高職應(yīng)用數(shù)學(xué) 3

應(yīng)第3章一元函數(shù)微分學(xué)用數(shù)學(xué)高職本章內(nèi)容3高階導(dǎo)數(shù)4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5函數(shù)的微分及其應(yīng)用1導(dǎo)數(shù)的概念2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算3.1導(dǎo)數(shù)的概念01案例分析02導(dǎo)數(shù)的概念03求導(dǎo)數(shù)舉例04用導(dǎo)數(shù)表示實(shí)際量——變化率模型05函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系3.1.1案例分析引例自由落體的瞬時(shí)速度如圖3-1所示是著名的伽利略自由落體實(shí)驗(yàn)的場景。如果物體在真空中自由下落，則它的運(yùn)動(dòng)方程為圖3-1其中g(shù)為常量。試求物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v。我們知道，當(dāng)物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在任意時(shí)刻的速度可用公式來計(jì)算：分析但這里物體是變速直線運(yùn)動(dòng)，上式中的速度只能反映物體在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度，而不能精確地描述運(yùn)動(dòng)過程中任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。如圖3-2所示，給定時(shí)間變量t在t0時(shí)的一個(gè)增量，則在從時(shí)刻t0到這段時(shí)間間隔內(nèi)，物體運(yùn)動(dòng)路程的增量為圖3-2從而可以求得物體在時(shí)間段內(nèi)的平均速度為顯然，當(dāng)無限變小時(shí)，平均速度無限接近于物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度v。因此，平均速度的極限值就是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度v，即可定義可以看到，上述定義與物理學(xué)中自由落體的瞬時(shí)速度公式是一致的。3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0處及其左右近旁有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處有增量

時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量如果當(dāng)時(shí)，與之比的極限

存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱此極限值為在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或即（1）令，得導(dǎo)數(shù)的定義式還有下列兩種形式：（2）令，得若上式的極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0不可導(dǎo)（或?qū)?shù)不存在）。定義2如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)對(duì)任意一個(gè)，都有一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新函數(shù)，稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，即

也可記作3.1.3求導(dǎo)數(shù)舉例由導(dǎo)數(shù)定義可知，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：（1）求函數(shù)增量：；（2）計(jì)算比值：；（3）求極限：。例1求函數(shù)（c

為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。解

因?yàn)闉槌?shù)，所以即例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解

即也可以證明同理可以推出冪函數(shù)的求導(dǎo)公式（

α為任意實(shí)數(shù)）解

（1）例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）。（2）解

例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。即

同樣的方法可以求出同理，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，我們可推出如下公式：

.特別地，．．特別地，.

解

例5求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）。（1）（2）3.1.4用導(dǎo)數(shù)表示實(shí)際量——變化率模型設(shè)曲線在點(diǎn)處有切線且斜率存在，求曲線在點(diǎn)處的切線斜率。在曲線上另取一點(diǎn)N，設(shè)它的坐標(biāo)為

，如圖3-3所示。案例1切線的斜率圖3-3當(dāng)割線MN上的N點(diǎn)沿著曲線無限接近M點(diǎn)時(shí)，割線MN的極限位置稱為曲線在M點(diǎn)的切線。設(shè)割線MN

的傾角為，切線MT傾角為α，則割線MN斜率為顯然當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)N將沿著曲線趨近于M點(diǎn)時(shí)，割線MN趨近于極限位置MT（即切線MT）。于是得到切線MT的斜率為（1）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）過切點(diǎn)且與切線垂直的直線稱為曲線在點(diǎn)M處的法線。如果，法線斜率為，所以曲線在點(diǎn)

處的法線方程為

由直線的點(diǎn)斜式方程可以得到：解

例6求曲線在點(diǎn)處的切線斜率，并寫出該點(diǎn)處的切線方程和法線方程。由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，所求的切線斜率為從而所求的切線方程為即所求法線的斜率為于是所求的法線方程為

