江西省上饒市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題

上饒市2022—2023學(xué)年度下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測試高二數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求集合A，再根據(jù)并集計算即可.【詳解】解不等式，即，而，所以.故答案為：A2.在等比數(shù)列中，，則“”是“數(shù)列的公比為2”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，必要不充分條件的定義判斷即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，得，則；由，，得．故“”是“數(shù)列的公比為”的必要不充分條件．故選：B3.數(shù)學(xué)與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián)，我們平時聽到的樂音一般來說并不是純音，而是由多種波疊加而成的復(fù)合音．如圖為某段樂音的圖像，則該段樂音對應(yīng)的函數(shù)解析式可以為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由圖像可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，得出A，B為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像中，判斷出A對，B錯；由圖像得，判斷出C，D錯誤，即可得出答案．【詳解】對于A，函數(shù)，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，故A正確；對于B，函數(shù)，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，故B錯誤；對于C，函數(shù)，因為，故C錯誤；對于D，函數(shù)，，故D錯誤，故選：A．4.已知，為圓上兩個不同點（為圓心），且滿足，則（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用數(shù)量積的運算律求解作答.【詳解】依題意，，由，得，解得，所以.故選：C5.若函數(shù)在處有極值10，則（）A. B.0 C.7 D.0或7【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合已知，求出a，b并驗證作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，解得或，當時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，當時，，當時，，時，，于是是函數(shù)的極值點，符合題意，所以.故選：C6.若函數(shù)在上存在兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，零點問題轉(zhuǎn)化為在上存在兩個交點，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合.【詳解】令，則在上存在兩個交點，令，則，當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，此時單調(diào)遞增；所以，又，與的圖象如圖所示：所以，故選：B.7.已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.為等比數(shù)列C. D.【答案】C【解析】【分析】利用遞推式可求得的值，可判斷A，B，利用并項求和法結(jié)合等比數(shù)列的求和公式判斷C，D.【詳解】數(shù)列滿足，，則，，，有，，，A錯誤；顯然，，因此數(shù)列不是等比數(shù)列，B錯誤；，C正確；，D錯誤.故選：C8.已知實數(shù)：，，，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性比較的大小作答.【詳解】由，得，令，則，當時，，當時，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，因此，即，又，所以．故選：D【點睛】思路點睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分有選錯的得0分．9.已知直線與曲線相切，則下列直線中可能與垂直的是（）A B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】求導(dǎo)，利用基本不等式可得導(dǎo)數(shù)范圍，然后可得垂線斜率范圍，進而可得答案.【詳解】的定義域為，，即直線的斜率，設(shè)與垂直直線的斜率為，則，所以，．故選：AB．10.已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（）A.若，，則B.若，，則C.若，則數(shù)列是等比數(shù)列D.若，則數(shù)列前5項的和最大【答案】BD【解析】【分析】直接利用累加法可判斷選項A項；利用累乘法可判斷B項；利用與的關(guān)系可求得通項公式即可判斷C項；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷D項.【詳解】對于選項A，由，得，則，故A項錯誤；選項B.由，則，累乘可得故，故B正確；對于選項C，因為，當時，，當時，，將代入，得，所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C項錯誤.對于D，，則為首項為9，公差為的等差數(shù)列，令，解得，又因為，則，則數(shù)列的前5項均為正數(shù)，且第6項開始為負數(shù)，則數(shù)列前5項的和最大.故選：BD.11.已知是函數(shù)的零點（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)零點存在性定理即可判斷A，利用對數(shù)運算即可判斷B，利用對勾函數(shù)性質(zhì)即可判斷C，利用指數(shù)函數(shù)值域即可判斷D.【詳解】對于A，函數(shù)為增函數(shù)，則有，則其零點，A正確；對于B，是方程的零點，則，變形可得，兩邊同時取對數(shù)可得，B正確；對于C，是函數(shù)的零點，則，則，故，又由，則，根據(jù)對勾函數(shù)圖象與性質(zhì)知，則，故C錯誤，對于D，,則,則，正確.故選：ABD.12.已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.的取值范圍是 B.的取值范圍是C.的最小值是 D.的最小值為【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式構(gòu)造一元二次不等式即可判斷A,B；利用多變量變單變量即可判斷CD.【詳解】對于A，因為，所以，當且僅當時取等號由，即，解得，即，A正確；對于，由，當且僅當時取等號，得，所以，又所以，即，故B錯誤；對C選項，因為，則，得，結(jié)合，則，所以，當且僅當，即時等號成立，C正確；對于D選項知:，當且僅當時，即，但由于，因此等號不成立，故D不正確.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用整體的思想利用基本不等式構(gòu)造一元二次不等式從而判斷AB，再利用多變量統(tǒng)一為單變量的方法來判斷CD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為，貨車中途停車修理的概率為，客車為.今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)“中途停車修理”為事件，“經(jīng)過的是貨車”為事件，“經(jīng)過的是客車”為事件，則，然后代入貝葉斯公式計算.【詳解】設(shè)“中途停車修理”為事件，“經(jīng)過的是貨車”為事件，“經(jīng)過的是客車”為事件，則，，，，，由貝葉斯公式有.故答案為：14.已知定義域為的奇函數(shù)則的值為__________．