極限及其性質(zhì)課件

14多重積分

MultipleIntegration14多重積分MultipleIntegr14.1逐次積分和平面上的面積14.2重積分和體積14.3積分變數(shù)變換：極坐標(biāo)14.4質(zhì)心和慣性矩14.5曲面面積14.6三重積分14.1逐次積分和平面上的面積14.1逐次積分和平面上的面積(Iteratedintegrals)P.615Ch14多重積分計(jì)算。解

x看成常數(shù)，對y積分得到例1

對

y

積分14.1逐次積分和平面上的面積(Iteratedinte例2

積分的積分計(jì)算。解利用例1的結(jié)果，得到P.615Ch14多重積分例2積分的積分計(jì)算。逐次積分(Iteratedintegrals)

內(nèi)層的積分上、下限可以是外層的積分變數(shù)的函數(shù)，但是，外層積分的上、下限卻必須是（相對於兩層積分的變數(shù)而言）常數(shù)。內(nèi)層積分完畢後，我們得到一個(gè)以前學(xué)過的「標(biāo)準(zhǔn)」定積分（見第4章），第二次積分會(huì)得出一個(gè)實(shí)數(shù)。一個(gè)逐次積分的上、下限事實(shí)上給出了相關(guān)變數(shù)的兩組閉區(qū)間，以例2為例，外層積分的上、下限說明x要在區(qū)間1≤x≤2之中；而內(nèi)層積分的上、下限則說明y要在1≤y≤x這個(gè)區(qū)間之中。這兩個(gè)聯(lián)立不等式?jīng)Q定了這個(gè)逐次積分的積分區(qū)域R，如圖14.1所示。P.615Ch14多重積分逐次積分(Iteratedintegrals) 內(nèi)層的積分圖14.1

的積分區(qū)域。P.615Ch14多重積分圖14.1的積分區(qū)域。P.6平面區(qū)域的面積(Areaofaplaneregion)1.如果R由聯(lián)立不等式a≤x≤b和g1(x)≤y≤g2(x)定義，式中g(shù)1

和g2

是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則R的面積等於下列定積分2.如果R由聯(lián)立不等式c≤y≤d和h1(y)≤x≤h2(y)定義，式中h1

和h2

是[c,d]上的連續(xù)函數(shù)，則R的面積等於下列定積分P.616Ch14多重積分平面區(qū)域的面積(AreaofaplaneregionP.616Ch14多重積分圖14.2

鉛直單純區(qū)域。P.616Ch14多重積分圖14.2鉛直單純區(qū)域。P.616Ch14多重積分圖14.3

水平單純區(qū)域。P.616Ch14多重積分圖14.3水平單純區(qū)域。例3

長方形區(qū)域的面積以逐次積分表圖14.4中長方形的面積。解圖14.4中的區(qū)域既是鉛直單純形又是水平單純形，所以積分的順序可以任意，我們選擇dydx而得到下式注意到這個(gè)結(jié)果與熟知的長方形面積公式是一樣的。P.617Ch14多重積分例3長方形區(qū)域的面積以逐次積分表圖14.4中長方形的P.617Ch14多重積分圖14.4

P.617Ch14多重積分圖14.4例4

以逐次積分求面積以逐次積分求以下列圖形為界的區(qū)域面積。

f(x)=sinxg(x)=cosxx=π/4和x=5π/4。解由於f和g都是x的函數(shù)，考慮鉛直的樣本長方形較方便，故選擇積分的順序?yàn)閐ydx，如圖14.5所示。外層積分的上下限是π/4≤x≤5π/4，並且由於小長方形的上界是f(x)=sinx，下界是g(x)=cosx，因此得到P.617Ch14多重積分例4以逐次積分求面積以逐次積分求以下列圖形為界的區(qū)域面P.617Ch14多重積分圖14.5

P.617Ch14多重積分圖14.5例5

比較不同順序的積分P.618Ch14多重積分描繪面積是的積分區(qū)域，並以不同順序各積一次來比較結(jié)果。解由內(nèi)、外層積分上、下限可看出區(qū)域R由聯(lián)立不等式y(tǒng)2≤x≤4，0≤y≤2所定義，如圖14.6(a)所示。積分值是若要將積分的順序改成dydx，先在區(qū)域上架一個(gè)鉛直的長方形樣本，如圖14.6(b)所示。例5比較不同順序的積分P.618Ch14多重積分描繪例5（續(xù)）從圖可以看出外層積分的上、下限是由x的常數(shù)不等式0≤x≤4決定。再以x解方程式x=

y2，可以看出內(nèi)層的上、下限是由y的（x變數(shù)）不等式0≤y≤決定。所以，此區(qū)域的面積也可以下列積分計(jì)算計(jì)算過程如下：我們得到相同的答案16/3。P.618Ch14多重積分例5（續(xù)）從圖可以看出外層積分的上、下限是由x的常數(shù)不圖14.6

P.618Ch14多重積分圖14.6P.618Ch14多重積分例6

以兩個(gè)逐次積分計(jì)算面積P.619Ch14多重積分區(qū)域R在拋物線

y=4x–x2

之下，x軸和直線

y=–3x+6之上，求區(qū)域R的面積，見圖14.7。解先將R分成R1

和R2

兩個(gè)子區(qū)域。在子區(qū)域上，各架一個(gè)鉛直的樣本長方形來決定內(nèi)層積分的上、下限，結(jié)果如下