2021年新高考數(shù)學(xué)壓軸講次04：第22題考前預(yù)測題（教師版）

專題04：新高考數(shù)學(xué)第22題考前預(yù)測題(解析版)

高考數(shù)學(xué)壓軸題分析方法之壓軸題的特點(diǎn)

1、綜合性強(qiáng)，突出數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。

2、高觀點(diǎn)性，與高等數(shù)學(xué)知識接軌。

3、交匯性，強(qiáng)調(diào)各個數(shù)學(xué)分支的交匯。

4、結(jié)論或條件比較新穎

近10年全國I卷，10道文科壓軸題中7道考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)。3道考察圓錐曲線。

“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”以其極強(qiáng)的綜合性強(qiáng)，靈活多變的解法，屢屢承載壓軸使命.也因此

成為了高考數(shù)學(xué)是否可以達(dá)到140+的關(guān)鍵因素。而圓錐曲線由于計(jì)算量較大也成

為了文科高考的首選。

壓軸題為什么難？難在題設(shè)條件多而雜，你能在第一遍審題的過程中就找到全部的

條件？又能不能在看到條件的那一刻就反映出可能的做法？下面我們來對各個題型

進(jìn)行分析：

導(dǎo)數(shù)

(1)函數(shù)的極值點(diǎn)問題

(2)函數(shù)的極值點(diǎn)問題

1.已知函數(shù)〃x)=eX-依一cosx(aeR),g(x)=/(x)+ln(x+l).

(1)證明：若“<-1.則函數(shù)在R上是增函數(shù)；

(2)證明：若。=2,-^<x<則函數(shù)g(x)在x=0處取得極小值.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】

(1)直接利用導(dǎo)數(shù)判斷增函數(shù);

(2)利用導(dǎo)數(shù)證明g(x)在(%,0)上單減，在(0仁)上單增，從而得到函數(shù)g(x)在

x=0處取得極小值.

【詳解】

(1)/(x)=e，-ax-cosx的定義域?yàn)镽,尸(x)=e"-a+sinx

v67<-1,—a<l9-6z+sinx>0,???/'(x)=e*—a+sinx>0

即函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)；

(2)g(x)=/'(x)+ln(x+l)=e"-2x-cosx+ln(x+l),

則g'(x)=e“-2+sinx+——,

x+1

令〃(x)=g<x)=e，-2+sinx+」~j,有/z(0)=e°-2+sin0+^-^=0,

而"(%)="—；—^+cosx

(x+1)

當(dāng)0<x<］時，〃'(力>0；.〃(力在(0,口上單增，

〃(x)>M。)=0，g(%)在(o,上單增.

當(dāng)-KO時,"(0)=l>0,

XA，［-i^)=e^-100+cosf-io)<0,

故存在/{-',())，使得"伍)=0,

二當(dāng)不￡(知0),即單增,

??.h{x)<A(0)=0,即g(x)在(飛,0)上單減.

.?.g(x)在小,0)上單減，在(0,口上單增，

.??函數(shù)g(x)在x=0處取得極小值.

即證.

【點(diǎn)睛】

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的

知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：

(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).

(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.

(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

2.設(shè)函數(shù)/(x)=[ax2—(4a+l)x+4a+3]ex.

(1)若曲線在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行，求a；

(2)若/(x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

【答案1(1)1;(2)(—,+℃).

【分析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得尸(1)=。，即可得答案;

(2)利用極值的定義對。分。>；、。兩種情況進(jìn)行討論.

【詳解】

(1)因?yàn)?[x)=[ax2—(4a+l)x+4a+3]ex,

所以/'(x)=[——(2a+l)x+2p,廣⑴=(1一a)e,

由題設(shè)知/'(1)=0,即(l—a)e=0,解得a=l,

此時/(I)=3ew0.所以a的值為1；

(2)/'(%)=[依2-(2a+l)x+2^|er=(ar-l)(%-2)eA

若a>g,則當(dāng)xe(1,2)時，r(%)<0；當(dāng)xw(2,+a))時，/'(x)>0

所以/(x)在x=2處取得極小值；

^a<—,則當(dāng)XG(0,2)時，，x-2<0,ax—1<0,

22

所以廣(x)>0,所以2不是/[X)的極小值點(diǎn)，

綜上可知，a的取值范圍是(!，”).

2

【點(diǎn)睛】

口)可導(dǎo)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)X。處取得極值的充要條件是/(xo)=O,且在xo左側(cè)與右側(cè)

/(X)的符號不同.

(2)若/[X)在(a,6)內(nèi)有極值，那么/[X)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上

單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值.

(3)函數(shù)的零點(diǎn)問題：

3.已知函數(shù)/(x)=lnx-x+a.

