2020年河南中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：§63-銳角三角函數(shù)

1.(2019河南,19,9分)數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如圖所示,炎帝塑

像DE在高55m的小山EC上.在A處測得塑像底部E的仰角為34°,再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處,測得塑像頂

部D的仰角為60°,求炎帝塑像DE的高度.(精確到1m.參考數(shù)據(jù):sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67,

≈1.73)

A組河南中考題組1.(2019河南,19,9分)數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)1解析在Rt△ACE中,∵∠A=34°,CE=55,∴AC=

≈

≈82.1.∴BC=AC-AB=82.1-21=61.1.

(4分)在Rt△BCD中,∵∠CBD=60°,∴CD=BC·tan60°≈61.1×1.73≈105.7.

(7分)∴DE=CD-CE=105.7-55≈51.所以炎帝塑像DE的高度約為51m.

(9分)思路分析已知EC=55,∠A=34°,先解Rt△ACE,求得AC的長,由BC=AC-AB得BC的長,再解Rt△BCD,求得

CD的長,可得DE=CD-CE≈51m.解析在Rt△ACE中,∵∠A=34°,CE=55,思路分析22.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子體操特有的一個(gè)競技項(xiàng)目,其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干

支架組成,運(yùn)動(dòng)員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離.某興趣小組根據(jù)高低

杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題,請(qǐng)你解答.如圖所示,底座上A,B兩點(diǎn)間的距離為90cm.低杠上點(diǎn)C到直線AB的距離CE的長為155cm,高杠上點(diǎn)D到直

線AB的距離DF的長為234cm,已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4°,高杠的支架BD與直線AB

的夾角∠DBF為80.3°.求高、低杠間的水平距離CH.(結(jié)果精確到1cm.參考數(shù)據(jù):sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈

0.168,tan80.3°≈5.850)2.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子體操特有的一3解析

在Rt△CAE中,AE=

=

≈

≈20.7.(3分)在Rt△DBF中,BF=

=

≈

=40.

(6分)∴EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151.∵四邊形CEFH為矩形,∴CH=EF=151.即高、低杠間的水平距離CH約是151cm.

(9分)思路分析根據(jù)Rt△CAE和Rt△DBF中的邊和角的數(shù)值,用正切函數(shù)分別求得AE,BF的長度,得EF=AE+AB+

BF,由矩形的性質(zhì)可知CH=EF,可以求出問題的答案.方法總結(jié)解直角三角形的應(yīng)用問題,一般根據(jù)題意抽象出幾何圖形,結(jié)合所給的線段或角,借助邊角關(guān)

系、三角函數(shù)的定義解題,若幾何圖形中無直角三角形,則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形,再解直角三角形,

求出實(shí)際問題的答案.解析

在Rt△CAE中,AE=?=?≈?≈20.7.(43.(2017河南,19,9分)如圖所示,我國兩艘海監(jiān)船A,B在南海海域巡航,某一時(shí)刻,兩船同時(shí)收到指令,立即前往

救援遇險(xiǎn)拋錨的漁船C.此時(shí),B船在A船的正南方向5海里處,A船測得漁船C在其南偏東45°方向,B船測得漁

船C在其南偏東53°方向.已知A船的航速為30海里/小時(shí),B船的航速為25海里/小時(shí),問C船至少要等待多長時(shí)

間才能得到救援?

參考數(shù)據(jù):sin53°≈

,cos53°≈

,tan53°≈

,

≈1.41

3.(2017河南,19,9分)如圖所示,我國兩艘海監(jiān)船A,5解析過點(diǎn)C作CD⊥AB交直線AB于點(diǎn)D,則∠CDA=90°.

(1分)設(shè)CD=x海里,則AD=CD=x海里.∴BD=AD-AB=(x-5)海里.

(3分)在Rt△BDC中,CD=BD·tan53°,即x=(x-5)·tan53°,∴x=

≈

=20.

(6分)∴BC=

=

≈20÷

=25海里.∴B船到達(dá)C船處約需25÷25=1(小時(shí)).

(7分)在Rt△ADC中,AC=

x≈1.41×20=28.2海里,∴A船到達(dá)C船處約需28.2÷30=0.94(小時(shí)).

(8分)而0.94<1,所以C船至少要等待0.94小時(shí)才能得到救援.

(9分)解析過點(diǎn)C作CD⊥AB交直線AB于點(diǎn)D,6解題技巧本題是解三角形兩種典型問題中的一種.以下介紹兩種典型問題:(1)如圖,當(dāng)BC=a時(shí),設(shè)AD=x,則CD=

,BD=

.∵CD+BD=a,∴

+

=a,∴x=

.

(2)如圖,當(dāng)BC=a時(shí),設(shè)AD=x,則BD=

,CD=

,∵CD-BD=a,∴

-

=a,∴x=

.解題技巧本題是解三角形兩種典型問題中的一種.74.(2016河南,19,9分)如圖,小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處,測得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37°,旗

桿底部B點(diǎn)的俯角為45°.升旗時(shí),國旗上端懸掛在距地面2.25米處.若國旗隨國歌聲冉冉升起,并在國歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端,則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升?(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

4.(2016河南,19,9分)如圖,小東在教學(xué)樓距地面9米8解析過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,則DB=9米.

(1分)在Rt△CBD中,∠BCD=45°,∴CD=

=9米.

(3分)在Rt△ACD中,∠ACD=37°,∴AD=CD·tan37°≈9×0.75=6.75米.

(6分)∴AB=AD+DB=6.75+9=15.75米.

(7分)(15.75-2.25)÷45=0.3(米/秒).∴國旗應(yīng)以約0.3米/秒的速度勻速上升.

(9分)解析過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,則DB=9米.?(1分)95.(2015河南,20,9分)如圖所示,某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組選定測量小河對(duì)岸大樹BC的高度,他們?cè)谛逼律螪處測得大

樹頂端B的仰角是30°,朝大樹方向下坡走6米到達(dá)坡底A處,在A處測得大樹頂端B的仰角是48°.若坡角∠

FAE=30°,求大樹的高度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,

≈1.73)

5.(2015河南,20,9分)如圖所示,某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組選定10解析延長BD交AE于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H.由題意知,∠DAE=∠BGA=30°,DA=6,∴GD=DA=6.∴GH=AH=DA·cos30°=6×

=3

.∴GA=6

.

(2分)設(shè)BC=x米.在Rt△GBC中,GC=

=

=

x.

(4分)在Rt△ABC中,AC=

=

.

