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三角公式及應(yīng)用第一

單元三角公式及應(yīng)用二次曲線概率與統(tǒng)計(jì)全套可編輯PPT課件劉徽的《海島算經(jīng)》中列有“海島測(cè)望”一題：如圖1-1，有人望海島AB，立兩個(gè)高為3丈的標(biāo)桿CD與EF，其距離為1000步，并且兩個(gè)標(biāo)桿的上下兩端在同一水平線上.從標(biāo)桿CD退行123步，海島峰頂A、標(biāo)桿上端C與G點(diǎn)共線.從標(biāo)桿EF退行127步，海島峰頂A、標(biāo)桿上端E與H點(diǎn)共線.問海島的高度AB及海島與標(biāo)桿的距離BD各是多少?引例兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1二倍角的三角函數(shù)公式1.2三角函數(shù)的積化和差與和差化積1.3正弦型函數(shù)1.4目錄CONTENTS正弦定理與余弦定理1.5兩角和與差的三角函數(shù)公式1.11.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.1兩角和與差的余弦公式我們知道：cos30°=cos60°=cos30°+cos60°=cos(30°+60°)=cos90°=0，顯然cos30°+cos60°≠cos(60°+30°).由此可知，一般情況下，對(duì)于任意兩個(gè)角α，β，cos(α+β)≠cosα+cosβ.那么，cos(α+β)與cosα,cosβ到底有什么關(guān)系呢？1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.1兩角和與差的余弦公式注意設(shè)向量a=(x1,y2),b=(x2,y2)，且<a,b>=θ，則a·b=|a|·|b|·cosθ，又由于a·b=x1x2+y1y2，則|a|·|b|·cosθ=x1x2+y1y2.1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.1兩角和與差的余弦公式圖1-2如圖1-2所示，設(shè)∠BOA,∠COA的大小分別為α,β.為簡(jiǎn)單起見，我們先假定α,β均為銳角.以O(shè)A為始邊，記∠BOA,∠COA的終邊分別與單位圓的交點(diǎn)為B,C.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(cosα,sinα)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(cosβ,－sinβ)，因此，向量=(cosα,sinα)，向量=(cosβ,－sinβ),且=1,=1，于是1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.1兩角和與差的余弦公式cos(α+β)=cos(α+β)，又由于=（cosα，sinα）·（cosβ,-sinβ）=cosαcosβ－sinαsinβ，所以cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.由此，我們得到了兩角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.（1-1）此式反映了α+β的余弦與α、β的正弦、余弦之間的關(guān)系.因此，公式（1-1）稱為兩角和的余弦公式.1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.1兩角和與差的余弦公式將式（1-1）中的β?lián)Q成－β，則有cos(α－β)=cos［α+(－β)］=cosαcos(－β)－sinαsin(－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.由此，我們得到了兩角差的余弦公式cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.（1-2）此式反映了α－β的余弦與α，β的正弦、余弦之間的關(guān)系.因此，公式（1-2）稱為兩角差的余弦公式.式（1-1）與式（1-2）統(tǒng)稱為兩角和與差的余弦公式.1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.1兩角和與差的余弦公式

不用計(jì)算器，求cos75°和cos15°的值.解（1）將75°看成是30°與45°的和，利用式（11）得cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°－sin30°sin45°

（2）將15°看成是45°與30°的差，利用式（1-2）得cos15°=cos(45°－30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°例11.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.1兩角和與差的余弦公式例1是否還有別的解法？想一想1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.1兩角和與差的余弦公式

設(shè)cosα=cosβ=并且α和β都是銳角，求cos(α+β)的值.解可利用式（1-1）來進(jìn)行求解，但首先應(yīng)求出sinα,sinβ的值.因?yàn)閏osα=cosβ=并且α和β都是銳角，所以由cos2α+sin2α=1,cos2β+sin2β=1,得

因此，利用式（1-1）得cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

例21.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.1兩角和與差的余弦公式

已知解可利用式（1-2）來進(jìn)行求解.但要先求出的值.例31.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.1兩角和與差的余弦公式因此，利用式（1-2）得1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.1兩角和與差的余弦公式如何利用兩角和的余弦公式來推導(dǎo)出等式cosα+=－sinα呢？議一議1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.1兩角和與差的余弦公式

化簡(jiǎn)下列各式：（1）cos40°cos20°－sin40°sin20°；（2）cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ.解和角公式（1-1）把角α+β的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成了α,β的三角函數(shù)式.如果反過來，從右向左使用式（1-1），我們就可以將上述的三角函數(shù)式化簡(jiǎn).（1）cos40°cos20°－sin40°sin20°=cos(40°+20°)=cos60°=12.（2）cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ=cos［(α－β)+β］=cosα.例41.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.1兩角和與差的余弦公式

做一做

1.不用計(jì)算器，求下列各式的值：（1）cos105°；（2）cos225°.2.化簡(jiǎn)下列各式，并求值：（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°；（2）12cos15°+32sin15°.1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.2兩角和與差的正弦公式我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩角和與差的余弦公式，那么，兩角和與差的正弦公式是怎么樣的呢？根據(jù)誘導(dǎo)公式=cosα，cos=sinα可以實(shí)現(xiàn)正弦和余弦之間的轉(zhuǎn)化，因此sin(α+β)=cos=cos=coscosβ+sinsinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.由此，我們得到了兩角和的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.（1-3）此式反映了α+β的正弦函數(shù)值與α、β的正弦、余弦之間的關(guān)系.因此，式（1-3）稱為兩角和的正弦公式.1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.2兩角和與差的正弦公式將式（1-3）中的β?lián)Q成－β，則有sin(α－β)=sin［α+(－β)］=sinαcos(－β)+cosαsin(－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.由此，我們得到了兩角差的正弦公式sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.（1-4）此式反映了α－β的正弦函數(shù)值與α、β的正弦、余弦之間的關(guān)系.因此，式（1-4）稱為兩角差的正弦公式.1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.2兩角和與差的正弦公式