(1)若〃x)，0,求“的取值范圍；

(2)若f(x)有兩個零點(diǎn)〃？，〃，且，〃<〃，證明：〃+,<2e“T<〃?+

nm

【答案】(1)?<1；(2)證明見解析.

【分析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值/⑴=。-1,解不等式。-1V0即得解；

(2)由題得6小=史=巴，所以2e〃T—=空;二或T；

mn\m)m

2片一(〃+口=經(jīng)上近二1.令g(x)=2e1-/一］,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性

In)n

即得證.

【詳解】

解：(1)/(x)的定義域?yàn)?0,+9),r(x)=』-i.

0<x<l時，_T'(x)>0；x>l時，f'(x)<0,

所以fW在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞減.

即x=l時，/(X)取得最大值/(l)=a-l,

依題意，<0,故。<1.

(2)由(1)知，a>},0<m<1</2,

由題得In尤一x+。=0,/.Inx=x—x=ex~a

A-lx-l

所以，%=-%=。,."=1-

m-1?:-l

所以efJ=±-

mn

令g(x)=2ex~'-x2-l,則g'(x)=2ex-'-2x=2(ex~'-x),

由(1)知，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=l時成立，

所以ei2x，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=l時成立，

于是可得g'(x)NO,即g(x)單調(diào)遞增，

因此，當(dāng)0cx<1時?，g(x)<g⑴=0；當(dāng)x>l時，g(x)>g⑴=0,

所以2e°T—1”+，)>(),2efl-l-1m+—j<(),

故〃+!<2e“i<m+—.

nm

【點(diǎn)

m-1n-1

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵有二個，第一：得到e"T=J=?,通過它可以消

mn

元；第二：作差得到2e"T-(加+,]=2醛--療t；

ktn)m

2e"--|\+4=2e'i-獷-1；第三：構(gòu)造函數(shù)8⑴=2e1-/-1,研究函數(shù)的單

knJn

調(diào)性.

4.已知函數(shù)/(力=-/+or+21nx(aeR).

(1)當(dāng)4=2時，求“X)在(1,〃1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(x)=〃x)〃在%上有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃7的取值范圍.

【答案】(1)2x-y-l=o;(2)(1，2+5.

【分析】

(1)求出/(1)和/。)的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；

(2)求得g(x)=21nx-f+m，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性、極值，并求出

g(e)、g]￡|，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于加的不等式組,由此可解得實(shí)數(shù)”?的取

值范圍.

【詳解】

(1)當(dāng)a=2時，/(x)=21nx-x2+2x,_f(x)=2—2x+2,則/(1)=1,

尸(1)=2，

所以，/(x)在處的切線方程為y—l=2(x—l),即2x-y-l=0；

(2)g(x)=21nx-x2+m,則g，(x)=2_2x=：2(x+l)(d.

XX

vxe-,e,.二當(dāng)g'(x)=O時，x=\.

當(dāng)!<xvl時，g'(x)>0；當(dāng)1cxee時，g'(x)vO.

e

所以，函數(shù)g(x)在Jl)上單調(diào)遞增，在(l,e］上單調(diào)遞減.

故g(x)在x=l處取得極大值g(l)=mT.

又g|_=m-2~—,g(e)=m+2-e2,

\eJe

g(e)-g(J=4—e2+J<0,則g(e)<g

，g(x)在g,e上的最小值是g?.

g⑴=加一1〉0

又g(x)在1,e上有兩個零點(diǎn)，則m、1"，解得1<團(tuán)42+二，

g\-=m-2——-<0e

因此，實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是(1，2+方.

【點(diǎn)^青】

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)

函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)

數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題;

(3)參變量分離法：由/(月=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線

y與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點(diǎn)問題.

(3)恒成立求參數(shù)范圍問題：

5.已知函數(shù)/'(x)=alnx+x+e-*(a<0)

(1)當(dāng)。=-1時，判定/(x)有無極值，并說明理由；

(2)若對任意的xe(l,+8)恒成立，求。的最小值

【答案】(1)“X)有一個極小值，但沒有極大值；答案見解析；(2)-e.

【分析】

(1)對函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理；(2)構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

【詳解】

解：(1)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+。)，=+

令g(x)=」+l--,則g，(x)=e+」〉0

xex-e

所以尸(力在(0,+力)上為增函數(shù)

又廣(1)=」<0,1⑵二-］〉0

e2e

所以存在馬€(1,2),使得尸(x°)=0

所以當(dāng)0<x<x0時，/'(%)<0

當(dāng)X〉/時，/'(%)>o

所以/(X)在(O,X0)上單調(diào)遞減，在(%”)上單調(diào)遞增

所以x=x0是/(X)的極小值點(diǎn)