(6分)∵GC-AC=GA,∴

x-

=6

.

(8分)∴x≈13.即大樹的高度約為13米.

(9分)思路分析延長BD交AE于G,構(gòu)造Rt△GBC,根據(jù)題意得∠BGC=30°,解Rt△GBC和Rt△ABC,由GC-AC=GA,

得出BC的值.解題關(guān)鍵構(gòu)造直角三角形,設(shè)BC=x米,用x表示GC、AC是關(guān)鍵.解析延長BD交AE于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H.思路分11B組2015—2019年全國中考題組考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)1.(2019天津,2,3分)2sin60°的值等于

()A.1

B.

C.

D.2答案

C根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值,可得sin60°=

,則2sin60°=2×

=

,故選C.2.(2018云南,12,4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,則∠A的正切值為

()A.3

B.

C.

D.

答案

A∵AC=1,BC=3,∠C=90°,∴tanA=

=3.B組2015—2019年全國中考題組答案

C根據(jù)特123.(2016福建福州,18,4分)如圖,6個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格,菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知菱形的

一個(gè)角(∠O)為60°,A,B,C都在格點(diǎn)上,則tan∠ABC的值是

.

答案

解析如圖,連接EA,EC,易知E、C、B三點(diǎn)共線.設(shè)小菱形的邊長為a,由題意得∠AEF=30°,∠BEF=60°,AE=

a,EB=2a,∴∠AEB=90°,∴tan∠ABC=

=

=

.

3.(2016福建福州,18,4分)如圖,6個(gè)形狀、大小完全134.(2017內(nèi)蒙古包頭,18,3分)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC上一點(diǎn),且FC=2BF,連接AE,EF.

若AB=2,AD=3,則cos∠AEF的值是

.

答案

4.(2017內(nèi)蒙古包頭,18,3分)如圖,在矩形ABCD中14解析連接AF.∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°.∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),AB=2,∴CE=1.∵FC=2BF,BC=3,∴BF=1,FC=2.易證△ABF≌△FCE,∴AF=EF,∠AFB=∠FEC,∵∠FEC+∠EFC=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°,∴∠AFE=90°.∴△AEF是等腰直角三角形,∴cos∠AEF=cos45°=

.解析連接AF.15考點(diǎn)二解直角三角形1.(2019河北,3,3分)如圖,從點(diǎn)C觀測點(diǎn)D的仰角是

()

A.∠DAB

B.∠DCE

C.∠DCA

D.∠ADC答案

B點(diǎn)C觀測點(diǎn)D的仰角是視線與過點(diǎn)C的水平線的夾角,故選B.考點(diǎn)二解直角三角形答案

B點(diǎn)C觀測點(diǎn)D的仰角是視線162.(2016廣西南寧,6,3分)如圖,廠房屋頂人字形(等腰三角形)鋼架的跨度BC=10米,∠B=36°,則中柱AD(D為底

邊中點(diǎn))的長是

()

A.5sin36°米

B.5cos36°米C.5tan36°米

D.10tan36°米答案

C∵tanB=

,∴AD=BD·tanB=5tan36°米.故選C.2.(2016廣西南寧,6,3分)如圖,廠房屋頂人字形(等腰173.(2015四川綿陽,10,3分)如圖,要在寬為22米的九洲大道AB兩邊安裝路燈,路燈的燈臂CD長2米,且與燈柱

BC成120°角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直.當(dāng)燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線

時(shí)照明效果最佳.此時(shí),路燈的燈柱BC高度應(yīng)該設(shè)計(jì)為

()

A.(11-2

)米

B.(11

-2

)米C.(11-2

)米

D.(11

-4)米答案

D延長BC、OD交于點(diǎn)E,∵CD⊥OD,∠DCB=120°,∴∠E=30°,∵∠B=90°,OB=22×

=11米,∴EB=11

米,在Rt△DCE中,CE=2DC=4米.∴BC=EB-CE=(11

-4)米,故選D.3.(2015四川綿陽,10,3分)如圖,要在寬為22米的九184.(2017山西,14,3分)如圖,創(chuàng)新小組要測量公園內(nèi)一棵樹的高度AB,其中一名小組成員站在距離樹10米的點(diǎn)

E處,測得樹頂A的仰角為54°.已知測角儀的架高CE=1.5米,則這棵樹的高度為

米(結(jié)果保留一位小

數(shù).參考數(shù)據(jù):sin54°=0.8090,cos54°=0.5878,tan54°=1.3764).

答案15.3解析由題意知BD=CE=1.5米,CD=BE=10米,在Rt△ADC中,由銳角三角函數(shù)可得AD=CDtan∠ACD=10tan54°=10×1.3764=13.764米,所以AB=AD+BD=13.764+1.5=15.264≈15.3米.4.(2017山西,14,3分)如圖,創(chuàng)新小組要測量公園內(nèi)一195.(2019天津,22,10分)如圖,海面上一艘船由西向東航行,在A處測得正東方向上一座燈塔的最高點(diǎn)C的仰角

為31°,再向東繼續(xù)航行30m到達(dá)B處,測得該燈塔的最高點(diǎn)C的仰角為45°.根據(jù)測得的數(shù)據(jù),計(jì)算這座燈塔的

高度CD(結(jié)果取整數(shù)).參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60.

5.(2019天津,22,10分)如圖,海面上一艘船由西向東20解析根據(jù)題意,∠CAD=31°,∠CBD=45°,∠CDA=90°,AB=30,∵在Rt△ACD中,tan∠CAD=

,∴AD=

,∵在Rt△BCD中,tan∠CBD=

,∴BD=

=CD,又AD=AB+BD,∴

=30+CD,∴CD=

≈

=45.答:這座燈塔的高度CD約為45m.思路分析在Rt△ACD中利用∠CAD的三角函數(shù)表示出AD;在Rt△BCD中利用∠CBD的三角函數(shù)表示出

BD,進(jìn)而根據(jù)AD=BD+30,求得CD的高度.解析根據(jù)題意,∠CAD=31°,∠CBD=45°,∠CDA216.(2019江西,20,8分)圖1是一臺(tái)實(shí)物投影儀,圖2是它的示意圖,折線B—A—O表示固定支架,AO垂直水平桌

面OE于點(diǎn)O,點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)點(diǎn),BC可轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),投影探頭CD始終垂直于水平桌面OE,經(jīng)測

量:AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm.(結(jié)果精確到0.1)(1)如圖2,∠ABC=70°,BC∥OE.①填空:∠BAO=