不用計(jì)算器，求sin75°和sin15°的值.解(1)將75°看成是30°與45°的和，利用式（1-3）得sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°(2)將15°看成是45°與30°的差，利用式（1-4）得sin15°=sin(45°－30°)=sin45°cos30°－cos45°sin30°例51.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.2兩角和與差的正弦公式例5是否還有別的解法？想一想1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.2兩角和與差的正弦公式已知cosα=的值.解利用式（1-3），首先應(yīng)求出sinα的值.例61.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.2兩角和與差的正弦公式逆向使用公式是非常重要的，往往會(huì)給解題帶來新的思路，使問題的解決變得簡(jiǎn)單化.注意1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.2兩角和與差的正弦公式

化簡(jiǎn)下列各式：（1）sin12°cos18°+cos12°sin18°；（2）sinβcos(α－β)+cosβsin(α－β).解和角公式（1-3）把角α+β的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成了α,β的三角函數(shù)式.如果反過來，從右向左使用式（1-3），我們就可以將上述的三角函數(shù)式化簡(jiǎn).（1）sin12°cos18°+cos12°sin18°=sin(12°+18°)=sin30°=12.（2）sinβcos(α－β)+cosβsin(α－β)=sin［β+(α－β)］=sinα.例71.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.2兩角和與差的正弦公式

和角公式的幾何證明1.圓內(nèi)接三角形1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.2兩角和與差的正弦公式如圖1-3所示,在外接圓直徑為1的△ABC中,∠BAC=α,∠ABC=β,CD⊥AB,垂足為D,連接BO并延長(zhǎng),與圓相交于F,連接CF,AF,于是可知BC=sinα,同理AC=sinβ,AB=sinα+β,BD=sinαcosβ,AD=cosαsinβ.又因?yàn)锳B=AD+BD.所以可以得到

sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ.延長(zhǎng)CD與圓相交于E,連接BE、AE.同樣也可以得到CD=sinαsinβ,DE=cosαcosβ,過F作FG⊥CD，垂足為G，容易得知AF=DG=CD－CG=CD－DE=sinαsinβ－cosαcosβ.又因?yàn)锳F=cos∠AFB=cosπ－α+β=－cosα+β.所以可以得到cosα+β=cosαcosβ－sinαsinβ.1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.2兩角和與差的正弦公式2.托勒密定理托勒密定理：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.如圖1-4所示，四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為1的圓O，對(duì)角線AC是圓O的直徑，連接DO并延長(zhǎng)，與圓O相交于E，依次連接AE,BE,CE.由托勒密定理可知：

AC×BD=AB×CD+AD×BC,AB×EC=AE×BC+BE×AC.又因?yàn)锽D=sinα+β,BE=cosα+β,AD=EC=cosα,CD=AE=sinα,BC=sinβ,AB=cosβ，故可得

sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ,cosα+β=cosαcosβ－sinαsinβ.1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.2兩角和與差的正弦公式

3.面積變換法受中國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理的方法啟發(fā)，我們構(gòu)造兩個(gè)對(duì)角線為1，長(zhǎng)和寬分別為sinα、cosα和sinβ、cosβ的矩形ABCD和GCEF，如圖1-5所示.CEF平移到右上和左上位置,構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為1、一組對(duì)角為α+β的菱形ACEF.顯然它的面積為sin(α+β).1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.2兩角和與差的正弦公式

另一方面，在等腰三角形ACH和直角三角形HCK中，分布由余弦定理和勾股定理得CH2=12+12－2cosα+β=2－2cosα+β，CH2=(cosβ－cosα)2+(sinα+sinβ)2=2－2(cosαcosβ－sinαsinβ).因此可證得cosα+β=cosαcosβ－sinαsinβ.1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.2兩角和與差的正弦公式做一做1.求下列各式的值：（1）sin105°；（2）sin165°；（3）sin225°.2.化簡(jiǎn)下列各式，并求值：（1）sin26°cos19°+cos26°sin19°；（2）sin80°cos35°－cos80°sin35°.3.已知cosα=，且α是第三象限角，求sin(α-）的值.1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.3兩角和與差的正切公式根據(jù)兩角和與差的正弦公式、余弦公式可知

當(dāng)cosα·cosβ≠0時(shí)，上式分子分母同除以cosαcosβ可得

同理，可得出

1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.3兩角和與差的正切公式在兩角和與差的正切公式中，α和β的取值應(yīng)使式子的左右兩端都有意義.注意1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.3兩角和與差的正切公式

不用計(jì)算器，求例8（2）tan285°=tan(360°－75°)=－tan75°=－tan(45°+30°)=1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.3兩角和與差的正切公式例8求tan285°的值還有其他算法嗎？想一想1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.3兩角和與差的正切公式

求下列各式的值：（1）tan20°+tan40°+tan20°tan40°；解(1)tan20°+tan40°+tan20°tan40°=tan60°(1-tan20°tan40°)+tan20°tan40°=tan20°tan40°+tan20°tan40°=.例9tan45°=1.1.1兩角和與差的三角函數(shù)公式1.1.3兩角和與差的正切公式做一做1.求下列各式的值：（1）tan105°;(2)tan15°.2.求下列各式的值：（1）tan70°+tan50°－tan70°tan50°；