綜上，/(X)有一個極小值，但沒有極大值

(2)不等式/(*)>/，^a\nx+x+e-x>xa

即x+e^x>xa-a\nx=xa-\nxa

即"x-InE*>Z-ln￡對任意的x￡(1,恒成立

令〃⑺=f-則〃()=1—；=?<0,從而〃⑺在(0,1)上單調(diào)遞減

當(dāng)x>1時，，0<e~x<e'':

又。<0時，0<￡<1

不等式e-x-Ine-'NE—lnx〃轉(zhuǎn)化為力(",)之從當(dāng)

該不等式恒成立等價于e-x</恒成立，即-xWalnx對任意x>1恒成立，

r

即。之一-對任意無>1恒成立

Inx

令心)=一含》〉1)

1-lnx

則e'(x)=

(inx)2

所以，當(dāng)1cx<e時，0'(x)〉0

當(dāng)x>e時，0'(x)<0

所以函數(shù)。（X）在（Le）單調(diào)遞增，在（乙位）單調(diào)遞減

所以。（%）皿=。（6）=-6

所以a2—e

故。的最小值為-e.

【點(diǎn)睛】

1.求函數(shù)的極值的一般步驟：口）求了'（力或二階導(dǎo)數(shù)；（2）求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)；（3）利

用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（4）確定函數(shù)的極值.

2.求參數(shù)范圍的常用方法：參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)法等.

6.已知函數(shù)/（x）=x2-4x+a如:,（aeR,"O）,_f（x）為函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在實(shí)數(shù)與的，且玉＜七使得/（玉）=./（％）=0,求證用/（々）＞T.

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析；

【分析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論判別式和。的范圍：a＞2,0＜。＜2,4,0,解二次不

等式，即可得到所求單調(diào)區(qū)間；

（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0,解二次方程可得。，2）,設(shè)

g（x）=f（x）+4=x2-4x+alivc+4,\＜x＜2,又。=4x-2f,可得

gM=x2-4x+（4x-2x2）lnx+4,求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證.

【詳解】

解：(1)函數(shù)/(x)=f-4x+R"x的導(dǎo)數(shù)為/'(x)=2x-4+q(x>0)

X

_2x2-4x+a

-9

X

①當(dāng)A=16-8aW0,即aN2,-4x+a>0恒成立，可得/'(x)>0恒成立.

即有f(x)的增區(qū)間為。+?),無減區(qū)間；

當(dāng)△=16-8a>0,即。<2,可得2x?-4x+a=0的兩根為x=l±/^,

②當(dāng)0<a<2時，1+1->0,

/0）>0,可得或

/'（x）<0,可彳導(dǎo)1—J1—萬<x<1+J

即，（X）的增區(qū)間為（1+尼，內(nèi),減區(qū)間為+J

③當(dāng)4,0時，1+「|>0,1-^1

-/0,

/"）>0,可得x>l+R；

f'W<0,可得

即/（x）的增區(qū)間為11+尼，”；減區(qū)間為（0』+『'］；

綜上可得：當(dāng)時，/（X）在（。,一）上單調(diào)遞增，無減區(qū)間;

當(dāng)怎。時，/（X）的增區(qū)間為

(2)證明：函數(shù)/(%)="2-+a的導(dǎo)數(shù)為/")=2工一4+幺=馬一4八+"(x>0),

XX

由題意可得工］,當(dāng)是2父-4x+a=0的兩根，且馬=1+J1,0<。<2,

可得々￡(1,2),

^(x)=/(x)+4=x2-4x+alnx+4,l<x<2,

又a=4x-2x2,可得g(x)=x2-4x+(4x-2x2)bvc+4,

g'(x')=2x-4+(4—4x)lnx+(4x-2x2)」=4(1-x)lnx,

x

由1<x<2可得4(1-X)/MX<0,B|Jg(x)在(1,2)遞減,

則g(x)e(O,1),顯然g(x)>0恒成立，

則—I.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的思想方法，考查

不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用單調(diào)性解決，考查化簡整理

的運(yùn)算能力.

(4)函數(shù)不等式(證明和利用解決問題)：

7.已知函數(shù)/(元)=-—In工一〃a(機(jī)eR).

x

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若機(jī)=1,求證："(x)+x-a]ln(x+l)-l<JT.

e

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【分析】

(1)/'(x)=-烏_〃優(yōu)―+：+，x〉o,分機(jī)=o,機(jī)力0兩種情況，根據(jù)

XXX

二次函數(shù)的性質(zhì)，利用判別式結(jié)合函數(shù)的定義域，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷；

(2)將證明(；—lnx—a)ln(x+l)-l<，Y，轉(zhuǎn)化為證

(l-xlnx-ox)-11^-1-<-~牡然后令Zz(x)=l-xlnx-or,

xe

^(x)=ln(l+x)-x(x>0),用導(dǎo)數(shù)法證明.