°;②求投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離;(2)如圖3,將(1)中的BC向下旋轉(zhuǎn),當(dāng)投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離為6cm時(shí),求∠ABC的大小.(參考數(shù)據(jù):sin70°≈0.94,cos20°≈0.94,sin36.8°≈0.60,cos53.2°≈0.60)6.(2019江西,20,8分)圖1是一臺(tái)實(shí)物投影儀,圖2是22解析(1)①160.②如圖1,延長OA交BC于點(diǎn)F,

圖1∵AO⊥OE,∴∠AOE=90°.∵BC∥OE,∴∠AOE=∠BFO=90°,在Rt△ABF中,AB=30cm,∵sin∠B=

,∴AF=AB·sin∠B=30·sin70°≈30×0.94=28.20(cm).∴AF-CD+AO=28.20-8+6.8=27.0(cm).答:投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離為27.0cm.解析(1)①160.23(2)如圖2,過點(diǎn)B作DC的垂線,交DC的延長線于點(diǎn)H.

圖2在Rt△BCH中,HC=28.2+6.8-6-8=21(cm).∵sin∠HBC=

,∴sin∠HBC=

=0.6.∵sin36.8°≈0.60,∴∠HBC≈36.8°,∴∠ABC=70°-36.8°=33.2°.答:當(dāng)投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離為6cm時(shí),∠ABC為33.2°.(2)如圖2,過點(diǎn)B作DC的垂線,交DC的延長線于點(diǎn)H.247.(2018湖北黃岡,21,7分)如圖,在大樓AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,樓高AB=60米,在斜坡下的點(diǎn)

C處測得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的D處測得樓頂B的仰角為45°,其中點(diǎn)A,C,E在同一直線上.(1)求坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值;(2)求斜坡CD的長度.

7.(2018湖北黃岡,21,7分)如圖,在大樓AB正前方有25解析(1)在Rt△ABC中,AB=60米,∠ACB=60°,∴AC=

=20

米.(2)過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,則四邊形AEDF為矩形,∴AF=DE,DF=AE.

設(shè)CD=x米,在Rt△CDE中,DE=

x米,CE=

x米,在Rt△BDF中,∠BDF=45°,∴BF=DF=AB-AF=

米,∵DF=AE=AC+CE,∴20

+

x=60-

x,解得x=80

-120,即CD=(80

-120)米.解析(1)在Rt△ABC中,AB=60米,∠ACB=60°261.(2019吉林長春,6,3分)如圖,一把梯子靠在垂直于水平地面的墻上,梯子AB的長是3米.若梯子與地面的夾

角為α,則梯子頂端到地面的距離BC為

()

A.3sinα米

B.3cosα米C.

米

D.

米C組教師專用題組考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)答案

A因?yàn)閟inα=

,所以BC=ABsinα=3sinα(米).1.(2019吉林長春,6,3分)如圖,一把梯子靠在垂直于水272.(2018天津,2,3分)cos30°的值等于

()A.

B.

C.1

D.

答案

B根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可知,cos30°=

,故選B.2.(2018天津,2,3分)cos30°的值等于?(283.(2017甘肅蘭州,3,4分)如圖,一個(gè)斜坡長130m,坡頂離水平地面的距離為50m,那么這個(gè)斜坡與水平地面夾

角的正切值等于

()

A.

B.

C.

D.

答案

C在直角三角形中,根據(jù)勾股定理可知水平的直角邊長為120m,故這個(gè)斜坡與水平地面夾角的正

切值等于

=

,故選C.思路分析先利用勾股定理求得第三邊的長,再利用正切的定義求正切值.3.(2017甘肅蘭州,3,4分)如圖,一個(gè)斜坡長130m294.(2017黑龍江哈爾濱,8,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,則cosB的值為

()A.

B.

C.

D.

答案

A由勾股定理可得BC=

,所以cosB=

=

.故選A.4.(2017黑龍江哈爾濱,8,3分)在Rt△ABC中,∠C305.(2017山東濱州,7,3分)如圖,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,點(diǎn)D是CB延長線上的一點(diǎn),且BD=BA,則tan∠DAC的值為

()

A.2+

B.2

C.3+

D.3

答案

A設(shè)AC=a,則AB=

=2a,BC=

=

a,∴BD=AB=2a,∴tan∠DAC=

=2+

.5.(2017山東濱州,7,3分)如圖,在△ABC中,AC⊥316.(2016廣東,8,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,3),那么cosα的值是

()

A.

B.

C.

D.

6.(2016廣東,8,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A32答案

D過點(diǎn)A作AB垂直x軸于B,則AB=3,OB=4.由勾股定理得OA=5.∴cosα=

=

.故選D.

答案

D過點(diǎn)A作AB垂直x軸于B,則AB=3,OB=337.(2015內(nèi)蒙古包頭,4,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜邊AB是直角邊BC的3倍,則tanB的值是

()A.

B.3

C.

D.2

答案

D在Rt△ABC中,設(shè)BC=x(x>0),則AB=3x,∴AC=

=2

x.則tanB=

=2

.故選D.8.(2015天津,2,3分)cos45°的值等于

()A.

B.

C.

D.

答案

B本題考查特殊角的三角函數(shù)值.cos45°=

.7.(2015內(nèi)蒙古包頭,4,3分)在Rt△ABC中,∠C=349.(2015河北,9,3分)已知:島P位于島Q的正西方,由島P,Q分別測得船R位于南偏東30°和南偏西45°方向上.符

合條件的示意圖是

()

答案

D本題考查方向角的簡單識(shí)別,選D.9.(2015河北,9,3分)已知:島P位于島Q的正西方,由3510.(2015甘肅蘭州,4,4分)如圖,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,則cosA=

()

A.

B.

C.

D.

答案

D設(shè)AB=k(k>0),則BC=2k,∵∠B=90°,∴AC=

=

k,∴cosA=

=

=

,故選D.10.(2015甘肅蘭州,4,4分)如圖,△ABC中,∠B=3611.(2017山東煙臺(tái),14,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=

,則sin

=

.答案

解析在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=

,∴sinA=

,∴∠A=60°,∴sin

=

.11.(2017山東煙臺(tái),14,3分)在Rt△ABC中,∠C3712.(2017黑龍江哈爾濱,22,7分)如圖,方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1,線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形

的頂點(diǎn)上.(1)在圖中畫出以AB為底、面積為12的等腰△ABC,且點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上;(2)在圖中畫出平行四邊形ABDE,且點(diǎn)D和點(diǎn)E均在小正方形的頂點(diǎn)上,tan∠EAB=

.連接CD,請(qǐng)直接寫出線段CD的長.

