高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)知識點(diǎn)總結(jié) 直線與方程

高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)知識點(diǎn)總結(jié)直線與方程易錯(cuò)點(diǎn)1：忽略90°傾斜角的特殊情形例1：求經(jīng)過點(diǎn)A(m，3)和B(1，2)的直線的斜率，并指出傾斜角α的取值范圍。【錯(cuò)誤解法】根據(jù)斜率公式，直線AB的斜率k為：k=(3-2)/(m-1)①當(dāng)m>1時(shí)，k>0，因此直線的傾斜角α的取值范圍是0°<α<90°；②當(dāng)m<1時(shí)，k<0，因此直線的傾斜角α的取值范圍是90°<α<180°。【錯(cuò)誤原因分析】當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對研究對象進(jìn)行分類討論，然后對每一類分別研究，得出每一類結(jié)果，最終解決整個(gè)問題。本題的討論分兩個(gè)層次：第一個(gè)層次是討論斜率是否存在；第二個(gè)層次是討論斜率的正、負(fù)。也可以分為m=1，m>1，m<1三種情況進(jìn)行討論?！緟⒖即鸢浮吭斠娫囶}解析。易錯(cuò)點(diǎn)2：忽略斜率不存在的特殊情形例2：已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3，a)和B(a-2，3-a)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)C(2，3)和D(-1，a-5)，若l1⊥l2，求a的值?！惧e(cuò)誤解法】由l1⊥l2?k1·k2=-1，所以a=0.k2=(3-a-3)/(a-2+1)=(a-6)/(a-1)，k1不存在?！惧e(cuò)誤原因分析】只有在兩條直線斜率都存在的情況下，才有l(wèi)1⊥l2?k1·k2=-1，還有一條直線斜率為0，另一條直線斜率不存在的情況也要考慮?！驹囶}解析】由題意知l2的斜率一定存在，則l2的斜率可能為0，下面對a進(jìn)行討論。當(dāng)k2=0時(shí)，a=5，此時(shí)k1不存在；當(dāng)k2≠0時(shí)，由k1·k2=-1可得a=4或a=-2。因此，a的取值為4、-2或5。2.由兩條直線平行或垂直求參數(shù)的值：在解這類問題時(shí)，需要先考慮斜率不存在的可能性，是否需要分情況討論；解題后，需要檢驗(yàn)答案的正確性，看是否出現(xiàn)增解或漏解。3.兩條直線的位置關(guān)系可以通過斜截式或一般式來表示。當(dāng)兩條直線相交時(shí)，它們的斜率不相等；當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，它們的斜率乘積為-1；當(dāng)兩條直線平行時(shí)，它們的斜率相等且截距不相等；當(dāng)兩條直線重合時(shí)，它們的斜率和截距都相等。特別提醒：1.當(dāng)兩條直線平行時(shí)，需要考慮它們的斜率不存在時(shí)的情況。2.當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，需要考慮一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況。3.直線的一般式方程中，A和B不能同時(shí)為0，否則方程無意義。4.忽視截距為0的情形。例題：直線l1:(2m-5m+2)x-m-4y+5=0的斜率與直線l2:x-y+1=0的斜率相同，則m等于（C）解析：由題意，設(shè)直線l1的斜率為k，則k=(5m-2)/(2m-4)，直線l2的斜率為1。因?yàn)閗=1，所以5m-2=2m-4，解得m=3。注意，當(dāng)m=2時(shí)，直線l1的斜率不存在，需要特判。:x2+y2=4，求m的取值范圍使得兩圓有公共點(diǎn)但不相切．【解析】如圖所示，在坐標(biāo)系內(nèi)作出圓C1和圓C2，其中圓C2半徑為2，圓心為原點(diǎn)O(0,0)．由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，圓C1的圓心坐標(biāo)為(2m,-4)，半徑長為r1=√(m2+16)．為了使兩圓有公共點(diǎn)，但不相切，需要滿足以下兩個(gè)條件：（1）兩圓的圓心距d＜r1＋r2；（2）兩圓的圓心距d＞|r1?r2|.根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心距公式為：d=√[(2m)2+(4-y)2]，其中y為圓C1圓心的縱坐標(biāo).代入條件(1)和(2)可得：√[(2m)2+(4-y)2]<√(m2+16)+2√[(2m)2+(4-y)2]>|√(m2+16)?2|化簡得：(2m-3)2+y2<5+m2(2m+1)2+y2>1+m2由第二個(gè)不等式可得：y2>(1+m2)-(2m+1)2化簡得：y2>(1-m)2-4m根據(jù)圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，圓C1的圓心在直線y=-x+5/2上，即圓C1的圓心在圓C2的下方．