【詳解】

n?I

(1)f\x)=—T------m——-----5----,x>0,

XXx

則人)。,

若〃2=0,T<函數(shù)/(x)在(0,+?)上單調(diào)遞減.

若加,則二次函數(shù)y=〃V+x+〃?的判別式△=l-4〃?2,

當(dāng)AKO,B|J—時、

22

若根《-；，則尸(x)NO,等號不恒成立，函數(shù)F3在(0,+8)上單調(diào)遞增;

若mzg,pllJ/(x)<0,等號不恒成立，函數(shù)f(x)在(0,茁)上單調(diào)遞減.

當(dāng)△>(),即一,<加<，且根工。時，

22

令/'(X)=0,即mx2+x+zn=0,

114^nd--1-Jl-4"-1+Jl-4"r4_v_1rr_1

xx-1

irCR'Jx,=-----------------，X)=------------------，Xj+x2-----,i2?

2tn2m機(jī)

若0(根<g,則為，x2<0,此時/(x)<0恒成立，函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞

減；

若-g<"?<(),則。<々<%，當(dāng)xe(0，z)時，f'(x)>0,

當(dāng)了武馬,不)時/'(x)<0,當(dāng)時，f'(x)>0,

即函數(shù)/(x)在(0,々)和(玉,口)上單調(diào)遞增，在(如丹)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)加士0時-，函數(shù)/(x)在(0,一)上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)一：〈根<()時，函數(shù)/(%)在0,一\------和一\——~,+8上單調(diào)遞

22m2m

\7\7

增，

在一三-----，一三-------上單調(diào)遞減.

2m2m

ln(x+D-l〈擊,

(2)要證—\nx-a

x

.、ln(x+l)ea+,+I

即證(1-xlnx-ca)---——-<———.

記〃(x)=\—x\nx—ax,則h\x)=—\nx—l—a,

令"(x)=0,得元=e"+L

當(dāng)x?O,eSD)時,"(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，"(幻<0,心)單調(diào)遞減，

/1戶。+I_1_1

所以3)4〃3(“叫)=1+西=乎「.

1V"

令人(x)=ln(l+x)-x(x>0),則k'(x]=--------1=-----<0,

1+x1+x

所以女(犬)在(0,+。)上遞減，

貝iJA(x)</(0)=0,

即ln(l+x)<x(x>0)恒成立，

所以(l-xlnx-ox)螞也<=恒成立，

xe"

故"(x)+x-a]ln(x+l)-1<—

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值等問題，最終歸結(jié)到判斷

/(x)的符號問題上，而/(x)>0或/(x)<0,最終可轉(zhuǎn)化為一個一元一次或一元二次

不等式問題.若含參數(shù)，則含參數(shù)的二次不等式的解法常常涉及到參數(shù)的討論問

題，只要把握好下面的四個"討論點(diǎn)"，一切便迎刃而解.分類標(biāo)準(zhǔn)一：二次項(xiàng)系數(shù)

是否為零，目的是討論不等式是否為二次不等式；分類標(biāo)準(zhǔn)二：二次項(xiàng)系數(shù)的正

負(fù)，目的是討論二次函數(shù)圖象的開口方向；分類標(biāo)準(zhǔn)三：判別式的正負(fù)，目的是討

論二次方程是否有解；分類標(biāo)準(zhǔn)四：兩根差的正負(fù)，目的是比較根的大小.

8.已知函數(shù)/(外=〃朋》+；851+/),g(X)=/(X)-X-^COSfX+

(1)當(dāng)XN1時，若不等式g(x)?e'T-x-l恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(2)若存在兩個不相等的正數(shù)玉，w，使得/(%)+玉=/?)+/,證明：

JpW<-2m.

【答案】(1)(91］：(2)證明過程見詳解.

【分析】

(1)化簡不等式，構(gòu)造新函數(shù)力(x),問題轉(zhuǎn)化為以x)W0在時恒成立，利用導(dǎo)

數(shù)分類討論進(jìn)行求解即可；

(2)對已知等式進(jìn)行化簡，得到-7〃(111工2-111%)=一；(5皿工2-5由藥)+々-%,構(gòu)造

函數(shù)G(x)=x-sinx,求導(dǎo)，得到不等式X2-sinx2>0,X|-sinX|>0,進(jìn)而利用放縮

法，結(jié)合換元法、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明即可.