12.(2017黑龍江哈爾濱,22,7分)如圖,方格紙中每個(gè)38解析(1)正確畫圖.(2)正確畫圖.CD=

.解析(1)正確畫圖.39考點(diǎn)二解直角三角形1.(2018重慶,10,4分)如圖,旗桿及升旗臺(tái)的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上,旗桿與地面垂直,在教學(xué)樓底

部E點(diǎn)處測得旗桿頂端的仰角∠AED=58°,升旗臺(tái)底部到教學(xué)樓底部的距離DE=7米,升旗臺(tái)坡面CD的坡度i

=1∶0.75,坡長CD=2米,若旗桿底部到坡面CD的水平距離BC=1米,則旗桿AB的高度約為

()(參考數(shù)據(jù):sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6)

A.12.6米

B.13.1米

C.14.7米

D.16.3米考點(diǎn)二解直角三角形40答案

B如圖,延長AB交ED的延長線于M,作CJ⊥DM于J.則四邊形BMJC是矩形.

在Rt△CJD中,

=

=

,設(shè)CJ=4k,DJ=3k,k>0,已知CD=2,則有9k2+16k2=4,解得k=

,∴BM=CJ=

,DJ=

,又∵BC=MJ=1,∴EM=MJ+DJ+DE=

,在Rt△AEM中,tan∠AEM=

,∴tan58°=

≈1.6,解得AB≈13.1(米),故選B.思路分析延長AB交ED的延長線于M,作CJ⊥DM于J,則四邊形BMJC是矩形.在Rt△CJD中求出CJ、DJ的

長,再根據(jù)tan∠AEM=

即可解決問題.答案

B如圖,延長AB交ED的延長線于M,作CJ⊥D41方法總結(jié)解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型,正確畫出圖形,找到直角

三角形.根據(jù)題目中的已知條件,將實(shí)際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題,畫出平面幾何圖形,弄清已知

條件中各量之間的關(guān)系,若圖中有直角三角形,根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可;若圖中沒有直角三角形,可通過

添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決.方法總結(jié)解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際情況建立422.(2016重慶,11,4分)某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測量大樹CD高度的綜合實(shí)踐活動(dòng).如圖,在點(diǎn)A處測得直立于

地面的大樹頂端C的仰角為36°.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處,然后沿水平方向行走6米

至大樹底端D處,斜面AB的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大樹CD的高度約為(參考數(shù)據(jù):sin36°≈0.59,cos36°

≈0.81,tan36°≈0.73)

()

A.8.1米

B.17.2米

C.19.7米

D.25.5米2.(2016重慶,11,4分)某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測量大43答案

A作BF⊥AE于F,如圖所示,

易知四邊形BDEF為矩形,則FE=BD=6米,DE=BF,∵斜面AB的坡度i=1∶2.4,∴AF=2.4BF,設(shè)BF=x米,則AF=2.4x米,在Rt△ABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5(舍負(fù)),∴DE=BF=5米,AF=12米,∴AE=AF+FE=18米,在Rt△ACE中,CE=AE·tan36°≈18×0.73=13.14米,∴CD=CE-DE=13.14-5≈8.1米,故選A.答案

A作BF⊥AE于F,如圖所示,443.(2019內(nèi)蒙古呼和浩特,20,7分)如圖(1),已知甲地在乙地的正東方向,因有大山阻隔,由甲地到乙地需要繞行

丙地.已知丙地位于甲地北偏西30°方向,距離甲地460km,丙地位于乙地北偏東66°方向,現(xiàn)要打通穿山隧道,

建成甲乙兩地直達(dá)高速公路.如果將甲、乙、丙三地當(dāng)作三個(gè)點(diǎn)A、B、C,可抽象成圖(2)所示的三角形,求

甲乙兩地之間直達(dá)高速線路的長AB(結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可).

3.(2019內(nèi)蒙古呼和浩特,20,7分)如圖(1),已知甲45解析過C作CD⊥AB,垂足為D,在Rt△ACD中,∵∠ACD=30°,∴AD=AC·sin30°=460×

=230km,CD=AC·cos30°=460×

=230

km,在Rt△BCD中,tan∠BCD=

,而∠BCD=66°,∴BD=CD·tan66°=230

tan66°km,∴AB=AD+DB=230(1+

tan66°)km.答:甲乙兩地之間直達(dá)高速線路的長為230(1+

tan66°)km.

方法總結(jié)解直角三角形的應(yīng)用,要根據(jù)題意抽象出數(shù)學(xué)圖形,構(gòu)造適當(dāng)?shù)闹苯侨切?解直角三角形,得出

實(shí)際問題的答案.解析過C作CD⊥AB,垂足為D,方法總結(jié)解直角三角形的應(yīng)464.(2019湖北黃岡,22,7分)如圖,兩座建筑物的水平距離BC為40m,從A點(diǎn)測得D點(diǎn)的俯角α為45°,測得C點(diǎn)的

俯角β為60°.求這兩座建筑物AB,CD的高度.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位,

≈1.414,

≈1.732)

4.(2019湖北黃岡,22,7分)如圖,兩座建筑物的水平距47解析延長CD交過A點(diǎn)的水平線于點(diǎn)M,則∠AMC=90°,AM=BC=40m.在Rt△ADM中,tanα=

,∴DM=AM·tanα=40·tan45°=40m,在Rt△ACM中,tanβ=

,∴CM=AM·tanβ=40·tan60°=40

m,∵AB=CM,∴AB=40

≈40×1.732≈69.3m.則CD=CM-DM=40

-40=69.3-40=29.3m.答:建筑物AB的高度約為69.3m,建筑物CD的高度約為29.3m.

思路分析先延長CD交過A點(diǎn)的水平線于點(diǎn)M,然后分別在Rt△ADM和Rt△ACM中由正切求出DM和CM,

進(jìn)而求出AB,CD的高度.解析延長CD交過A點(diǎn)的水平線于點(diǎn)M,思路分析先延長CD交485.(2019吉林,21,7分)墻壁及淋浴花灑截面如圖所示.已知花灑底座A與地面的距離AB為170cm,花灑AC的長

為30cm,與墻壁的夾角∠CAD為43°,求花灑頂端C到地面的距離CE(結(jié)果精確到1cm).(參考數(shù)據(jù):sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)

5.(2019吉林,21,7分)墻壁及淋浴花灑截面如圖所示.49解析如圖,過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F,則∠AFC=90°.