3.已知tanα=,tan（α-β）=-，求tan（2α-β）的值.二倍角的三角函數(shù)公式1.21.2二倍角的三角函數(shù)公式以兩角和與差的三角函數(shù)公式為基礎(chǔ)，可以推導(dǎo)出用角α的三角函數(shù)值表示角2α的三角函數(shù)的公式.在式（1-1）中，令α=β，就可以得到二倍角的余弦公式：cos2α=cos(α+α)=cosαcosα－sinαsinα=cos2α－sin2α.即cos2α=cos2α－sin2α.（1-7）同理，在式（1-3）中，令α=β，就可以得到二倍角的正弦公式:in2α=2sinαcosα.（1-8）因?yàn)閟in2α+cos2α=1，所以式（1-7）又可以寫為cos2α=2cos2α－1，（1-9）cos2α=1－2sin2α，（1-10）1.2二倍角的三角函數(shù)公式則還可以得到下列公式：在式（1-5）中，令α=β,就可以得到二倍角的正切公式：式（1-7）~式（1-13）反映出具有二倍角關(guān)系的角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，在三角計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用.1.2二倍角的三角函數(shù)公式已知cosα=－且求sin2α,cos2α,tan2α的值.解因?yàn)棣痢仕岳檬剑?-8）可得sin2α=2sinαcosα=2×利用式（1-9）可得cos2α=2cos2α－1=2×則例11.2二倍角的三角函數(shù)公式不用計(jì)算器,求下列各式的值：（1）sin15°cos15°；（2）2sin222.5°－1.解（1）sin15°cos15°=×(2sin15°cos15°)=sin(2×15°)=sin30°=（2）2sin222.5°－1=－(1－2sin222.5°)=－cos(2×22.5°)=－cos45°=－例21.2二倍角的三角函數(shù)公式已知cos=－且α∈(π,2π)，求sinα和cos的值.解與α，與之間都是具有二倍關(guān)系的角，故可以使用二倍角公式來計(jì)算.由α∈(π,2π)可知α2∈所以例3故1.2二倍角的三角函數(shù)公式例41.2二倍角的三角函數(shù)公式做一做1.根據(jù)二倍角公式，完成下列各題：（1）sin6α=2sin()cos()；（2）sinα=2sin()cos().2.已知sinα=且α是第一象限的角，求sin2α,cos2α,tan2α的值.3.已知tan2α=求tanα的值.三角函數(shù)的積化和差與和差化積1.31.3三角函數(shù)的積化和差與和差化積觀察下列兩角和與差的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,兩式相加得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，即sinαcosβ=12［sin(α+β)+sin(α-β)］.1.3三角函數(shù)的積化和差與和差化積同理，可得到通過公式（1-14），三角函數(shù)由積的形式轉(zhuǎn)化成了和或差的形式，因此，我們稱其為積化和差公式.1.3三角函數(shù)的積化和差與和差化積你能發(fā)現(xiàn)哪里運(yùn)用了換元的思想嗎？試著說一說換元的好處?想一想1.3三角函數(shù)的積化和差與和差化積若令α+β=θ,α-β=φ,則α=將其代入公式（1-14）中，可得=(sinθ+sinφ),即sinθ+sinφ=2sin1.3三角函數(shù)的積化和差與和差化積同理，可得到通過公式（1-15），三角函數(shù)由和或差的形式轉(zhuǎn)化成了積的形式，因此，我們稱其為和差化積公式.公式（1-14）和公式（1-15）的發(fā)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)了三角函數(shù)積的形式與和或差的形式的相互轉(zhuǎn)化，為我們以后的計(jì)算和研究提供了方便.1.3三角函數(shù)的積化和差與和差化積把下列各式化成積的形式：（1）cos3α+cosα；(2)1+sin2α.解(1)cos3α+cosα=2cos=2cos2αcosα.（2）1+sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosα=(sinα+cosα)2.例11.3三角函數(shù)的積化和差與和差化積（半角公式）求證：證明(1)由cos2α=1-2sin2α得cosα=1-2sin2

即所以例21.3三角函數(shù)的積化和差與和差化積

（2）由cos2α=2cos2α-1得cosα=2cos2-1,即所以例2兩邊分別相除，得所以1.3三角函數(shù)的積化和差與和差化積做一做1.把下列各式化成和或差的形式：（1）2sin64°cos10°;(2)2sin84°cos132°.2.把下列各式化成積的形式：（1）sin54°+sin22°;(2)sin5α-sin3α.正弦型函數(shù)1.41.4正弦型函數(shù)1.4.1正弦型函數(shù)的概念和性質(zhì)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx.在物理學(xué)和電學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)，這類函數(shù)稱為正弦型函數(shù).它與正弦函數(shù)y=sinx有著密切的關(guān)系.我們先來討論正弦型函數(shù)的周期.在正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令z=ωx+φ，則

y=Asin(ωx+φ)=Asinz.我們已經(jīng)知道正弦函數(shù)y=sinx的定義域?yàn)镽，周期為2π，值域?yàn)椋郏?,1］.因此,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的定義域?yàn)镽，并且y=Asin(ωx+φ)=Asinz=Asin(z+2π)=Asin［(ωx+φ)+2π］=Asin1.4正弦型函數(shù)1.4.1正弦型函數(shù)的概念和性質(zhì)即Asin(ωx+φ)=Asin(A>0,ω>0).設(shè)f(x)=Asin(ωx+φ)，則f(x)=f因此，正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)也是周期函數(shù)，其周期為T=由于正弦函數(shù)y=sinx的值域?yàn)椋郏?,1］，所以y=Asinz(A>0)的值域?yàn)椋郏瑼,A］，即正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值為A，最小值為－A.1.4正弦型函數(shù)1.4.1正弦型函數(shù)的概念和性質(zhì)綜上所述，正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)主要有以下性質(zhì)：（1）定義域?yàn)镽；（2）周期為T=（3）值域?yàn)椋郏瑼,A］，即最大值為A，最小值為－A.求正弦型函數(shù)y=sin和y=的周期.解根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式T=可知y=sin的周期為的周期為例11.4正弦型函數(shù)1.4.1正弦型函數(shù)的概念和性質(zhì)求函數(shù)y=4sin的周期和最大值、最小值，并求在什么情況下函數(shù)取得最大值和最小值.解根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，我們可得函數(shù)y=4sin的周期為設(shè)z=2x+則x=所以當(dāng)z=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y=4sinz有最大值，最大值為4；例21.4正弦型函數(shù)1.4.1正弦型函數(shù)的概念和性質(zhì)