【詳解】

(1)g(x)Ve*T-x-lnnzlnxWe”——1,^h(x)=m\nx-ex~'+1,力⑴=0

YY}

因此原問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)XNI時，不等式版工)〈。恒成立，h(x)=--ex-},

當(dāng)相￡1時，h(%)<0,函數(shù)〃(x)=〃ln無一。t+1在xNl時,單調(diào)遞減,

所以當(dāng)時，h(x)<h(\)=O,所以不等式Mx)WO恒成立;

當(dāng)，*>1時，h(x)=---e*T=0="2=xe'T,設(shè)F(x)=xe*T,F(x)=(x+,當(dāng)

x

xNl時，F(xiàn)(x)>0,所以函數(shù)/(x)=xe1此時是單調(diào)遞增函數(shù)，且尸(x)N尸(1)=1

因此函數(shù)丁=機(jī)與函數(shù)F(x)=x/T有唯一交點(diǎn)，設(shè)%,顯然%>1,

因此當(dāng)X€(1，X(>)時，/?(x)>0,函數(shù)/?(x)="?lnx-/T+1單調(diào)遞增，當(dāng)xe(x(),+8)

時,/?(%)<0,函數(shù)〃(x)=mlnx-e*T+l單調(diào)遞減，因此力(x)1rax=〃(/)>6⑴=0,

顯然不等式蟲x)W0不恒成立，不符合題意，

綜上所述：實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍是(-8,1］；

(2)/(%)+工|=/(專)+/=>機(jī)In%-gsinX[+玉=m\nx2-^sinx2+x2,

即-m(lnx2-Inx,)=(sinx2-sinxl')+x2-x],

設(shè)G(x)=x-sinx,G(X)=1-COSJC>0,所以函數(shù)G(x)=x-sinx是增函數(shù),

因?yàn)楝F(xiàn)，々是兩個不相等的正數(shù)，所以不妨設(shè)々>%>。，

因此有G(X2)>G(X[)>G(0)=0,B|Jx2-sinx2>0,玉一sin%>0,

x

因此2~sinx2+xt-sin%>0=-(sinx2+sinp)>-(x2+xt),

即-m(lnx2-Inxt)=-—(sinx2-sinx,)+x2-x,>-—(x2-x,)+(x2-xj=—(x2-x(),

一2心肅會要想證明用<一2加成立，只需證明武關(guān)『后,

因?yàn)轳R>芭>0,所以令"強(qiáng)>1,因此只需證明在，>1時成立，即

西Inr

〉Int在，>1時成立，設(shè)函數(shù)加（r）=ln/-」=i,r>1,/”（/）=（山？<0,所

以當(dāng)」>1時,函數(shù)"Xx）=ln/-導(dǎo)單調(diào)遞減，因此當(dāng)f>l時,機(jī)⑺<〃貝）=0,即

皿x）=lnf-葵<0=>12<亍，因此成立，所以"E<-2〃Z.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于由-加（1*2-1呻）=-3（5m工2-5皿%）+%2-%，聯(lián)想構(gòu)

造函數(shù)G（x）=x-sinx,進(jìn)而可以運(yùn)用放縮法、換元法，通過導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明.

（5）極值點(diǎn)偏移問題

9.已知函數(shù)/（x）=（l+x）ln（l+x）-G?-（2a+l）x,aeR.

（1）若〃x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求。的最小值；

（2）若“X）有兩個極值點(diǎn)分別是々，證明：X,+X>--2.

2a

【答案】（1）J;（2）證明見解析.

2<?

【分析】

（1）利用函數(shù)/（X）在定義域內(nèi)是減函數(shù)等價于raw。在（-1,叱）上恒成立，參

變分離后，即可求。的最小值；

（2）令Mx）=r（x）,利用導(dǎo)數(shù)可求得做x）的單調(diào)性;令

w（x）=/z（x）-//f^-2-xjfx>^--M,可求得"2（X）>0,得到加（x）單調(diào)遞增，可

得人(%)>力(,一2-々),置換為〃(xj>—2-々)，由〃(x)在(一1,五—1)上的

單調(diào)性可得自變量的大小關(guān)系，從而證得結(jié)論.

【詳解】

(1)/(x)定義域?yàn)?-l,+oo),/'(x)=ln(l+x)-2a(x+l),

??"(X)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，，/'(x)WO在上恒成立，

ln1+x

即ln(l+x)—2a(x+l)<0,2fl>(),

1+x

令(x)=9&包，則g?)」)n(l［x),令g，(x)=o,解得：x=e—1,

.?.當(dāng)xe(-l,e-l)時,g'(x)>0；當(dāng)xe(e-l,+e)時，g'(x)<0；

，g(x)在(T,e-1)上單調(diào)遞增，在(e-l,+o>)上單調(diào)遞減，

???gOOmJg.7)=(，，2a?g(x)1rax=：,解得：‘

的最小值為［.