(1分)在Rt△ACF中,AC=30cm,∠CAF=43°,∵cos∠CAF=

,∴AF=AC·cos∠CAF=30×cos43°=30×0.73=21.9(cm).

(5分)∴CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9≈192(cm).因此,花灑頂端C到地面的距離CE約為192cm.

(7分)評(píng)分說明:(1)計(jì)算過程與結(jié)果中,寫“=”或“≈”均不扣分;(2)計(jì)算過程不加單位不扣分.解析如圖,過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F,則∠AFC=90°.?506.(2019四川成都,18,8分)2019年,成都馬拉松成為世界馬拉松大滿貫聯(lián)盟的候選賽事,這大幅提升了成都市

的國際影響力.如圖,在一場馬拉松比賽中,某人在大樓A處,測得起點(diǎn)拱門CD的頂部C的俯角為35°,底部D的

俯角為45°,如果A處離地面的高度AB=20米,求起點(diǎn)拱門CD的高度.(結(jié)果精確到1米;參考數(shù)據(jù):sin35°≈0.57,

cos35°≈0.82,tan35°≈0.70)

6.(2019四川成都,18,8分)2019年,成都馬拉松成51解析如圖,作CE⊥AB于點(diǎn)E,∴∠AEC=∠CEB=90°,

由題意得∠CDB=∠EBD=90°,∠1=35°,∠2=45°.∴四邊形CDBE為矩形.∴CD=BE,CE=DB.在Rt△ABD中,BD=AB=20米,∴CE=20米.在Rt△ACE中,AE=CE·tan∠1.∴BE=AB-AE=20-20·tan35°≈6米.∴CD≈6米.答:起點(diǎn)拱門CD的高度約為6米.解題關(guān)鍵本題為解直角三角形的實(shí)際問題,過點(diǎn)C作CE⊥AB構(gòu)造出直角三角形和矩形是解題關(guān)鍵.解析如圖,作CE⊥AB于點(diǎn)E,∴∠AEC=∠CEB=90°527.(2018內(nèi)蒙古呼和浩特,21,7分)如圖,一座山的一段斜坡BD的長度為600米,且這段斜坡的坡度i=1∶3(沿斜

坡從B到D時(shí),其升高的高度與水平前進(jìn)的距離之比).已知在地面B處測得山頂A的仰角為33°,在斜坡D處測

得山頂A的仰角為45°.求山頂A到地面BC的高度AC是多少米.(結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即

可)

7.(2018內(nèi)蒙古呼和浩特,21,7分)如圖,一座山的一段53解析過點(diǎn)D作DH⊥BC,垂足為H.

∵斜坡BD的坡度i=1∶3,∴DH∶BH=1∶3.在Rt△BDH中,BD=600,∴DH2+(3DH)2=6002,∴DH=60

,∴BH=180

.設(shè)AE=x米,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,∴DE=AE=x,又HC=DE,EC=DH,解析過點(diǎn)D作DH⊥BC,垂足為H.54∴HC=x,EC=60

,在Rt△ABC中,tan33°=

=

,∴x=

,∴AC=AE+EC=

+60

=

.答:山頂A到地面BC的高度為

米.∴HC=x,EC=60?,558.(2018天津,22,10分)如圖,甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為78m,從甲的頂部A處測得乙的頂部D處的俯

角為48°,測得底部C處的俯角為58°,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(結(jié)果取整數(shù)).參考數(shù)據(jù):tan48°≈1.11,tan58°≈1.60.

8.(2018天津,22,10分)如圖,甲、乙兩座建筑物的水56解析如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E.

則∠AED=∠BED=90°.由題意可知,BC=78,∠ADE=48°,∠ACB=58°,∠ABC=90°,∠DCB=90°.可得四邊形BCDE為矩形.∴ED=BC=78,DC=EB.在Rt△ABC中,tan∠ACB=

,∴AB=BC·tan58°≈78×1.60≈125.在Rt△AED中,tan∠ADE=

,解析如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E.57∴AE=ED·tan48°.∴DC=EB=AB-AE=BC·tan58°-ED·tan48°≈78×1.60-78×1.11≈38.答:甲建筑物的高度AB約為125m,乙建筑物的高度DC約為38m.思路分析過點(diǎn)D作DE⊥AB,構(gòu)造直角△ADE和矩形BCDE,通過解直角△ABC和直角△ADE可求出答案.∴AE=ED·tan48°.思路分析過點(diǎn)D作DE⊥AB,589.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放學(xué)路上,看到隧道上方有一塊宣傳“中國——南亞博覽會(huì)”的豎直標(biāo)語

牌CD,她在A點(diǎn)測得標(biāo)語牌頂端D處的仰角為42°,測得隧道底端B處的俯角為30°(B,C,D在同一條直線上),AB

=10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求標(biāo)語牌CD的長(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).(參考數(shù)據(jù):sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,

≈1.73)

9.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放學(xué)路上,看到隧道59解析如圖,過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E,

(1分)

由題意得∠DAE=42°,∠EAB=30°,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB=10,∠EAB=30°,∴BE=

AB=

×10=5.

(2分)∵cos∠EAB=

,∴AE=AB·cos30°=10×

=5

.

(4分)在Rt△DEA中,∠DEA=90°,∠DAE=42°,∵tan∠DAE=

,解析如圖,過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E,?(1分)60∴DE=AE·tan42°≈5

×0.90=

,

(5分)∴CD=BE+ED-BC=5+

-6.5≈6.3(m).

(6分)答:標(biāo)語牌CD的長約為6.3m.

(7分)思路分析作AE⊥BD于點(diǎn)E,構(gòu)造直角△DEA和直角△ABE,解直角△DEA和直角△ABE,求得BE,DE的長,

進(jìn)而可求出CD的長度.∴DE=AE·tan42°≈5?×0.90=?,?(5分)6110.(2017安徽,17,8分)如圖,游客在點(diǎn)A處坐纜車出發(fā),沿A→B→D的路線可至山頂D處.假設(shè)AB和BD都是直

線段,且AB=BD=600m,α=75°,β=45°,求DE的長.(參考數(shù)據(jù):sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,

≈1.41)

10.(2017安徽,17,8分)如圖,游客在點(diǎn)A處坐纜車出62解析在Rt△BDF中,由sinβ=

可得,DF=BD·sinβ=600×sin45°=600×

=300

≈423(m).