當(dāng)z=2kπ－(k∈Z),即x=kπ－(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y=4sinz有最小值，最小值為－4.綜上，當(dāng)x=kπ+(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y=4sin取得最大值4；當(dāng)x=kπ－(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y=4sin取得最小值－4.例21.4正弦型函數(shù)1.4.1正弦型函數(shù)的概念和性質(zhì)求函數(shù)y=cosx+sinx的最大值和最小值.解由公式（1-3）有y=cosx+sinx=故函數(shù)y=cosx+sinx的最大值為最小值為－一般地，研究函數(shù)y=asinx+bcosx(a>0,b>0)時(shí)，首先要把函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)y=Asin(x+θ)的形式.如圖1-6所示，考察以(a,b)為坐標(biāo)的點(diǎn)P，設(shè)以O(shè)P為終邊的角為θ，則例31.4正弦型函數(shù)1.4.1正弦型函數(shù)的概念和性質(zhì)于是asinx+bcosx例31.4正弦型函數(shù)1.4.1正弦型函數(shù)的概念和性質(zhì)即A=角θ的值可以由tanθ=確定（角θ所在的象限與點(diǎn)P所在的象限相同）.1.4正弦型函數(shù)1.4.1正弦型函數(shù)的概念和性質(zhì)做一做1.求下列函數(shù)的最大值、最小值和周期：（1）y=8sin2x；（2）y=3sin2.求下列函數(shù)的最大值和最小值，并求出在什么情況下函數(shù)取得最大值和最小值：（1）y=13sin（2）y=sinx+1.4正弦型函數(shù)1.4.2正弦型曲線

在研究正弦函數(shù)y=sinx的圖像時(shí)，我們介紹過“五點(diǎn)法”作圖，即選取(0,0),(π,0),(2π,0)作為五個(gè)特殊點(diǎn)來作圖.正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像與正弦函數(shù)y=sinx的圖像類似，我們一般也采用“五點(diǎn)法”來作正弦型函數(shù)的圖像.正弦型函數(shù)的圖像稱為正弦型曲線.1.4正弦型函數(shù)1.4.2正弦型曲線在y=Asin(ωx+φ)中，令z=ωx+φ，我們分別取z=0,求出對(duì)應(yīng)的x的值和函數(shù)值y，構(gòu)成五組(x,y).分別以每組的(x,y)為坐標(biāo)描點(diǎn)，描出對(duì)應(yīng)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線連接各點(diǎn)，即可以得到正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像.下面我們以具體的題為例，用“五點(diǎn)法”作出幾個(gè)正弦型函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖，然后觀察正弦型曲線的特征.利用“五點(diǎn)法”作出正弦型函數(shù)y=sin在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.解在函數(shù)y=sin中ω=2，因此周期為T==π.為求出圖像上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)，令z=2x+分別取z=0,我們找出一個(gè)周期π內(nèi)五個(gè)特殊的點(diǎn)，求出對(duì)應(yīng)的x的值與函數(shù)y的值，見表1-1.例41.4正弦型函數(shù)1.4.2正弦型曲線

以表中每組(x,y)為坐標(biāo)描點(diǎn)，如圖1-7所示，在直角坐標(biāo)系中比較精確地描出對(duì)應(yīng)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：1.4正弦型函數(shù)1.4.2正弦型曲線1.4正弦型函數(shù)1.4.2正弦型曲線用光滑的曲線連接各點(diǎn)，得到函數(shù)y=sin在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，如圖1-8所示.1.4正弦型函數(shù)1.4.2正弦型曲線

一般地，正弦型曲線y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)可以看作是由正弦曲線y=sinx通過下面的方法得到：首先將正弦曲線上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω＞1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)ω＜1時(shí)）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）；然后將所得到的曲線向左（當(dāng)φ＞0時(shí)）或向右（當(dāng)φ＜0時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位；1.4正弦型函數(shù)1.4.2正弦型曲線

最后把所得曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A＞1時(shí)）或縮短（當(dāng)0＜A＜1時(shí)）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）.因此，在作正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像時(shí)，可令z=ωx+φ，然后利用上面的方法,即求得一個(gè)周期內(nèi)的正弦型曲線的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，依次為其中T為函數(shù)的周期.利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=2sin在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，并指出曲線是由正弦曲線經(jīng)過怎樣的步驟得到的.解這里ω=12,φ=π6，故函數(shù)y=2sin的周期為例51.4正弦型函數(shù)1.4.2正弦型曲線所以五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

描出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線連接各點(diǎn)，即得到函數(shù)y=2sin在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，如圖1-9所示.1.4正弦型函數(shù)1.4.2正弦型曲線1.4正弦型函數(shù)1.4.2正弦型曲線

函數(shù)y=2sin可以看作由下列的方法得到：首先將正弦曲線y=sinx上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）；然后把所得的曲線向左平移個(gè)單位；最后把所得曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）.1.4正弦型函數(shù)1.4.2正弦型曲線做一做利用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，并指出曲線是由正弦曲線經(jīng)過怎樣的步驟獲得的.（1）y=4sin（2）y=3sin1.4正弦型函數(shù)1.4.3正弦型函數(shù)的應(yīng)用

在電學(xué)中，電流強(qiáng)度的大小和方向都隨時(shí)間變化的電流稱為交變電流，簡(jiǎn)稱交流電.最簡(jiǎn)單的是簡(jiǎn)諧交流電，其電流強(qiáng)度的大小和方向隨時(shí)間而變化，可以用如下函數(shù)來表示：I=Imsin(ωt+φ0)(Im>0,ω>0,－π≤φ0≤π)，其中，Im是電流強(qiáng)度的最大值，稱為簡(jiǎn)諧交流電的峰值；ω稱為角頻率，單位為rad/s；ωt+φ0稱為相位，φ0稱為初相位，簡(jiǎn)稱初相；T=稱為簡(jiǎn)諧交流電的變化周期，表示交流電完成一次周期性變化所需要的時(shí)間，單位為s；單位時(shí)間內(nèi)，交流電完成周期性變化的次數(shù)稱為頻率，用f表示，f=單位為Hz（赫茲）.1.4正弦型函數(shù)1.4.3正弦型函數(shù)的應(yīng)用

