滿足最優(yōu)性4個(gè)特點(diǎn),運(yùn)算終止,最優(yōu)解不變.若那么上面這個(gè)表中底行存在負(fù)元素,需繼續(xù)迭代,才能使作基變量,即取值才可以不為0.所以,本問題的回答是19線性規(guī)劃基本概念線性規(guī)劃模型和標(biāo)準(zhǔn)形線性規(guī)劃問題的解可行解基本解基本可行解最優(yōu)解線性規(guī)劃問題的幾何意義求解方法圖解法單純形法基本單純形法大M法、二階段法靈敏度分析及應(yīng)用本章小結(jié)對(duì)偶單純形法