因此，y<0.將y<0代入上式，得：(1-m)2-4m<0m2-6m+1>0(m-3+2√2)(m-3-2√2)<0解得：2-2√2<m<3+2√2.【答案】2-2√2<m<3+2√2.當(dāng)圓心到點(diǎn)(3,1)的距離等于半徑1時(shí)，點(diǎn)(3,1)在圓上，即切點(diǎn)為A。設(shè)切線斜率為k，則由圓心到切線的距離等于半徑1可得：$\frac{|k\times1-1\times0+3\times1-1\times1|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，解得$k=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}$。所以切線方程為$y-1=\frac{2}{\sqrt{5}}(x-3)$或$y-1=-\frac{2}{\sqrt{5}}(x-3)$，化簡得$2x+y-3=0$。因?yàn)榍芯€方程唯一，所以直線AB的方程即為所求切線方程。:a2xay20，圓C:x2y21，若直線l1與圓C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與圓C交于C、D兩點(diǎn)，且ABCD，則a的值為（）A．1B．1C．2D．2【答案】B【解析】由題意可知，圓C的圓心在直線l1與l2的交點(diǎn)O處，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則l1:axa2y20，l2:a2xay20，圓C:x2y21，代入求解可得a＝1.【注意】在代入求解時(shí)，可以先將l1和l2的交點(diǎn)O設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，這樣可以簡化計(jì)算，避免出現(xiàn)繁瑣的系數(shù)計(jì)算。1.若$l_1\parallell_2$，則實(shí)數(shù)$a=-1$。解析：根據(jù)題意，由于$l_1\parallell_2$，所以它們的方向向量平行，即$\begin{pmatrix}1\\a\end{pmatrix}\parallel\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$。因此，$\frac{1}{2}=\frac{a}{1}$，解得$a=-1$。2.在平面直角坐標(biāo)系$xOy$中，已知$A(-12,0)$，$B(0,6)$，點(diǎn)$P$在圓$O:x^2+y^2=50$上，且$PA\cdotPB\leq20$，則點(diǎn)$P$的橫坐標(biāo)的取值范圍是$[-5\sqrt2,1]$。解析：由于$P$在圓$O$上，所以設(shè)$P$的坐標(biāo)為$(x,y)$，則有$x^2+y^2=50$。又因?yàn)?PA\cdotPB\leq20$，所以$PA^2\cdotPB^2\leq400$，即$(x+12)^2+y^2\cdotx^2+(y-6)^2\leq400$。將$x^2+y^2=50$代入上式，整理得$-5\sqrt2\leqx\leq1$。3.已知拋物線$C:y^2=2x$，過點(diǎn)$(2,0)$的直線$l$與$C$相交于$A$、$B$兩點(diǎn)，圓$M$是以線段$AB$為直徑的圓。（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)$O$在圓$M$上；（2）設(shè)圓$M$過點(diǎn)$P(4,-2)$，求直線$l$與圓$M$的方程。解析：（1）設(shè)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則直線$l$的方程為$x=my+2$。由于$A$、$B$在拋物線$C$上，所以有$y_1^2=2x_1$，$y_2^2=2x_2$。將直線$l$的方程代入拋物線$C$的方程，得到$y^2-2my-4=(y-y_1)(y-y_2)$。因?yàn)?A$、$B$在直線$l$上，所以$y_1=my_1+2$，$y_2=my_2+2$。代入上式，得到$y_1y_2=-4$。因此，$x_1x_2=4$。又因?yàn)?P$在圓$M$上，所以$OP=OA=OB$，即$P$在以$O$為圓心、$AB$為直徑的圓上。因此，$OP=\frac{1}{2}(AB)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=2\sqrt2$。又因?yàn)?P$在直線$l$上，所以$4=2m-2$，解得$m=3$。因此，直線$l$的方程為$x-3y+6=0$。將$O$的坐標(biāo)$(0,0)$代入圓$M$的方程$x^2+y^2-2x-2y-5=0$，得到$OM^2=5$。又因?yàn)?OP=\sqrt{OM^2-PM^2}=2\sqrt2$，所以$PM^2=8$。因此，圓$M$的方程為$(x-3)^2+(y-1)^2=10$或$9x^2+16y^2-18x+8y-85=0$。（2）由于$P$在直線$