峰值、頻率和初相位是簡(jiǎn)諧交流電的三要素，它們從不同的方面描述了簡(jiǎn)諧交流電的物理特征.在物理學(xué)中，用s=Asin(ωt+φ0)(t∈［0+∞),A>0,ω>0)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其中t表示振動(dòng)的時(shí)間，s表示位移，A表示振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大距離，通常將A稱為振幅，故函數(shù)的最大值smax=A,最小值smin=-A,T=稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的變化周期，f=稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的變化頻率，ωt+φ0稱為相位，φ0稱為初相位.一般地，正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ0)(A>0,ω>0)中，A稱為振幅（或峰值），ω稱為角頻率，φ0稱為初相位.已知簡(jiǎn)諧交流電的電流強(qiáng)度隨時(shí)間t的變化規(guī)律為I=26sin求出它的峰值、周期、初相位和頻率.解峰值Im=26A；例61.4正弦型函數(shù)1.4.3正弦型函數(shù)的應(yīng)用已知簡(jiǎn)諧交流電的電流強(qiáng)度I（單位：A）隨時(shí)間t（單位：s）變化的部分曲線如圖1-10所示，試寫出I與t的函數(shù)關(guān)系.例71.4正弦型函數(shù)1.4.3正弦型函數(shù)的應(yīng)用

解電流強(qiáng)度I隨時(shí)間t的變化滿足正弦型函數(shù)關(guān)系，故設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系式為

I=Imsin(ωt+φ0).由圖1-10可知，峰值Im=30A，周期為T=2.25×10－2－0.25×10－2=2×10－2，于是由T==2×10－2得ω=100π.又由圖1-10可知，點(diǎn)(0.25×10－2,0)滿足函數(shù)關(guān)系式，因此將其代入函數(shù)關(guān)系式得0=30sin(0.25×10－2ω+φ0)，化簡(jiǎn)得0=0.25×10－2ω+φ0，即得φ0=－0.25×10－2ω=－0.25×10－2×100π=－因此，所求的函數(shù)關(guān)系式為I=30sin例71.4正弦型函數(shù)1.4.3正弦型函數(shù)的應(yīng)用1.4正弦型函數(shù)1.4.3正弦型函數(shù)的應(yīng)用做一做指出下列正弦型函數(shù)的振幅、角頻率和初相位：（1）y=4sin（2）y=7sin3x+π6.正弦定理與余弦定理1.51.5正弦定理與余弦定理在計(jì)算衛(wèi)星的角度和高度，測(cè)量河流兩岸碼頭之間的距離，確定待建隧道的長(zhǎng)度時(shí)，我們都離不開三角形的邊角關(guān)系，本節(jié)將學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理來求解三角形，以及解決實(shí)際測(cè)量中的一些問題.如圖1-12所示，在Rt△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，由則得所以1.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理根據(jù)直角三角形的面積公式得1.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理那么，在任意三角形中，是否也存在類似的數(shù)量關(guān)系呢？1.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理如圖1-13所示，在銳角三角形ABC中，作CD⊥AB，則CD=bsinA，CD=asinB，于是bsinA=asinB，即同理,過三角形的頂點(diǎn)B作AC的垂直線，可得因此由于CD=bsinA=asinB，所以同理可得S△ABC=1.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理如圖1-14所示，在鈍角三角形ABC中，設(shè)∠C為鈍角，作BD⊥AC延長(zhǎng)線于D，則BD=csinA,BD=asin(180°－C)=asinC.同樣可以得到1.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理由于BD=csinA=asinC，所以S△ABC=×AC×BD=bcsinA=absinC，同理可得S△ABC=acsinB.這就是說，對(duì)于任意一個(gè)三角形，均成立，因此我們得到下面的正弦定理.1.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理正弦定理：在任意一個(gè)三角形中，各邊與它所對(duì)的角的正弦之比相等，即同時(shí)，我們也得到了計(jì)算三角形面積的另一種表達(dá)形式：利用正弦定理可以解決下列兩類解三角形的問題：（1）已知三角形的兩個(gè)角和任意一邊，求其他兩邊和另一個(gè)角.（2）已知三角形的兩邊和其中一邊所對(duì)角，求其他兩角和另一條邊.1.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)，要討論這個(gè)角的取值范圍，避免發(fā)生錯(cuò)誤.注意在△ABC中，已知b=20,∠A=45°,∠B=120°，求a.解根據(jù)正弦定理有1.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理例1

已知在△ABC中，∠A=30°,a=152,b=30，求∠B.解根據(jù)正弦定理有再由b>a知∠B>∠A，故30°<∠B<180°，所以∠B=45°或∠B=135°.1.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理例2在△ABC中，已知∠B=60°,∠C=15°,a=3+1，求b,c,S△ABC的值.解由三角形的內(nèi)角和為180°可知∠A+∠B+∠C=180°，則∠A=180°－∠B－∠C=180°－60°－15°=105°.根據(jù)正弦定理可得所以三角形的面積為1.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理例31.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理如無特殊說明：本單元中出現(xiàn)的a,b,c均為△ABC中∠A，∠B，∠C的對(duì)邊.注意在△ABC中，已知tanA∶tanB=a2∶b2，試判斷△ABC的形狀.解根據(jù)三角函數(shù)定義和正弦定理.tanA∶tanB=a2∶b2可以變形為因?yàn)锳，B均為△ABC的內(nèi)角，故sinA≠0,sinB≠0.于是，上式可化簡(jiǎn)為