即由引例可知，若物體的運(yùn)動(dòng)方程為，則物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為案例2速度、加速度因?yàn)榧铀俣龋枋鏊俣茸兓目炻潭龋┦撬俣汝P(guān)于時(shí)間的變化率，物體在時(shí)刻t的加速度為案例3電流強(qiáng)度電路中電荷的定向移動(dòng)形成電流，通過導(dǎo)體橫截面的電荷量Q與所用時(shí)間t之比稱為電流強(qiáng)度，簡稱電流i。已知導(dǎo)體內(nèi)的電荷隨時(shí)間變化為

，那么在時(shí)間段的平均電流，時(shí)刻t的電流。3.1.5函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理如果函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則函數(shù)一定在點(diǎn)x0處連續(xù)。

證明

由于函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，所以根據(jù)函數(shù)的極限與無窮小的關(guān)系定理可知其中

，

所以于是當(dāng)時(shí)，有．所以，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．3.1.5函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系解

例7討論函數(shù)在處連續(xù)，但在處不可導(dǎo)。（1）因?yàn)楹瘮?shù)是初等函數(shù)，定義域?yàn)?，由初等函?shù)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)的定理，可知函數(shù)在處連續(xù)。（2）因?yàn)轱@然，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)不存在。從幾何圖形上可以直觀地看到：曲線

在原點(diǎn)O具有垂直于x軸的切線，如圖3-4所示。圖3-43.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算01導(dǎo)數(shù)的基本公式02導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則03復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.2.1導(dǎo)數(shù)的基本公式（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）。3.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則設(shè)和在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則，在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且有下列法則：（1）；（2）；（3）。（1）解

例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）。（2）（3）（4）解

例2設(shè)函數(shù)，求。即。這是正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。解

例3設(shè)函數(shù)，求。用類似的方法，還可以得到下列導(dǎo)數(shù)公式：3.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則如，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為或或記為本法則可推廣到有限次復(fù)合的情形：設(shè)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)

在x處也可導(dǎo)，并且解

例4設(shè)函數(shù)，求。是由復(fù)合而成的，因此解

例5設(shè)函數(shù)，求。是由復(fù)合而成的，因此解

例6設(shè)函數(shù)，求。解

例7設(shè)函數(shù)，求。解

例8設(shè)函數(shù)，求。3.3高階導(dǎo)數(shù)01高階導(dǎo)數(shù)的定義02高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算3.3.1高階導(dǎo)數(shù)的定義定義若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是的可導(dǎo)函數(shù)，則稱的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，記為；三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)，記為

階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，記作。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。3.3.1高階導(dǎo)數(shù)的定義解

例1設(shè)函數(shù)，求。解

例2設(shè)函數(shù)，求。解

例3設(shè)函數(shù)，求。解

例4設(shè)函數(shù)，求。解

例5設(shè)函數(shù)，求。依次類推，可得解

例6設(shè)一物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求物體在時(shí)刻的速度和加速度。物體在任意時(shí)刻t處的速度和加速度分別為所以3.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)01隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)02由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)03對(duì)數(shù)求導(dǎo)法3.4.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)用解析法表示函數(shù)通常有兩種不同的方式：一種是由的形式給出的自變量為x的函數(shù)y，稱為顯函數(shù)，如等均為顯函數(shù)；另一種是由方程的形式所確定的自變量為x的函數(shù)y，稱為隱函數(shù)。解

將方程的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，并注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，則y2是x的復(fù)合函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)基本公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得例1求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。即解出得解

將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得例2求由方程所確定的函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)。即解出得由原方程知，當(dāng)時(shí)，。所以

y

在處的導(dǎo)數(shù)為由以上兩例可以得出求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法：求由方程所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)時(shí)，將方程的兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，y的函數(shù)則是x的復(fù)合函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)基本公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，解出，就得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解

將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，橢圓在點(diǎn)處的切線斜率和法線斜率分別為例3求橢圓在點(diǎn)處的切線方程和法線方程。切線方程為法線方程為解

方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得例4設(shè)，求。解得解

方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得例5求由方程所確定的隱函數(shù)y

的二階導(dǎo)數(shù)。上式兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得解得二階導(dǎo)數(shù)為將x代入上式，整理得3.4.2由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，有解

