基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的隨機(jī)過程展開方法

基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的隨機(jī)過程展開方法

在自然界中，大多數(shù)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的外部負(fù)荷不僅隨著時(shí)間的推移而變化（動(dòng)態(tài)特性），而且由于時(shí)間的推移而發(fā)生了顯著的隨機(jī)。從現(xiàn)象上看，這種隨機(jī)性是，在相同條件下，根據(jù)時(shí)間的推移，測量的動(dòng)態(tài)載荷的過程曲線是不同的。每個(gè)具體的時(shí)間曲線對(duì)應(yīng)于隨機(jī)過程的隨機(jī)抽樣曲線。為了描述隨機(jī)載荷的方法，通常被稱為隨機(jī)激勵(lì)模型法。例如，地震作用于結(jié)構(gòu)平面的地面運(yùn)動(dòng)加速度模型，矩陣或矩陣用于結(jié)構(gòu)表面的風(fēng)壓模型，以及影響結(jié)構(gòu)表面波浪的海拔高度模型。在隨機(jī)激勵(lì)模型中，一般使用參數(shù)譜密度函數(shù)來描述地震工程中的kanai-tolim譜、風(fēng)工程中的daven濤譜和海洋工程中的pierson-morrisil譜。事實(shí)上，隨機(jī)過程中的功率譜密度本質(zhì)上是經(jīng)驗(yàn)相關(guān)結(jié)構(gòu)的一部分。對(duì)于具體的物理問題，有必要假定這個(gè)問題是否成熟。對(duì)于隨機(jī)過程,Karhunen-Loeve(K-L)分解提供了從獨(dú)立隨機(jī)變量集會(huì)的角度研究隨機(jī)過程的可能性.K-L分解在本質(zhì)上屬于一類本征正交分解(properorthogonaldecomposition,POD)方法,它常與主成分分析(principalcomponentanalysis,PCA)和奇異值分解(singularvaluedecomposition,SVD)等有著密切的聯(lián)系.其基本思想在于把隨機(jī)過程描述為一列由互不相關(guān)的隨機(jī)系數(shù)(主成分)所調(diào)制的確定性函數(shù)(正交模態(tài))的線性組合形式.對(duì)于具體的物理過程,往往僅需少量的展開項(xiàng)就可以把握隨機(jī)過程的主要能量相干結(jié)構(gòu),同時(shí),每個(gè)主模態(tài)與物理現(xiàn)象的主要機(jī)理之間經(jīng)常還存在著某種聯(lián)系.然而,在實(shí)際問題中,由于求解Fredholm積分方程的困難,往往事先將隨機(jī)過程離散后再展開,這給誤差分析帶來了困難.文獻(xiàn)提出了用小波伽遼金方法來實(shí)施對(duì)隨機(jī)過程的K-L展開,并與K-L展開作了比較.在隨機(jī)場的展開中,人們也相繼提出了級(jí)數(shù)展開法、投影展開法等.基于上述分析,筆者建議一類基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的隨機(jī)過程展開方法.該方法在形式上等價(jià)于K-L分解,在取相同展開項(xiàng)數(shù)時(shí),其均方誤差接近于K-L分解,但可以避免求解Fredholm積分方程的困難,是一種有效的隨機(jī)過程展開方法.1隨機(jī)向量c的標(biāo)準(zhǔn)正交展開不失一般性,對(duì)于連續(xù)實(shí)隨機(jī)過程{X(t),0<t<T},均假設(shè)其均值函數(shù)為零,即E[X(t)]=0.此時(shí),隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)相同,即互不相關(guān)與正交等價(jià).以下不再加以區(qū)別.設(shè)連續(xù)實(shí)隨機(jī)過程{X(t),0<t<T}是二階矩過程,則它在實(shí)的標(biāo)準(zhǔn)正交基{?i(t)}上可展開為X(t)=∞∑k=1ck?k(t)(1)顯然,展開系數(shù)ck(k=1,2,…)是隨機(jī)變量,且ck=∫Τ0X(t)??k(t)dt(2)通常,對(duì)于式(1)取有限項(xiàng)作為其近似,即?X(t)=Ν∑k=1ck?k(t)(3)此時(shí),由于近似引起的均方絕對(duì)誤差為ε1=E{∫Τ0[X(t)-?X(t)]2dt}=∞∑k=Ν+1E[c2k]=∫Τ0E[X2(t)]dt-Ν∑j=1E[c2j](4)注意到E[X(t)]=0,故E[ck]=0,(k=1,2,…).由式(2)知:E[cicj]=E{∫Τ0X(t1)?i(t1)dt1∫Τ0X(t2)?j(t2)dt2}=∫Τ0∫Τ0ΚX(t1,t2)?i(t1)?j(t2)dt1dt2=ρij(i,j=1,2,??