sinA·cosA=sinB·cosB.1.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理例4由二倍角公式得即sin2A=sin2B.因此2A=2B或2A+2B=π.即A=B或A+B=因此△ABC為等腰三角形或直角三角形.1.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理例41.5正弦定理與余弦定理1.5.1正弦定理做一做在△ABC中，已知下列條件，解三角形.（1）∠A=45°,∠B=30°，b=（2）∠B=30°,b=c=4.1.5正弦定理與余弦定理1.5.2余弦定理正弦定理揭示了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，揭示任意三角形中邊與角的數(shù)量關(guān)系的另一個(gè)重要結(jié)論是余弦定理.如圖1-15所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)△ABC是任意三角形，AB=c,AC=b,BC=a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(ccosA,csinA)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(b,0).根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得兩邊平方得即得a2=b2+c2－2bccosA.1.5正弦定理與余弦定理1.5.2余弦定理同理可得b2=a2+c2－2accosB，c2=a2+b2－2abcosC.可以證明，上述結(jié)論對(duì)任意三角形都成立，于是得到下面的余弦定理.1.5正弦定理與余弦定理1.5.2余弦定理試用同樣的方法證明其他兩式.議一議1.5正弦定理與余弦定理1.5.2余弦定理余弦定理：三角形中任意一邊的平方等于其余兩邊的平方和減去這兩邊與其夾角余弦乘積的2倍，即顯然，當(dāng)∠C=90°時(shí)，有c2=a2+b2，這就是說勾股定理是余弦定理的特例.1.5正弦定理與余弦定理1.5.2余弦定理式（1-16）中的三個(gè)式子還可以分別變形為理論上利用余弦定理可以解決下列問題：（1）已知三角形的兩條邊和它們的夾角，求第三邊和其他的兩個(gè)角；（2）已知三角形的三條邊，求三個(gè)角.已知在△ABC，∠B=60°,a=6,c=8，求b的值.解由式（1-16）可得b2=a2+c2－2accosB=62+82－2×6×8×cos60°=100－48=52,所以b=21.5正弦定理與余弦定理1.5.2余弦定理例5在△ABC中，a=6,b=7,c=10，解三角形（精確到1°）.解由式（1-17）可得1.5正弦定理與余弦定理1.5.2余弦定理例6所以∠A≈36°,∠B≈44°,∠C≈100°.1.5正弦定理與余弦定理1.5.2余弦定理做一做1.在△ABC中，已知a=3,b=2,∠C=150°，求c的值.2.在△ABC中，已知a=20,b=29,c=21，求∠B的度數(shù).1.5正弦定理與余弦定理1.5.3正弦定理與余弦定理的應(yīng)用通過學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，我們可以應(yīng)用這些三角函數(shù)的知識(shí)來解決一些實(shí)際問題,比如計(jì)算高度、長(zhǎng)度、距離和角的大小等.一艘船以每小時(shí)36海里的速度向正北方向航行，在A處觀察到燈塔C在船的北偏東30°方向，0.5小時(shí)后船行駛到B處，此時(shí)燈塔C在船的北偏東45°方向，如圖1-16所示，求B處到燈塔C的距離.1.5正弦定理與余弦定理1.5.3正弦定理與余弦定理的應(yīng)用例7解因?yàn)椤螻BC=45°,∠A=30°，所以∠C=15°，由題意知

AB=36×0.5=18（海里），由正弦定理得所以B處到燈塔C的距離約為34.8海里.1.5正弦定理與余弦定理1.5.3正弦定理與余弦定理的應(yīng)用例7如圖1-17所示，設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸，現(xiàn)需要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離.測(cè)量者在與點(diǎn)A同側(cè)的岸上選定了一點(diǎn)C，并測(cè)量出A,C之間的距離為45m，又測(cè)出∠BAC=45°,∠ACB=75°.根據(jù)以上的信息，求出A,B兩點(diǎn)的距離（精確到0.1m）.1.5正弦定理與余弦定理1.5.3正弦定理與余弦定理的應(yīng)用例8解首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，可以得到∠ABC=180°－∠ACB－∠BAC=60°.利用兩角和的正弦公式得出sin75°=sin(30°+45°)=在△ABC中，利用正弦定理可得1.5正弦定理與余弦定理1.5.3正弦定理與余弦定理的應(yīng)用例8于是所以A,B兩點(diǎn)的距離約為50.2m.修筑道路需挖掘隧道，在山的兩側(cè)是隧道口A和B，在平地上選擇合適測(cè)量的點(diǎn)C，如圖1-18所示.如果已知∠C=60°,AC=350m,BC=450m，試計(jì)算隧道AB的長(zhǎng)度（精確到1m）.解在△ABC中，利用余弦定理可得AB2=AC2+BC2－2AC·BC·cos∠C=3502+4502－2×350×450×cos60°=167500.

所以隧道AB的長(zhǎng)度約為409m.1.5正弦定理與余弦定理1.5.3正弦定理與余弦定理的應(yīng)用例91.5正弦定理與余弦定理1.5.3正弦定理與余弦定理的應(yīng)用1.5正弦定理與余弦定理1.5.3正弦定理與余弦定理的應(yīng)用做一做請(qǐng)計(jì)算引例中海島的高度.單元小結(jié)一、知識(shí)脈絡(luò)圖單元小結(jié)二、主要內(nèi)容1.兩角和與差的余弦公式與正弦公式本節(jié)主要介紹了兩角和與差的一些重要公式，現(xiàn)總結(jié)如下.單元小結(jié)二、主要內(nèi)容2.二倍角的正弦、余弦和正切公式本節(jié)主要介紹了二倍角的一些重要公式，現(xiàn)總結(jié)如下.單元小結(jié)二、主要內(nèi)容3.三角函數(shù)的積化和差與和差化積（1）積化和差公式.單元小結(jié)二、主要內(nèi)容（2）和差化積公式.4.正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（1）形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)稱為正弦型函數(shù).（2）正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性質(zhì).①定義域?yàn)镽.②周期為T=③值域?yàn)椋郏瑼,A］，即最大值為A，最小值為－A.(3)正弦型函數(shù)的圖像稱為正弦型曲線.單元小結(jié)二、主要內(nèi)容(4)用“五點(diǎn)法”,即五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)可作出正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像.(5)在電學(xué)中，電流強(qiáng)度的大小和方向都隨時(shí)間變化的電流稱為交變電流，簡(jiǎn)稱交流電.單元小結(jié)二、主要內(nèi)容(6)最簡(jiǎn)單的是簡(jiǎn)諧交流電，其電流強(qiáng)度的大小和方向隨時(shí)間而變化，可以用如下函數(shù)來表示：I=Imsin(ωt+φ0)(Im>0,ω>0,－π≤φ0≤π)，其中Im是電流強(qiáng)度的最大值，稱為簡(jiǎn)諧交流電的峰值；ω稱為角頻率，單位為rad/s；ωt+φ0稱為相位，φ0稱為初相位，簡(jiǎn)稱初相；T=稱為簡(jiǎn)諧交流電的變化周期，表示交流電完成一次周期性變化所需要的時(shí)間，單位為s；單位時(shí)間內(nèi)，交流電完成周期性變化的次數(shù)稱為頻率，用f表示，f=單位為Hz（赫茲）.(7)一般地，正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ0)(A>0,ω>0)中，A稱為振幅（或峰值），ω稱為角頻率，φ0稱為初相位.單元小結(jié)二、主要內(nèi)容5.正弦定理與余弦定理(1)正弦定理：在任意一個(gè)三角形中，各邊與它所對(duì)的角的正弦之比相等，即(2)余弦定理：三角形中任意一邊的平方等于其余兩邊的平方和減去這兩邊與其夾角余弦乘積的2倍，即a2=b2+c2－2bccosA,b2=a2+c2－2accosB,c2=a2+b2－2abcosC.單元小結(jié)二、主要內(nèi)容(3)余弦定理的變式.單元小結(jié)二、主要內(nèi)容謝謝二次曲線第二