例6求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)。因?yàn)椤Ｋ越?/p>

例7求擺線在時(shí)曲線上的點(diǎn)的切線方程。點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)為當(dāng)時(shí)，擺線上的點(diǎn)為，因此故擺線在點(diǎn)P處的切線方程為即3.4.3對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)等式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得解

例8求的導(dǎo)數(shù)。兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得所以解

例9求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。將等式兩邊取自然對(duì)數(shù)得將上式兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得于是3.5函數(shù)的微分及其應(yīng)用01微分的概念02微分的幾何意義03微分的運(yùn)算04微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用3.5.1微分的概念先看一個(gè)例子：如圖3-5所示，一塊正方形的金屬薄片，當(dāng)受熱膨脹后，邊長由x0變到。問此薄片的面積A增加了多少？圖3-5由于正方形的面積A是邊長x0的函數(shù)，面積的增量為從圖3-5可以看出，當(dāng)很小時(shí)，面積的增量可以用近似表示，其中，所以有一般地，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)自變量從x0

變到時(shí)，函數(shù)的增量可表示為第一項(xiàng)中是不依賴的常數(shù)，第二項(xiàng)是比高階的無窮小。因此，當(dāng)很小時(shí)，的近似值表示為稱為的線性主部，由此給出微分的定義。通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作dx，即。則函數(shù)

在點(diǎn)x0處的微分可寫成（或0）定義如果函數(shù)在點(diǎn)x0具有導(dǎo)數(shù)，則稱為在點(diǎn)x0的微分，記作dy，即。當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)x0處有微分時(shí)，稱函數(shù)在點(diǎn)x0處可微。一般地，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x的微分稱為函數(shù)的微分，記作dy，即由，得導(dǎo)數(shù)也稱微商。解

例1求在點(diǎn)時(shí)函數(shù)y的改變量及微分dy。而，即解

例2設(shè)，求dy。3.5.2微分的幾何意義如圖3-6所示，點(diǎn)和是曲線上鄰近的兩點(diǎn)。PT為曲線在點(diǎn)P處的切線，其傾斜角為α

。容易得到，這就是說函數(shù)在點(diǎn)x0處的微分，在幾何上表示曲線在點(diǎn)處切線PT的縱坐標(biāo)的增量RT。圖3-6在圖3-6中，表示與dy之差，當(dāng)很小時(shí)，TQ與RT相比是微不足道的，因此，RT可用TQ近似代替。這就是說，當(dāng)很小時(shí)，有

。如圖3-6所示，當(dāng)是曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)增量時(shí)，dy就是曲線的切線上點(diǎn)縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。當(dāng)很小時(shí)，比小得多，即因此在點(diǎn)P的附近，可以用切線段來近似代替曲線段，即3.5.3微分的運(yùn)算（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）（12）；（13）；（14）；（15）；（16）。1．微分的基本公式2．函數(shù)和、差、積、商的微分法則設(shè)u，v都是x的可微函數(shù)，C為常數(shù)，則（1）；（2）；（3）；（4）。3．微分形式的不變性由微分的定義知，當(dāng)u是自變量時(shí)，函數(shù)的微分是如果u不是自變量而是x的可微函數(shù)，那么對(duì)于復(fù)合函數(shù)，根據(jù)微分的定義和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有其中，所以上式仍可寫成由此可見，不論u是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分總是同一個(gè)形式：，此性質(zhì)稱為微分形式的不變性。例3設(shè)函數(shù)，求dy。解

方法1直接應(yīng)用微分公式計(jì)算，則有方法2把看成中間變量u，則有例4求函數(shù)的微分dy。解

3.5.4微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1．計(jì)算函數(shù)增量的近似值函數(shù)微分是函數(shù)增量的線性主部，這就是說，當(dāng)很小時(shí)，函數(shù)的增量可用其微分來近似代替，即（3-1）當(dāng)很小時(shí)，可得例5半徑為10cm的金屬圓片加熱后，半徑伸長了0.05cm，問