(3分)在Rt△ABC中,由cosα=

可得,BC=AB·cosα=600×cos75°≈600×0.26=156(m).

(6分)所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m).

(8分)解析在Rt△BDF中,由sinβ=?可得,6311.(2017陜西,20,7分)某市一湖的湖心島有一棵百年古樹,當(dāng)?shù)厝朔Q它為“鄉(xiāng)思柳”,不乘船不易到達(dá),每年

初春時(shí)節(jié),人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳.小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的大致距

離.于是,有一天,他們倆帶著測傾器和皮尺來測量這個(gè)距離.測量方案如下:如圖,首先,小軍站在“聚賢亭”

的A處,用測傾器測得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)的仰角為23°,此時(shí)測得小軍的眼睛距地面的高度AB為1.7米;然

后,小軍在A處蹲下,用測傾器測得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)的仰角為24°,這時(shí)測得小軍的眼睛距地面的高度AC

為1米.請(qǐng)你利用以上所測得的數(shù)據(jù),計(jì)算“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長(結(jié)果精確到1米).(參

考數(shù)據(jù):sin23°≈0.3907,cos23°≈0.9205,tan23°≈0.4245,sin24°≈0.4067,cos24°≈0.9135,tan24°≈0.4452)11.(2017陜西,20,7分)某市一湖的湖心島有一棵百年64解析作BD⊥MN,垂足為D,作CE⊥MN,垂足為E.設(shè)AN=x米,則BD=CE=x米.在Rt△MBD中,MD=x·tan23°米.在Rt△MCE中,ME=x·tan24°米.

(4分)

∵M(jìn)E-MD=DE=BC,∴x·tan24°-x·tan23°=1.7-1.∴x=

.∴x≈34.∴“聚賢亭”到“鄉(xiāng)思柳”之間的距離約為34米.

(7分)解析作BD⊥MN,垂足為D,作CE⊥MN,垂足為E.6512.(2017江西,17,6分)如圖1,研究發(fā)現(xiàn),科學(xué)使用電腦時(shí),望向熒光屏幕畫面的“視線角”α約為20°,而當(dāng)手指

接觸鍵盤時(shí),肘部形成的“手肘角”β約為100°.圖2是其側(cè)面簡化示意圖,其中視線AB水平,且與屏幕BC垂

直.(1)若屏幕上下寬BC=20cm,科學(xué)使用電腦時(shí),求眼睛與屏幕的最短距離AB的長;(2)若肩膀到水平地面的距離DG=100cm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在鍵盤上,其到地面的距離FH=7

2cm.請(qǐng)判斷此時(shí)β是否符合科學(xué)要求的100°.

參考數(shù)據(jù):sin69°≈

,cos21°≈

,tan20°≈

,tan43°≈

,所有結(jié)果精確到個(gè)位

12.(2017江西,17,6分)如圖1,研究發(fā)現(xiàn),科學(xué)使用66解析(1)如圖,∵AB⊥BC,∴∠B=90°.在Rt△ABC中,α=20°,AB=

≈20÷

=55(cm).

(3分)(2)如圖,延長FE交DG于點(diǎn)I,∵DG⊥GH,FH⊥GH,EF∥GH,∴IE⊥DG,∴四邊形GHFI是矩形,∴IG=FH,∴DI=DG-FH=100-72=28(cm).

(4分)在Rt△DEI中,sin∠DEI=

=

=

,∴∠DEI≈69°.

(5分)∴β=180°-69°=111°≠100°.∴此時(shí)β不符合科學(xué)要求的100°.

(6分)解析(1)如圖,∵AB⊥BC,∴∠B=90°.∴∠DEI≈6713.(2017天津,22,10分)如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東64°方向,距離燈塔120海里的A處,它沿正南方向航

行一段時(shí)間后,到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處,求BP和BA的長(結(jié)果取整數(shù)).參考數(shù)據(jù):sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05,

取1.414.

13.(2017天津,22,10分)如圖,一艘海輪位于燈塔P68解析如圖,過點(diǎn)P作PC⊥AB,垂足為C,由題意可知,∠A=64°,∠B=45°,PA=120,在Rt△APC中,sinA=

,cosA=

,∴PC=PA·sinA=120×sin64°,AC=PA·cosA=120×cos64°.在Rt△BPC中,sinB=

,tanB=

,∴BP=

=

≈

≈153(海里),BC=

=

=PC=120×sin64°,∴BA=BC+AC=120×sin64°+120×cos64°≈120×0.90+120×0.44≈161(海里).答:BP的長約為153海里,BA的長約為161海里.解析如圖,過點(diǎn)P作PC⊥AB,垂足為C,∴BA=BC+AC69思路分析在Rt△APC中,利用∠A的三角函數(shù)求出PC和AC;在Rt△PCB中利用∠B的三角函數(shù)求出BC和

PB即可解決問題.解題關(guān)鍵解此題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型,正確畫出圖形,找準(zhǔn)

三角形.思路分析在Rt△APC中,利用∠A的三角函數(shù)求出PC和AC7014.(2016山東青島,18,6分)如圖,AB是長為10m,傾斜角為37°的自動(dòng)扶梯,平臺(tái)BD與大樓CE垂直,且與扶梯

AB的長度相等,在B處測得大樓頂部C的仰角為65°,求大樓CE的高度(結(jié)果保留整數(shù)).

參考數(shù)據(jù):sin37°≈

,tan37°≈

,sin65°≈

,tan65°≈

14.(2016山東青島,18,6分)如圖,AB是長為1071解析過B作BF⊥AE于F,

在Rt△ABF中,sin37°=

,∴

≈

,∴BF≈6.∵∠BFE=∠BDE=∠DEF=90°,∴四邊形BFED是矩形.∴BF=DE=6.在Rt△BCD中,tan65°=

,∴

≈

,∴CD≈

.∴CE=CD+DE=

+6≈27.答:樓高CE約為27米.解析過B作BF⊥AE于F,7215.(2016新疆烏魯木齊,20,10分)如圖,建筑物AB的高為6m,在其正東方向有一個(gè)通信塔CD,在它們之間的

地面點(diǎn)M(B,M,D三點(diǎn)在一條直線上)處測得建筑物頂端A、塔頂C的仰角分別為37°和60°,在A處測得塔頂C

的仰角為30°,求通信塔CD的高度.(精確到0.01m)

15.(2016新疆烏魯木齊,20,10分)如圖,建筑物A73解析過點(diǎn)A作AE⊥CD于E,由題意,易知四邊形ABDE是矩形,∴AB=DE=6m,AE=BD.設(shè)CE=xm,在Rt△AEC中,∠AEC=90°,∠CAE=30°,∴AE=

=

xm.在Rt△CDM中,CD=CE+ED=(x+6)m,∴DM=

=

m.在Rt△ABM中,BM=

=

m.由AE=BD=BM+DM,得

x=

+

(x+6),解得x=

+3,∴CD=

+9≈15.90m.答:通信塔CD的高度約為15.90m.解析過點(diǎn)A作AE⊥CD于E,由題意,∴CD=?+9≈15.7416.(2016天津,22,10分)小明上學(xué)途中要經(jīng)過A,B兩地,由于A,B兩地之間有一片草坪,所以需要走路線AC,CB.