(2)由(1)知：若/(力有兩個極值點(diǎn)，則

2aX2a+l

令〃(x)=r(x)=ln0+x)_2a(x+1),則〃(x)=———2a=~~,

XI1XI1

令"(x)=O,解得：x=^--l,

.?.當(dāng)--1］時，/?,(%)>O；--1,+81時，”(x)<0；

在上單調(diào)遞增，在（:一1，+4上單調(diào)遞減，

不妨設(shè)X<x,則一1<X]<---1<X;

}22a2

令加力

(x)=(x)_6('_2—xx>———1

2a

二加⑴在（（-L+g）上單調(diào)遞增，.?.63>加（+-1）=0,

7?2（%2）=力（工2）—力［2—4］>0,艮|J力（冗2）>力［--2一X）），

又/2（5）=〃（入2）=0，?、力（%）〉〃（，_2_%2），

1

?/X.>-------:--.--1<--1-X<--1,

22a-la2a

又不=%（x）在/上單調(diào)遞增,

二X>—2—馬，H[1玉+馬>—2.

aa

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：木題考查導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題，處理類似于玉+々>。（X，%為

〃x）=0的兩根）的問題的基本步驟如下：

①求導(dǎo)確定/（X）的單調(diào)性，得到公吃的范圍;

②構(gòu)造函數(shù)/（力=/（6-/（。-力，求導(dǎo)后可得尸（X）恒正或恒負(fù)；

③得到/（%）與/（。-5）的大小關(guān)系后，將/（%）置換為〃/）；

④根據(jù)Z與。-占所處的范圍，結(jié)合/（力的單調(diào)性，可得到工2與。-%的大小關(guān)

系，由此證得結(jié)論.

（6）雙變量問題

10.已知函數(shù)/（x）=1-x+alnx.

x

（1）討論"X）的單調(diào)性；

（2）若Ax）存在兩個極值點(diǎn)內(nèi),與，證明：〃"）-〃/）＜4一2.

玉-x2

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【詳解】

分析：（1）首先確定函數(shù)的定義域，之后對函數(shù)求導(dǎo)，之后對。進(jìn)行分類討論，從

而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，從而求得函數(shù)對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

（2）根據(jù)f（x）存在兩個極值點(diǎn)，結(jié)合第一問的結(jié)論，可以確定?！?,令

/,U）=0,得到兩個極值點(diǎn)石,々是方程X2—Q；+I=O的兩個不等的正實(shí)根，利用韋

達(dá)定理將其轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)證得結(jié)果.

詳解：（1）”力的定義域?yàn)椋?,位），/（月=-二-i+L".

XXX

(i)若a<2,則_f(x)WO,當(dāng)且僅當(dāng)a=2,x=l時_f(x)=O,所以〃x)在

(0,住)單調(diào)遞減.

(ii)若a>2,令/'(力=0得，》=佇用4或》=生咚三.

當(dāng)一手7卜1+亨7+8卜,人力<0；

當(dāng)xw卜一廠"f4,r(x)〉0.所以7(X)在

\/

’0-―尸］］+甲,+,單調(diào)遞減,在卜一『,當(dāng)三］單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，/(x)存在兩個極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)?！?.

由于〃力的兩個極值點(diǎn)%，%滿足V-冰+1=0,所以不々=1，不妨設(shè)不<馬，則

%>1.由于

xx

f\\)~f\2)1.Inx,-lnx?-Inx,-lnx9.-21nx9

-------=-----1+Q——!---------=-2+Q——!-----------=-2+?—---

%)-x%馬x-xx-x],

212x2Xry

X2

所以ZfelzZfe)<a_2等價于工_々+21眸<0.

七一％“2

設(shè)函數(shù)g(x)=g-x+21nX,由(1)知，g(九)在(0,+oo)單調(diào)遞減，又g(l)=0,從

而當(dāng)x?l,+oo)時,g(x)<0.

所以，―乙+211^2<0,即/㈤-/⑸<a一2.

X

2Xy—X2

點(diǎn)睛：該題考查的是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及極值所滿足的條件，在解題的過程中，

需要明確導(dǎo)數(shù)的符號對單調(diào)性的決定性作用，再者就是要先保證函數(shù)的生存權(quán)，先

確定函數(shù)的定義域，要對參數(shù)進(jìn)行討論，還有就是在做題的時候，要時刻關(guān)注第一

問對第二問的影響，再者就是通過構(gòu)造新函數(shù)來解決問題的思路要明確.

圓錐曲線

(1)定點(diǎn)定值問題

1.已知圓O：x2+y2=l,圓?：(x-2)2+()，-3)2=1過01作圓。的切線，切點(diǎn)為T

(T在第二象限).

(1)求回001T的正弦值；

(2)已知點(diǎn)P(a,b),過P點(diǎn)分別作兩圓切線，若切線長相等，求a,b關(guān)系;

(3)是否存在定點(diǎn)M(m,n),使過點(diǎn)M有無數(shù)對相互垂直的直線/i,上滿足

且它們分別被圓0、圓。1所截得的弦長相等？若存在，求出所有的點(diǎn)M；

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)—坦；(2)4a+66-13=0；(3)存在；〃(-2，二)或('!■’《).

