用空間向量數(shù)量積解題

活用空間向量數(shù)量積解題空間向量數(shù)量積公式將空間兩個向量的長度和夾角有機聯(lián)系在一起，為許多立幾問題特別是夾角與垂直問題）的解決開辟了一條新的途徑，常可使問題化繁為簡，化難為易1.證明空間垂直問題例1?如圖I’在正方體ABCD-AiBiCiDi中，0為AC與BD的交點，G為CCi的中點，求證：AO丄平面BDG.i分析：要證明A1O丄平面GBD,只要能證明A1O丄平面GBD中的兩條相交直線即可,而從圖中觀察，證A1O丄BD,A1O丄0G較容易成功.證明：設(shè)*廣a,AiDi=b，A”=c.貝a?b=0，b?c=0，a?c=0,IBD=AD—AB=b一a，而Ao=AA+BD=AD—AB=b一a，° | 0 I iOG=OC+CG=2(AB+AD"2j=iiAO?BD=(c+a+b)?(b—a)i221=c?(b—a)—(a+b)?(b—a)21=c?b—c?a—(b2—a2)=0.2AO?OG=(c+丄a+丄b)?(丄a+丄b—丄c)i22222i i i=4(a+b)2+4c?(a+b)—2C2ii=4(a2+b2)—2c2=0?????AiO丄BD,AiO丄OG.又7BDOG=°.???AiO丄平面BE又AOu平面ABD， 平面ABD丄平面GBDi i i評注：向量a垂直于向量b的充要條件是a?b=0,據(jù)此可以證明直線與直線垂直,進而還可證明直線與平面垂直.在證明一對向量垂直時，往往用一組基底先表示這一對向量

再考慮它們的數(shù)量積是否為零．例2如圖2,已知平行六面體ABCD—ABC】<的底面ABCD是菱形，且ZCCB再考慮它們的數(shù)量積是否為零．例2如圖2,已知平行六面體ABCD—ABC】<的底面ABCD是菱形，且ZCCB=11ZCCD二ZBCD1(1)求證：CC丄BD；1CD(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r,i能使AiC丄平面CiBD?請給出證明.1證明：(1)CD=a，CB=b,CCi=c，依題意，IaI=IbI，設(shè)CD、CB、CCi中兩兩所成夾角為0于是BD=CD—CB=a—b,CC?BD=c?(a—b)=c?a—c?bi=IcaIcos0—Iccos0=o,.??CC丄BD.1AC丄DC.11解：(2)若使AiC丄平面-BDAC丄DC.11由CA?CD=(CA+AA)?(CD—CC)=(a+b+c)?(a—c)iaI2+a?b—b?c—IcI2aI2—IcI2+IbI?IaIcos0—IbI?IcIcos0=oc丨時，Aic丨時，AiC丄"，同理可證當(dāng)1ac丨時,AiC丄BD.CD???當(dāng)=】時，AiC丄平面CiBD.CC1評注：本題蘊含著轉(zhuǎn)化思想，即用向量這個工具來研究空間垂直關(guān)系的判定以及待定值得探求等問題．用向量論證線面關(guān)系，一定要選好基底，一般用具有長度和角關(guān)系的向量作為基底．二、求空間角的問題例3在棱長都相等的四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、BC的中點，連結(jié)AF、CE,求異面直線AF與CE所成的角.—1則af=丄(a+b),CE=—b+丁c.221a?b+a4一—1AF?CE—-(a+b)?(一b+厶二一IaIIbIcos60o+IaIIcIcos60o24=b2+ IbIIcIcos60o=—m22 4 22c)=-c－112b2+4b?c又AF?CE—|afI-CE|cos0=4m2cos0，1 2\o"CurrentDocument"m2cos0=-m2,cos0=