Ν)(5)式中,KX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)],為隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù).記相關(guān)矩陣R為R=(ρij)Ν×Ν(6)顯然,矩陣R為實(shí)對(duì)稱矩陣.記隨機(jī)向量C=[c1,c2,…,cN]T.注意到隨機(jī)變量cj是一組相關(guān)的隨機(jī)變量,采用隨機(jī)向量相關(guān)結(jié)構(gòu)的分解方法可將隨機(jī)向量C用一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量ξj(j=1,2,…,N)表示C=Ν∑j=1Φj√λjξj(7)其中,λj與Φj分別為相關(guān)矩陣R的特征值與標(biāo)準(zhǔn)特征向量,可由下式求解:RΦj=λjΦj(8)由式(7)可知ci=Ν∑j=1√λjξjφji(i=1?2,?,Ν)(9)式中,φji是特征向量Φj的第i個(gè)元素.把式(9)代入式(3)得?X(t)=Ν∑k=1Ν∑j=1√λjξjφjk?k(t)=Ν∑j=1√λjξjfj(t)(10)式中,fj(t)=Ν∑k=1φjk?k(t).容易證明,{fj(t),j=1,2,…,N}是一組標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)∫Τ0fi(t)fj(t)dt=Ν∑k=1φjkφik=ΦΤiΦj=δij顯然,當(dāng)N→∞時(shí),有X(t)=∞∑j=1√λjξjfj(t)(11)此時(shí),隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)可分解為ΚX(t1,t2)=∞∑j=1λjfj(t1)fj(t2)(12)式(11)稱為基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的隨機(jī)過程正交展開.顯然,這類正交展開具有與K-L分解相類似的表達(dá)式.對(duì)于一般的非零均值隨機(jī)過程,則有X(t)=X0(t)+∞∑j=1√λjξjfj(t)(13)在實(shí)際問題中,通常用自最大特征值依次降低的前幾階特征值相應(yīng)的隨機(jī)變量即可反映隨機(jī)過程的主要概率特征,因此,可在式(10)中取前r項(xiàng)(r?N),由此可得到一個(gè)縮減的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量組(j=1,2,…,r).此時(shí),式(10)化為～X(t)=r∑j=1√λjξjfj(t)(14)相應(yīng)地,自相關(guān)函數(shù)的近似分解為～ΚX(t1,t2)=r∑j=1λjfj(t1)fj(t2)(15)則式(14)相對(duì)于式(10)的均方絕對(duì)誤差為ε2=E{∫Τ0[?X(t)-～X(t)]2dt}=Ν∑j=r+1λj(16)由此,可以得到均方絕對(duì)誤差為ε=E{∫Τ0[X(t)-～X(t)]2dt}=E{∫Τ0[(X(Τ)-?X(t))+(?X(t)-～X(t))]2dt}=ε1+ε2(17)均方相對(duì)誤差為δ=ε1+ε2∫Τ0E[X2(t)]dt=ε1+ε2∫Τ0ΚX(t,t)dt(18)對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程,則δ=ε1+ε2ΚX(0)?Τ(19)顯然,該方法也能適用于隨機(jī)場的正交展開.通過比較K-L分解法、投影展開法以及本文建議的基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的展開法,可以發(fā)現(xiàn)三者的區(qū)別與聯(lián)系:為了使展開的隨機(jī)過程各分量所含信息正交,K-L分解法預(yù)先要求展開函數(shù)集{?j(t)}是正交歸一化的,但不指定具體形式,同時(shí)還要求展開系數(shù)cj相互正交;投影展開法是預(yù)先構(gòu)造一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量(即要求{cj}是正交歸一化),而對(duì){?j(t)}事先不作要求;本文建議的基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的展開法則是預(yù)先指定{?j(t)}的具體形式,且要求它們是完備的歸一化正交函數(shù)集(即標(biāo)準(zhǔn)正交基),對(duì)展開系數(shù)cj,則在后續(xù)處理中通過隨機(jī)向量的相關(guān)分解實(shí)施正交化的.