如圖,在△ABC中,AB=63m,∠A=45°,∠B=37°,求AC,CB的長.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,

取1.414.

16.(2016天津,22,10分)小明上學(xué)途中要經(jīng)過A,B75解析如圖,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.在Rt△ACD中,tanA=

,sinA=

,∠A=45°,

∴AD=

=CD,AC=

=

CD.在Rt△BCD中,tanB=

,sinB=

,∠B=37°,∴BD=

,CB=

.∵AD+BD=AB,AB=63,∴CD+

=63.解析如圖,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.76解得CD=

≈

=27.00.∴AC=1.414×27.00=38.178≈38.2,CB≈

=45.0.答:AC的長約等于38.2m,CB的長約等于45.0m.解得CD=?≈?=27.00.7717.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,18,6分)在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中,小明要測某地一座古塔AE的高度.如圖,已知塔基

頂端B(和A、E共線)與地面C處固定的繩索的長BC為80m.他先測得∠BCA=35°,然后從C點(diǎn)沿AC方向走30

m到達(dá)D點(diǎn),又測得塔頂E的仰角為50°.求塔高AE.(人的高度忽略不計(jì),結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示)

17.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,18,6分)在一次綜合實(shí)踐活78解析已知∠BCA=35°,BC=80m,由題意得∠EDA=50°,DC=30m.在Rt△ABC中,cos35°=

,∴AC=BCcos35°=80cos35°(m).

(2分)在Rt△ADE中,tan50°=

,

(3分)∵AD=AC+DC=(80cos35°+30)m,

(4分)∴AE=[(80cos35°+30)tan50°]m.

(5分)答:塔高為[(80cos35°+30)tan50°]m.

(6分)解析已知∠BCA=35°,BC=80m,由題意得∠EDA7918.(2016陜西,20,7分)某市為了打造森林城市,樹立城市新地標(biāo),實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念,在城南建起了

“望月閣”及環(huán)閣公園.小亮、小芳等同學(xué)想用一些測量工具和所學(xué)的幾何知識(shí)測量“望月閣”的高度,

來檢驗(yàn)自己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力.他們經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn),觀測點(diǎn)與“望月閣”底部間的距離不易測得,

因此經(jīng)過研究需要兩次測量.于是他們首先用平面鏡進(jìn)行測量,方法如下:如圖,小芳在小亮和“望月閣”之

間的直線BM上平放一平面鏡,在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記,這個(gè)標(biāo)記在直線BM上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)C.鏡子不動(dòng),

小亮看著鏡面上的標(biāo)記,他來回走動(dòng),走到點(diǎn)D時(shí),看到“望月閣”頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重

合.這時(shí),測得小亮眼睛與地面的距離ED=1.5米,CD=2米;然后,在陽光下,他們用測影長的方法進(jìn)行了第二次

測量,方法如下:如圖,小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了16米,到達(dá)“望月閣”影子的末端F點(diǎn)處,此時(shí),測得小亮的

影長FH=2.5米,身高FG=1.65米.如圖,已知:AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM.其中,測量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì).請(qǐng)你根據(jù)題中提供的

相關(guān)信息,求出“望月閣”的高AB的長度.18.(2016陜西,20,7分)某市為了打造森林城市,樹立80解析由題意得∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°,∠ACB=∠ECD,∠AFB=∠GHF.∴△ABC∽△EDC,△ABF∽△GFH.

(3分)∴

=

,

=

.即

=

,

=

,

(5分)解之,得AB=99(米).答:“望月閣”的高度為99米.

(7分)解析由題意得∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°,8119.(2015上海,22,10分)如圖,MN表示一段筆直的高架道路,線段AB表示高架道路旁的一排居民樓.已知點(diǎn)A

到MN的距離為15米,BA的延長線與MN相交于點(diǎn)D,且∠BDN=30°.假設(shè)汽車在高架道路上行駛時(shí),周圍39米

以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響.(1)過點(diǎn)A作MN的垂線,垂足為點(diǎn)H.如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛,當(dāng)汽車到達(dá)點(diǎn)P處時(shí),噪音開

始影響這一排居民樓,那么此時(shí)汽車與點(diǎn)H的距離為多少米?(2)降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板.當(dāng)汽車行駛到點(diǎn)Q時(shí),它與這一排居民樓的距離QC為39米,那么對(duì)于這一排居民樓,高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長?(精確到1米)(參考數(shù)據(jù):

≈1.7)19.(2015上海,22,10分)如圖,MN表示一段筆直的82解析(1)連接AP.由題意,知AH⊥MN,AH=15,AP=39.在Rt△APH中,由勾股定理得PH=36.答:此時(shí)汽車與點(diǎn)H的距離為36米.(2)由題意可知,PQ段高架道路旁需要安裝隔音板,QC⊥AB,∠QDC=30°,QC=39.在Rt△DCQ中,DQ=2QC=78.在Rt△ADH中,DH=

=15

.∴PQ=PH-DH+DQ=36-15

+78≈114-15×1.7=88.5≈89.答:高架道路旁安裝的隔音板至少需要89米長.解析(1)連接AP.由題意,知AH⊥MN,AH=15,AP8320.(2015江蘇鎮(zhèn)江,24,6分)某海域有A、B兩個(gè)港口,B港口在A港口北偏西30°的方向上,距A港口60海里.有一

艘船從A港口出發(fā),沿東北方向行駛一段距離后,到達(dá)位于B港口南偏東75°方向的C處.求該船與B港口之間

的距離即CB的長(結(jié)果保留根號(hào)).