132222

【分析】

(1)分別求得圓。，。1的圓心和半徑，再由直角三角形的銳角三角函數(shù)的正弦函

數(shù)，計(jì)算可得所求值；

(2)運(yùn)用勾股定理，可得切線長，兩邊平方化簡可得所求；

(3)假設(shè)存在定點(diǎn)M(m,n)滿足題意，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長公

式，化簡整理，結(jié)合直線恒過定點(diǎn)的求法，解方程組，可得所求定點(diǎn)M.

【詳解】

解：(1)圓。：x2+y2=l的圓心為。(0,0),半徑為n=l,

圓Oi：(x—2)2+(y—31=1的圓心為Oi(2,3),半徑為右=1,

\OO]^yl22+32=V13,

在直角三角形。。17中,OT±OiT,

,\OT\1

可得sinzOOiT—?門門?=/,->■=-----;

IOO,|V22+3213

(2)由題意，結(jié)合勾股定理可得"2+尼_1=一2)2+S-3J-1，

兩邊平方化簡可得4a+6b-13=0；

(3)假設(shè)存在定點(diǎn)M(m,n),

使過點(diǎn)M有無數(shù)對相互垂直的直線/1，，2滿足且它們分別被圓。、圓。1所

截得的弦長相等.

可設(shè)/i：y-n=k(x-m),即kx-km=0,

I1機(jī)

I2：y-n=--(x-m),即為/x--n-----=0,

kkk

,\n-km\

1-(H==)x2=2

JJl+二

兩邊平方化簡可得1〃-km|=|2+3k--m|.

可得n-km=2+3k-〃k-m或，-km+2+3k-nk-m=0,

由k(3-n+m)+2-m-n=0,

1

m———

n—m=37

可得<解得$

m+〃=2

n=-

I2

由k(3-m)+n+2-m=0,

5

m=—

n+m=32

可得c，解得

m-n=21

n=—

2

故存在這樣的或?滿足題意.

2222

【點(diǎn)

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查切線長，弦長問題.求圓的弦長

一般用幾何法：即求得圓心到直線的距離d,利用勾股定理計(jì)算弦長/=2必彳

(其中「是圓半徑).

、2

2.已知耳，外分別為橢圓c：￡+.=l(a〉8>())的左、右焦點(diǎn)，M為C上的動

點(diǎn)，其中M到"的最短距離為1,且當(dāng)?shù)拿娣e最大時，恰好為等

邊三角形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)斜率為攵的動直線/過點(diǎn)入，且與橢圓。交于A,B兩點(diǎn),線段A8的垂直平

分線交工軸于點(diǎn)P,那么，黑是否為定值？若是，請證明你的結(jié)論；若不是，

請說明理由.

【答案】(1)工+二=1；(2)照為定值，證明見解析

43\AB\

【分析】

(1)當(dāng)點(diǎn)M在橢圓的左頂點(diǎn)時，M到耳的距離最短，可得當(dāng)點(diǎn)M在橢

圓的上頂點(diǎn)(或下頂點(diǎn))時，△〃大鳥的面積最大，此時AM耳工為等邊三角形，可

得a=2c,從而可求出a,b,c,即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(22

土+工=1

(2)易知直線，的斜率存在，設(shè)其方程為y=z(x-D,聯(lián)立彳43,得到關(guān)于

y=k(x-l)

X的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可求得A8的中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得到線段

A5的垂直平分線的方程，令y=0,可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可得到歸局的表達(dá)

式，然后根據(jù)弦長公式|他|=’(1+12)[(芯+々)2-4%也]，可求出的表達(dá)式，

從而可求得照為定值，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)攵=0時，黑為相同的定值.

IAB\\AB\

【詳解】

(1)由題意，當(dāng)點(diǎn)M在橢圓的左頂點(diǎn)時，〃到6的距離最短，則a-c=l,

當(dāng)點(diǎn)M在橢圓的上頂點(diǎn)(或下頂點(diǎn))時，△河耳工的面積最大，此時AMK居為等

邊三角形，則a=2c,

a-c=l

聯(lián)立《。二2c,角軍得。=2,c=1/=,

a2=b2^c2

22

故橢圓C的方程為三+二=1.

43

（2）需為定值.

證明：由題意可知，動直線/的斜率存在，設(shè)其方程為y=%（x-i）,

蘭+廣=1

聯(lián)立43一，得（3+4公卜2_弘2》+4（公-3）=。.

y=4（％_1）

4伏2-3)

設(shè)A（X，X），3（々,%），貝也+方=三與7,

x.x2-------=，

J十^TK3+4k2

X]'%=3。-1)=蓋?

設(shè)45的中點(diǎn)為。（%,%），貝1人=+x2_4k?

