《反函數(shù)新教材》課件

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)照表

名

稱

解析式

指數(shù)函數(shù)

y=axyy=ax(a>1)

對(duì)數(shù)函數(shù)

y=logaxy=ax(0<a<1)

y圖

象

o定義域

值

域

單a>1調(diào)性

0<a<1定

點(diǎn)

圖像關(guān)系

R(0,+∞)

y=logax(a>1)xo(0,+∞)

xy=logax(0<a<1)R在R上是增函數(shù)

在R上是減函數(shù)

(0,1)在(0,+∞)上是增函數(shù)

在(0,+∞)上是減函數(shù)

(1,0)函數(shù)y=ax與y=logax圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱

問(wèn)題:那么這兩個(gè)函數(shù)有什么關(guān)系呢?指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)照表名稱解析式指數(shù)函數(shù)y544y=ax(a>1)32xy=a0<a<1246-4-23211-4-22-1y=logax(a>1)-1y=logax0<a<146-2-2544y=ax(a>1)32xy=a0<a<1246-4-2探究一——反函數(shù)定義

一般地，函數(shù)y=f(x)(x∈A)中設(shè)它的值域?yàn)镃.我們根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x，y的關(guān)系，用y把x表示出，得到x=φ(y).如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么x=φ(y)就表示以y為自變量的函數(shù).

這樣的函數(shù)x=φ(y)叫做函數(shù)y=f(x)-1(x∈A)的反函數(shù)，記作

x=f(y).

我們常常把x，y對(duì)調(diào)一下，把它改成

-1y=f(x).探究一——反函數(shù)定義一般地，函數(shù)y=f(反函數(shù)與原來(lái)函數(shù)的聯(lián)系:名

稱

解析式

定義域

值

域

圖象

y=f(x)AC它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱

原來(lái)函數(shù)

反函數(shù)

y=f-1(x)CA反函數(shù)與原來(lái)函數(shù)的聯(lián)系:名稱解析式定義域值探究二——求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)

例1、

求下列函數(shù)的反函數(shù)：

（1）y＝3x－1；

（2）y＝

x＋1（x≥0）；

（3）y

?3?2；

(4).y?log1(x?4)2x?1探究二——求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)例1、求下列函數(shù)的反函數(shù)：求反函數(shù)的步驟：

1、反解：y=f(x)?x?f?1(y)2、求原函數(shù)的值域

3、互換：x、y互換位置，得y=f-1(x)4、寫(xiě)定義域：根據(jù)原來(lái)函數(shù)的值域，寫(xiě)出反函數(shù)及其定義域.求反函數(shù)的步驟：1、反解：y=f(x)?x?f?1探究三——不是所有函數(shù)都有反函數(shù)

只有在定義域上單調(diào)的函數(shù)才有反函數(shù)。（一對(duì)一）例如：y?x沒(méi)有反函數(shù)。2探究四——互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱

x?5y?

y?x對(duì)

例2．已知函數(shù)

的圖象關(guān)于直線2x?m

稱，

求m的值。

探究五——點(diǎn)P(a,b)在函數(shù)y=f(x)圖象上，則點(diǎn)P'(b,a)在函數(shù)y=f-1(x)圖象上

例3.若點(diǎn)P（1，2）同時(shí)在函數(shù)y＝

ax?b

及其反函數(shù)的圖象上，求a、b的值.探究六——互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同

探究三——不是所有函數(shù)都有反函數(shù)只有在定義域上單調(diào)的函數(shù)才若函數(shù)f(x)在其定義域D上是單調(diào)增函數(shù),-1求證它的反函數(shù)f(x)也是增函數(shù)。

-1證明：在f(x)的定義域內(nèi)任取x-1令f(x-11)=y1,f(x2)=y2

1,x2且x1<x2于是有f(y1)=x1;f(y2)=x2所以f(y1)<f(y2)因?yàn)閒(x)在其定義域D上是增函數(shù)，所以y1<y2

-1-1-1所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)也是增函數(shù)

若函數(shù)f(x)在其定義域D上是單調(diào)增函數(shù),-1求證它的反函性質(zhì)：

1.函數(shù)y=f（x）的圖象和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于

直線y=x對(duì)稱;2.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自的定義域內(nèi)具有相同的

單調(diào)性。

3.如果兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,那么這兩個(gè)函數(shù)

互為反函數(shù).4.如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)的

反函數(shù)就是它本身.反之也成立。

5.點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)是P1（b，a）.

?16.fa?b?fb?a

????性質(zhì)：1.函數(shù)y=f（x）的圖象和它的反函數(shù)y=f-1(例2、求函數(shù)y=3x-2（x∈R）的反函數(shù)，并畫(huà)出原函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象。

y?2x?解：從y=3x-2，解得

。因3此，函數(shù)y=3x-2x?2,(x?R)的反函數(shù)是

y?3函數(shù)y=3x-2（x∈R）和它的反函數(shù)

x?2y?,?x?R?的圖象如圖

3yY=3x-2x?2y?3o1Y=xx例2、求函數(shù)y=3x-2（x∈R）的反函數(shù)，并畫(huà)出原函數(shù)和它3例3、求函數(shù)y=x（x∈R）的反函數(shù)，并畫(huà)出原來(lái)的函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象。

33解：從y=x，解得

，所以函數(shù)33y=x（x∈R）的反函是

。

x?yy0y?x?x?R?33函數(shù)y=x（x∈R）和它的反函數(shù)

y?x?x?R?的圖像如圖

x3例3、求函數(shù)y=x（x∈R）的反函數(shù)，并畫(huà)出原來(lái)的函數(shù)和它y?ax?b的例4：若點(diǎn)P（1，2）在函數(shù)

圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，求a，b的值。

y?ax?b解：由題意知,點(diǎn)P(1,2)在函數(shù)

的反函數(shù)的圖象上，根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的性質(zhì)知，點(diǎn)P1y?ax?b的圖象上。

（2，1）也在函數(shù)

??2?a?b因此，得

???1?2a?b解得，a=-3，b=7y?ax?b的例4：若點(diǎn)P（1，2）在函數(shù)例5、若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于2直線y=x對(duì)稱，且f（x）=（x-1）（x≤1）2求g（x）

解：∵函數(shù)