單元二次曲線在日常生活和科學(xué)研究中經(jīng)常用到.如圖2-1（a）所示，行星運(yùn)行的軌道為橢圓，2-1（b）所示的發(fā)電廠煙囪曲線為雙曲線，2-1（c）所示的太陽灶則采用了拋物線.在這種太陽灶上裝有一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面形的反光鏡，當(dāng)它的軸與太陽光線平行時(shí)，太陽光線經(jīng)過反射后集中于焦點(diǎn)處，這一點(diǎn)的溫度就會(huì)很高.引例引例橢圓2.1雙曲線2.2拋物線2.3曲線及其方程2.4目錄CONTENTS橢圓2.12.1橢圓2.1.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的定義如圖2-2所示，我們將繩子的兩端固定在畫板上的F1和F2兩點(diǎn)處，并使繩長(zhǎng)大于F1、F2的距離，用筆尖將繩子拉緊，并保持拉緊的狀態(tài)，在畫板上慢慢移動(dòng)，觀察所畫出的圖形.2.1橢圓2.1.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

從以上繪圖過程中可以看出，筆尖（即M點(diǎn)）在移動(dòng)過程中，與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和始終保持不變，即等于該繩子的長(zhǎng)度.所畫出的圖形就是橢圓.我們將平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離，即|F1F2|叫作橢圓的焦距.2.1橢圓2.1.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程議一議如果把細(xì)繩的兩端的距離拉大，是否還能畫出橢圓？2.1橢圓2.1.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以橢圓的焦點(diǎn)F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖2-3所示.設(shè)點(diǎn)P（x，y）為橢圓上的任意一點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），其中c>0，則|F1F2|=2c；點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1、F2的距離的和為2a(2a>2c>0).2.1橢圓2.1.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a,即通過移項(xiàng)、兩邊平方后得a2－c2x2+a2y2=a2a2－c2.為使方程簡(jiǎn)單、對(duì)稱、和諧，引入字母b，令b2=a2－c2，又因?yàn)?a>2c>0，即a>c>0，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2.1橢圓2.1.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)a2-c2=b2，不僅使得方程變得簡(jiǎn)單規(guī)整，同時(shí)在后面討論橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)，還會(huì)看到其明確的幾何意義.注意2.1橢圓2.1.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

我們把方程（2-1）叫作橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且焦點(diǎn)為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），其中c>0，且c2=a2-b2，我們把F1叫作橢圓的左焦點(diǎn)，F(xiàn)2叫作橢圓的右焦點(diǎn).同理，我們可以得到焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.如圖2-4所示，我們以過橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2所在的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，并設(shè)F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），其中c>0，且c2=a2-b2，那么我們可以得到橢圓的方程為2.1橢圓2.1.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程我們把方程（2-2）也叫作橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)是F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），其中c>0，字母a，b的意義同上，且c2=a2-b2.2.1橢圓2.1.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程如何推導(dǎo)出橢圓方程=1（a＞b＞0)?想一想

指出下列橢圓中a、b、c的值，并說出焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸：解（1）因?yàn)?5>16，所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，并且a2=25，b2=16，則c2=a2-b2=25-16=9，可求出a=5，b=4，c=3.（2）因?yàn)?69>25，所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，并且a2=169，b2=25，則c2=a2-b2=169-25=144，可求出a=13，b=5，c=12.例12.1橢圓2.1.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程2.1橢圓2.1.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程議一議已知一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸還是在y軸上？

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2，0)，(2，0)，并且經(jīng)過點(diǎn)求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.解因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義可知所以a=10.又因?yàn)閏=2，所以b2=a2－c2=10－4=6.因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例22.1橢圓2.1.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程2.1橢圓2.1.1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程做一做1.求下列橢圓的焦點(diǎn)與焦距：（1）=1；（2）=1；（3）=1；（4）13x2+5y2=65.2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）a=4，b=，焦點(diǎn)在x軸上；（2）a=4，c=1，焦點(diǎn)在y軸上；（3）焦距為2，且過點(diǎn)(0,).以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程=1(a>b>0)為例認(rèn)識(shí)橢圓的性質(zhì).1.圖形中x，y的取值范圍將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形為≥0，則可以得出≤1；同理，將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形為=1-可得出≤1，因此關(guān)于橢圓曲線中x、y符合以下取值范圍：2.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)即|x|≤a，|y|≤b從圖2-5上來看，此橢圓應(yīng)該位于直線x=±a，y=±b所圍成的矩形內(nèi).2.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)2.圖形的對(duì)稱性在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，我們將x換成-x，方程依然成立.這說明當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在橢圓上時(shí)，其關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2（-x，y）也在橢圓上，因此橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖2-6所示.2.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)同理，將y換成-y，方程依然成立.這說明當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在橢圓上時(shí)，其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P1（x，-y）也在橢圓上（見圖2-6）.將x換成-x，y換成-y，方程依然成立.這說明當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在橢圓上時(shí)，其關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P3（-x，-y）也在橢圓上（見圖2-6）.由此可知，橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)都對(duì)稱，橢圓是軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是x軸和y軸，它的中心對(duì)稱點(diǎn)是原點(diǎn)，我們稱橢圓的對(duì)稱中心點(diǎn)為橢圓的中心.2.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)3.橢圓的頂點(diǎn)橢圓與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)，在上面橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令x=0，得y=±b，說明點(diǎn)B1(0，-b)，B2（0，b）是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn).同理，令y=0，得x=±a，說明點(diǎn)A1（-a，0），A2（a，0）是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，如圖2-5所示.因此我們將A1，A2，B1，B2四個(gè)點(diǎn)叫作橢圓=1(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn).線段A1A2，B1B2分別叫作橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為2a和2b，其中a和b分別叫作橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)和半短軸長(zhǎng).例如，橢圓=1的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），（0，-4），（0，4），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為8.2.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)4.離心率我們將橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫作橢圓的離心率，記作e.即