從展開的結(jié)果來看,K-L分解法是最小均方誤差意義上的一種最佳展開方法;基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的展開法等價(jià)于K-L分解法;而投影展開法,雖然特征值越大越能反映隨機(jī)場的主要概率特征,但在誤差分析時(shí),精度反而越差.2計(jì)算和分析2.1隨機(jī)地震動(dòng)加速度的隨機(jī)過程(1)設(shè)X(t)(0<t<T)為一有限帶寬白噪聲隨機(jī)過程,其均值函數(shù)為零,功率譜密度函數(shù)為SX(ω)(單邊功率譜),即SX(ω)={S0?0≤ω1≤ω≤ω20?其他式中:S0為常數(shù),cm2·s-3;ω1,ω2為任意非零常數(shù),rad·s-1.則自相關(guān)函數(shù)為RX(τ)=2S0τcos(ω1+ω22)τ?sin(ω2-ω12)τ為計(jì)算方便,取ω1=0.選用完備的歸一化三角函數(shù)集作為標(biāo)準(zhǔn)正交基,計(jì)算結(jié)果(見圖1)表明,在時(shí)間T一定時(shí),反映隨機(jī)過程主要概率特征所需獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)與帶寬Δω=ω2-ω1幾乎成線性關(guān)系.Δω越小,則所需獨(dú)立隨機(jī)變量越少.同時(shí),持續(xù)時(shí)間T對(duì)所需獨(dú)立隨機(jī)變量個(gè)數(shù)影響也很大(該例中也幾乎成線性關(guān)系).在時(shí)間T=20s,ω1=0,Δω=0.5πrad·s-1時(shí),則用8個(gè)左右的獨(dú)立隨機(jī)變量即可很好地描述該隨機(jī)過程的主要概率特征.(2)設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)地震動(dòng)加速度過程為X(t),其持續(xù)時(shí)間為Ts,功率譜為Kanai-Tajimi譜(單邊功率譜),即SX(ω)=1+4ζ2g(ω/ωg)2[1-(ω/ωg)2]2+4ζ2g(ω/ωg)2S0(20)式中:ωg和ζg分別為場地土的卓越圓頻率和阻尼比;S0為譜強(qiáng)度因子.令—ω=ω/ωg,則式(20)為S—X(—ω)=1+4ζ2g—ω2(1-—ω2)2+4ζ2g—ω2S0(21)其對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為R—X(—τ)=—R—X(0)?exp(-—a|—τ|)?[cos(—β—τ)+μsin(—β|—τ|)]其中,—β=√1-ζ2g?μ=1-4ζ2g1+4ζ2g?ζg√1-ζ2g,—a=ζg,—R—X(0)=π(1+4ζ2g)4ζgS0.容易證明,以Kanai-Tajimi譜為功率譜的地震動(dòng)加速度隨機(jī)過程X(t)在持續(xù)時(shí)間為Ts上的正交展開,可化為以式(21)為功率譜的隨機(jī)過程—X(t)在區(qū)間為(0,—Τ)上的正交展開.且有—Τ=ωgΤs(22)表1給出了在標(biāo)準(zhǔn)正交基為歸一化的三角函數(shù)集取不同的—Τ?ζg時(shí),所需隨機(jī)變量個(gè)數(shù)的情況.從表1可知,所需獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)取決于—Τ與場地土的阻尼比ζg;—Τ越大,所需獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)越多.2.2隨著機(jī)場的正交啟動(dòng)(1)已知，機(jī)場uxaxa的相應(yīng)功能為ΚU(x1,x2,ω)=exp{-[ω10000(x1-x2)]2}選擇完整的歸一化三角函數(shù)作為參考正交基?n(x)={1√2a,1√acosnπxa,1√asinnπxa,n=1,2,?}選擇一個(gè)完整的歸一化來表示正交的參考?n(x)=√2n+12aΡnxa?n=0,1,2?表2給出了在取這兩種標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí),所取展開項(xiàng)數(shù)及引起的均方相對(duì)誤差情況.(2)標(biāo)準(zhǔn)正交基的確定ΚU(x1,x2,ω)=exp{-ω100|x1-x2|}文獻(xiàn)給出了該類問題K-L分解的解析式.現(xiàn)選取完備的歸一化三角函數(shù)集和勒讓德多項(xiàng)式作為標(biāo)準(zhǔn)正交基,分別計(jì)算ω=1,5,10三種情況下,所取展開項(xiàng)數(shù)及所引起的均方相對(duì)誤差.見表3.從表2,3可看出,用很少的展開項(xiàng)數(shù)就可把握隨機(jī)場的概率特征.同時(shí),不同標(biāo)準(zhǔn)正交基對(duì)于隨機(jī)場展開的均方誤差有一定影響;基于標(biāo)準(zhǔn)正交基的展開方法所產(chǎn)生的均方誤差,與K-L分解較接近.3標(biāo)準(zhǔn)正交基