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱求出，再根據(jù)奇函數(shù)的定義求出b即可作答.【詳解】因為函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，則有，解得，，解得，所以.故答案為：015.已知函數(shù)，，且，則的最小值為__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，用含m的式子表示n，再構(gòu)造函數(shù)并求出最小值作答.【詳解】函數(shù)，，且，則，于是，令，求導(dǎo)得，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，于是，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故答案為：16.定義：滿足下列兩個條件的有窮數(shù)列，，…，為階“期待數(shù)列”．①，②．試寫出一個3階“期待數(shù)列”__________；若2023階“期待數(shù)列”是遞增的等差數(shù)列，則__________．【答案】①.（答案不唯一）②.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，直接寫出一個3階“期待數(shù)列”即可；利用等差數(shù)列性質(zhì)結(jié)合條件①求出，再由條件②及前n項和公式求出作答.【詳解】符合條件的一個3階“期待數(shù)列”為：；，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則，即，又數(shù)列遞增，且，則，即，所以.故答案為：；【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在直三棱柱中，，為棱上靠近點的三等分點，，．（1）證明：；（2）求平面與平面所成角余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理作答.（2）根據(jù)給定的幾何體建立空間直角坐標系，利用空間向量求解作答.【小問1詳解】在直三棱柱中，平面平面，則，又平面，因此平面平面，所以.【小問2詳解】依題意，平面，分別以所在直線為軸,軸,軸，建立空間直角坐標系，因為為棱上靠近點的三等分點，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，顯然平面的一個法向量為，平面與平面所成角為，，所以平面與平面所成角的余弦值為.18.已知數(shù)列，若__________．從下列三個條件中任選一個補充在上面的橫線上，然后對題目進行求解．①；②，，（，）；③，點，在斜率是2的直線上．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）選①，利用與的關(guān)系求解通項公式；選②，判斷等差數(shù)列，再求出通項公式；選③，利用斜率坐標公式，結(jié)合等差數(shù)列定義求出通項公式作答.（2）利用錯位相減法求和作答.【小問1詳解】若選①，由，當時，，兩式相減可得：，當時，，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式.若選②，由得：數(shù)列為等差數(shù)列，又因為，則公差，于是，數(shù)列的通項公式.若選③，由點在斜率是2的直線上得:，即，因此數(shù)列為等差數(shù)列，，所以數(shù)列的通項公式.【小問2詳解】由（1）知，，，則有，兩式相減得：，所以.19.已知函數(shù)．（1）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有2個不同的實數(shù)解，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，若，對總有成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由方程解的意義，求出曲線與直線在區(qū)間上恰有2個交點的取值范圍作答.（2）由（1）的信息，再求出函數(shù)在上的最小值推理作答.【小問1詳解】函數(shù)，由得，依題意，曲線與直線在區(qū)間上恰有2個交點，，當時,，當時,，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，取最小值，最小值為，，又，所以.【小問2詳解】由總有成立知，函數(shù)在上的最小值不大于函數(shù)在上的最小值,即，由（1）知，在區(qū)間上，，當時，，當時，，當時，，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，于是，則有，即，所以的取值范圍是.20.今年五一假期，上饒市游客接待再創(chuàng)歷史新高，突破千萬人次．三清山、婺源、龜峰、靈山、望仙谷等各景區(qū)紛紛推出了精彩紛呈的節(jié)目內(nèi)容，各地游客歡聚上饒“打卡”，感受大美上饒自在山水的魅力．上饒市某中學(xué)一綜合實踐研究小組為了解上饒市民每年旅游消費支出費用（單位：千元），五一期間對游覽靈山的100名上饒市游客進行隨機問卷調(diào)查，并把數(shù)據(jù)整理成如下表所示的頻數(shù)分布表：組別頻數(shù)34811412085（1）從樣本中隨機抽取兩位市民的旅游支出數(shù)據(jù)，求兩人旅游支出均不低于1萬元的概率；（2）若上饒市民的旅游支出費用近似服從正態(tài)分布，近似為樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表），近似為樣本標準差，并已求得，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：（?。┥橡埵谐Ｗ∪丝诩s為640萬人，試估計上饒市有多少市民每年旅游費用支出在15000元以上；（ⅱ）若在上饒市隨機抽取3位市民，設(shè)其中旅游費用在9000元以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和均值．附：若，則，，．【答案】（1）；（2）（ⅰ）萬；（ⅱ）分布列見解析；均值為.【解析】【分析】（1）利用組合結(jié)合古典概率求解作答.（2）（i）利用頻率分布表求出期望，再利用正態(tài)分布估計作答；（ii）利用二項分布求出分布列及期望作答.【小問1詳解】從頻率分布表知，旅游支出不低于1萬元的有33人，從樣本中隨機抽取兩位市民的旅游支出數(shù)據(jù)，兩人旅游支出均不低于1萬元的概率為.【小問2詳解】（i）依題意，，因此服從正態(tài)分布，，則(萬)，所以估計上饒市有萬市民每年旅游費用支出在15000元上.（ii）由（i）知，，則，于是，因此，，所以隨機變量的分布列為：0123均值為.21.已知橢圓（，）的離心率為，左、右焦點分別為，，為的上頂點，且的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點、．求證：為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可作答.（2）直線的斜率存在時，設(shè)出其方程并與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達定理推理計算，再驗證斜率不存在的情況作答.【小問1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，因為的周長為，則，橢圓的離心率為，則，解得，則，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，直線，與橢圓方程聯(lián)立解得，則，當直線的斜率存在時，設(shè)直線，由消去y并整理得：，顯然點在橢圓內(nèi)，即直線與必交于兩點，有，又直線與圓相切，即，即得，顯然，即有，因此，所以為定值.【點睛】方法點睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．22.已知函數(shù)．（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）若，當時，證明：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1