23+4k2

_弘4k2

當(dāng)心。時，線段鉆的垂直平分線的方程為“-3+4吃

上2、

令y=(),得x即P-----7,0,

3+4-23+4*J

3(1+巧

所以|「用

』-"3+4女2

、2

8316(/2一3)12(上+

3+4VJ3+4F一3+4公

3（l+fc2）

所以囪=3+4/J

所以12（1+巧-4,

當(dāng)&=0時，/的方程為y=0,

此時，|陰=2a=4,|吶=c=l,=

1111\AB\4

綜上，照為定值.

IAB|

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求定值問題，常見的方法：

（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；

（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

3.己知橢圓￡：m+《=1（。＞。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為士，K，M為橢圓上一

crb~

動點(diǎn)，當(dāng)川陽片的面積最大時，其內(nèi)切圓半徑為g,橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為

A,B,且|AB|=4.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過耳的直線與橢圓相交于點(diǎn)C,D（不與頂點(diǎn)重合），過右頂點(diǎn)B分別作直

線BC,8。與直線x=Y相交于N,M兩點(diǎn),以MN為直徑的圓是否恒過某

定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

22

【答案】（1）5+5=1：（2）以MN為直徑的圓恒過兩定點(diǎn)（一7,0）,（-1,0）.

【分析】

(1)由|A8|=4可得a的值，AM尸石的面積最大時，由橢圓的性質(zhì)可得當(dāng)和二角形

內(nèi)切圓的性質(zhì)可列方程，再結(jié)合a,"c的關(guān)系，從而得出答案.

(2)設(shè)出直線CO的方程與橢圓方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，由。點(diǎn)坐標(biāo)得出的方程

進(jìn)而得出點(diǎn)N坐標(biāo)，同理得出用坐標(biāo)，寫出以MN為直徑的圓的方程，從而得出

圓過定點(diǎn).

【詳解】

解：(1)由題意及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得

!?2cg=!(2a+2c)],化簡得￡①

223a2

又|A8|=2a=4,

所以a=2，c=1,b=yjcr-c~=V3，

22

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+±=1.

43

(2)由(1)知6(-1,0),8(2,0),

由題意，直線8的斜率不為0,

設(shè)直線CD的方程為x=my-\,

代入橢圓E的方程三十亡=1,

43

整理得(3加+4)/-6〃“一9=0.

設(shè)。(占，%),

6m9個

則M+%=y藐F②

3m2+4

直線Bc：y=3(i).

令x=4得N-4,淮、

l加X-3J

同理可得M-4,*、，

Imy2-3)

所以以MN為直徑的圓的方程為

6y'

(x+4)(x+4)+y+=0,

%一3,Imy2-3)

BPx2+8x+16+y2++

囂一3)=°，③

6y?6%.12吵為78(X+%)_

由②得:=6m

myt-3my2-3^myt-3)(zny2-3)

36y乃=36-)，2=_(

(w>,-3)022-3)"2yly2-3僧(X+y?)+9

代入③得圓的方程為j?+8x+7+y?—6my=0.

若圓過定點(diǎn)，則)「n

x+8x+7=0

x——\fx=-7

解得n或n

y=0[y=o

所以以MN為直徑的圓恒過兩定點(diǎn)(-7,0),(-1,0).

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查求橢圓方程和根據(jù)直線與橢圓的為關(guān)系求圓過定點(diǎn)問題，解答

本題的關(guān)鍵是先求出點(diǎn)N,M坐標(biāo)，進(jìn)一步得出MN為直徑的圓的方程為

a+4)(x+4)+y+—上=0,再由韋達(dá)定理化簡方程，得出答案，

(啊1一3)(my2-3)

屬于中檔題.

(2)求范圍問題

22

4.已知雙曲線C：5-斗=1(。＞0力＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，虛軸上、

a~b

下兩個端點(diǎn)分別為B2,B、,右頂點(diǎn)為A,且雙曲線過點(diǎn)(3,6),

UUUUUUU

2

B2F2-B}A=ac-3a.

(i)求雙曲線a的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)以點(diǎn)”為圓心，半徑為2的圓為。2,已知過巴的兩條相互垂直的直線4，

明直線4與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn)，直線與圓g相交于M,N兩點(diǎn)，記

△PMN,AQMN的面積分別為S-邑，求$+S2的取值范圍.

【答案】(1)=1；(2)[12,”).

【分析】

uuuuiuuu/I—r-\23

⑴由與&印=公-3a2得3/=廿，由雙曲線過點(diǎn)(四,6)得/一方=1,兩個

方程聯(lián)立求出。和人可得雙曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線4：x^my+2,根據(jù)垂直關(guān)系得直線公尸-風(fēng)”2),求出弦長

|MN|和|PQ|,求出H+S2=g|MN||PQ|,再根據(jù)參數(shù)的范圍可求出結(jié)果.

【詳解