因?yàn)閍>c>0，所以離心率e的取值范圍為0<e<1，且e越大，橢圓就越扁；e越小，橢圓就越接近于圓.2.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)

橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解（1）當(dāng)A（2，0）為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，a=2，b=1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)A（2，0）為短軸端點(diǎn)時(shí)，b=2，a=4.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.綜上所述，滿足條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1和=1.2.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)例32.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)要注意橢圓的焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸始終在同一個(gè)坐標(biāo)軸上.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，如果不能確定焦點(diǎn)的位置，要針對(duì)不同情況，給出兩種標(biāo)準(zhǔn)方程.注意已知橢圓=1的離心率e=求k的值.解當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2=k+8，b2=9，則可得出c2=k-1,由e=可得k=4.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2=9，b2=k+8，則可得出

c2=1-k,因此，滿足條件的k值為4或2.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)例4

求出橢圓=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出該橢圓的圖形.解由橢圓=1的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，a=3,b=2,c=因此，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=6，短軸長(zhǎng)為2b=4，離心率為e==兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－3,0),(3,0),(0,－2),(0,2).為了畫出此橢圓的圖形，將橢圓方程改變?yōu)榍蟪鰴E圓的兩個(gè)頂點(diǎn)及在第一象限范圍內(nèi)的坐標(biāo)x,y，如表2-1所示.2.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)例52.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)首先描點(diǎn)并利用光滑的曲線順次連接這些點(diǎn)，可得橢圓在第一象限內(nèi)的圖像，然后利用橢圓的對(duì)稱性畫出整個(gè)橢圓，如圖2-7所示.2.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)如圖2-8所示,我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,其近地點(diǎn)A與地球表面相距439km,遠(yuǎn)地點(diǎn)B與地球表面相距2384km,AB是橢圓的長(zhǎng)軸，已知地球半徑為6371km，求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程（精確到1km）.例62.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)解設(shè)所求衛(wèi)星運(yùn)行軌道的方程為=1(a＞b＞0).由已知得a－c=F2A=6371+439=6810,a+c=F2B=6371+2384=8755,解得a≈7783.因?yàn)?/p>

所以人造地球衛(wèi)星運(yùn)行軌道的近似方程為例62.1橢圓2.1.2橢圓的性質(zhì)做一做1.求下列橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo).（1）6x2+10y2=60；（2）=1；（3）=1.2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20，離心率為（2）a=4，b=1，焦點(diǎn)在y軸上.3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的圖形是不是橢圓？如果是，求出它的對(duì)稱中心坐標(biāo)、對(duì)稱軸方程以及離心率.雙曲線2.22.2雙曲線2.2.1雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.雙曲線的定義上節(jié)課我們已經(jīng)知道了平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡為橢圓，那么平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線呢？它的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的呢？下面我們通過一個(gè)實(shí)驗(yàn)——拉鏈實(shí)驗(yàn)來研究這個(gè)問題.在畫板上選取兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，將拉鏈（拉鏈的兩邊等長(zhǎng)）拉開一段，其中一邊固定在F1處，在另一邊上截取一段AF2（并使AF2小于F1，F(xiàn)2之間的距離），而后固定在F2處，把筆尖放在拉鏈口處（點(diǎn)M處），于是隨著拉鏈的逐漸打開或閉攏，筆尖就徐徐畫出一條曲線；同理，將拉鏈的兩邊交換位置，可畫出另外一支曲線，如圖2-9所示.2.2雙曲線2.2.1雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程想一想：為什么要規(guī)定移動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值要小于|F1F2|？想一想2.2雙曲線2.2.1雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程從以上實(shí)驗(yàn)我們可以發(fā)現(xiàn)，筆尖（即M點(diǎn)）在緩慢移動(dòng)過程中，與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值始終保持不變，即等于AF2.我們將平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（2a，a＞0且小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線．其中這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離|F1F2|叫作雙曲線的焦距.2.2雙曲線2.2.1雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以雙曲線的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2所在的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖2-10所示.設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-c，0)，F(xiàn)2（c，0），則焦距為2c（c>0）.2.2雙曲線2.2.1雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)點(diǎn)M（x，y）為雙曲線上的任意一點(diǎn)，M點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值為2a（a>0），由雙曲線的定義可得

||MF1|-|MF2||=2a.將點(diǎn)M，F(xiàn)1，F(xiàn)2的坐標(biāo)代入得將上述方程化為移項(xiàng)兩邊平方后整理得2.2雙曲線2.2.1雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程兩邊再平方后整理得（c2-a2）x2-a2y2=a2(c2-a2)等式兩邊同時(shí)除以a2(c2-a2)，得由雙曲線的定義知道，2c>2a>0，即c>a>0，說明c2-a2>0，設(shè)b2=c2-a2（b>0），代入上式，方程可變?yōu)?.2雙曲線2.2.1雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程我們把方程=1(a＞0,b＞0)叫作雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c,0),F2(c，0)，其中，c＞0且c2=a2+b2,我們把F1叫作左焦點(diǎn)，F(xiàn)2叫作右焦點(diǎn).如果我們把雙曲線與整個(gè)坐標(biāo)平面繞y=x翻轉(zhuǎn)180°，如圖2-11（a）所示，而仍以向右方向?yàn)閤軸正方向，向上方向?yàn)閥軸正方向，便可得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，如圖2-11（b）所示.因此，在上面我們所得到的的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，只要互換x，y，便可得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2.2雙曲線2.2.1雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有何區(qū)別與聯(lián)系?想一想2.2雙曲線2.2.1雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程方程（2-4）也叫作雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)是F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c），其中c>0，字母a，b的意義同式（2-3）中的a,b，且c2=a2+b2.2.2雙曲線2.2.1雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

求下列雙曲線的焦點(diǎn)與焦距：解(1)因?yàn)楹瑇項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，并且a2=9,b