20.(2015江蘇鎮(zhèn)江,24,6分)某海域有A、B兩個(gè)港口84解析∵∠BAE=30°,BF∥AE,∴∠ABF=30°.

(1分)∵∠FBC=75°,∴∠ABC=45°.

(2分)∵∠CAE=45°,∴∠BAC=75°.

(3分)∴∠C=60°.過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D,

(4分)

在Rt△ADB中,∠ABD=45°,AB=60海里,解析∵∠BAE=30°,BF∥AE,85則BD=AD=30

海里.在Rt△ADC中,∠C=60°,AD=30

海里,則CD=10

海里.∴BC=(30

+10

)海里.

(6分)則BD=AD=30?海里.8621.(2015江蘇南京,23,8分)如圖,輪船甲位于碼頭O的正西方向A處,輪船乙位于碼頭O的正北方向C處,測得

∠CAO=45°.輪船甲自西向東勻速行駛,同時(shí)輪船乙沿正北方向勻速行駛,它們的速度分別為45km/h和36

km/h.經(jīng)過0.1h,輪船甲行駛至B處,輪船乙行駛至D處,測得∠DBO=58°.此時(shí)B處距離碼頭O有多遠(yuǎn)?(參考數(shù)據(jù):sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)

21.(2015江蘇南京,23,8分)如圖,輪船甲位于碼頭O87解析設(shè)B處距離碼頭Oxkm.在Rt△CAO中,∠CAO=45°,∵tan∠CAO=

,∴CO=AO·tan∠CAO=(45×0.1+x)·tan45°=4.5+x.

(2分)在Rt△DBO中,∠DBO=58°,∵tan∠DBO=

,∴DO=BO·tan∠DBO=x·tan58°.

(4分)∵DC=DO-CO,∴36×0.1=x·tan58°-(4.5+x).∴x=

≈

=13.5.因此,B處距離碼頭O大約13.5km.

(8分)解析設(shè)B處距離碼頭Oxkm.8822.(2015浙江紹興,20,8分)如圖,從地面上的點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ,測得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°,向前

走6m到達(dá)B點(diǎn),測得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°.(1)求∠BPQ的度數(shù);(2)求該電線桿PQ的高度(結(jié)果精確到1m).備用數(shù)據(jù):

≈1.7,

≈1.4.

22.(2015浙江紹興,20,8分)如圖,從地面上的點(diǎn)A看89解析如圖,延長PQ交直線AB于點(diǎn)C.(1)∠BPQ=90°-60°=30°.(2)設(shè)PQ=xm,則QB=QP=xm,在△BCQ中,BC=x·cos30°=

xm,QC=

xm,解析如圖,延長PQ交直線AB于點(diǎn)C.(1)∠BPQ=90°90在△ACP中,CA=CP,∴6+

x=

x+x,x=2

+6,∴PQ=2

+6≈9m,即該電線桿PQ的高度約為9m.在△ACP中,CA=CP,91一、填空題(共3分)1.(2018西華一模,12)若關(guān)于x的方程x2-

x+sinα=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則銳角α的度數(shù)為

.55分鐘66分答案30°解析∵關(guān)于x的方程x2-

x+sinα=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=(-

)2-4×1×sinα=0,解得sinα=

,∴銳角α=30°.一、填空題(共3分)55分鐘答案30°解析∵關(guān)于x的方程92二、解答題(共63分)2.(2019平頂山一模,19)我國北斗導(dǎo)航裝備的不斷更新,極大方便人們的出行.光明中學(xué)組織學(xué)生利用導(dǎo)航到

“金牛山”進(jìn)行研學(xué)活動(dòng),到達(dá)A地時(shí),發(fā)現(xiàn)C地恰好在A地正北方向,且距離A地11.46千米.導(dǎo)航顯示路線應(yīng)

沿北偏東60°方向走到B地,再沿北偏西37°方向走一段距離才能到達(dá)C地,求B,C兩地的距離(精確到1千米).(參考數(shù)據(jù)sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,

≈1.73)

二、解答題(共63分)93解析設(shè)BC=x千米.過點(diǎn)B作BD⊥AC,交AC于點(diǎn)D,在Rt△BDC中,∠CBD=90°-37°=53°,∴CD=xsin53°≈0.8x,BD=xcos53°≈0.6x,在Rt△ADB中,∠DAB=60°,∴AD=

BD=

×0.6x≈1.73×0.2x=0.346x,∵AC=AD+DC=11.46,∴0.346x+0.8x=11.46,∴x=10.答:B,C兩地的距離約為10千米.解析設(shè)BC=x千米.過點(diǎn)B作BD⊥AC,交AC于點(diǎn)D,在R943.(2019新鄉(xiāng)一模,19)如圖所示,某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測量山坡上的信號(hào)塔PQ的高度,他們?cè)贏處測得信號(hào)塔頂

端P的仰角是45°,信號(hào)塔底端點(diǎn)Q的仰角為31°,沿水平地面向前走100米到B處,測得信號(hào)塔頂端P的仰角是68°,求信號(hào)塔PQ的高度.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.48,tan31°≈0.60,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86)

3.(2019新鄉(xiāng)一模,19)如圖所示,某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測量95解析如圖,延長PQ交直線AB于點(diǎn)M,則∠PMA=90°,

設(shè)PM=x米,在Rt△PAM中,∠PAM=45°,∴AM=PM=x米,∴BM=(x-100)米,在Rt△PBM中,∵tan∠PBM=

,∴tan68°=

≈2.48,解得x≈167.57,解析如圖,延長PQ交直線AB于點(diǎn)M,則∠PMA=90°,96在Rt△QAM中,∵tan∠QAM=

,∴QM=AM·tan∠QAM=167.57×tan31°≈167.57×0.60≈100.54(米),∴PQ=PM-QM=167.57-100.54≈67.0(米).答:信號(hào)塔PQ的高度約為67.0米.思路分析本題考查解直角三角形的應(yīng)用.延長PQ交直線AB于點(diǎn)M,設(shè)PM=x米,先由三角函數(shù)求出PM,再由

三角函數(shù)求出QM,進(jìn)而得出PQ的高.在Rt△QAM中,∵tan∠QAM=?,思路分析本題考查解974.(2019焦作一模,20)某學(xué)校為增加體育館觀眾座席數(shù)量,決定對(duì)體育館進(jìn)行施工改造.如圖,為體育館改造

的截面示意圖.已知原座位區(qū)最高點(diǎn)A到地面的鉛