38.新定義型問題B

新定義型問題一、選擇題1．對于實(shí)數(shù)a，b，我們定義符號max{a，b}的意義為：當(dāng)a≥b時(shí)，max{a，b}=a；當(dāng)a＜b時(shí)，max{a，b]=b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若關(guān)于x的函數(shù)為y=max{x+3，﹣x+1}，則該函數(shù)的最小值是（）A．0 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】分段函數(shù)．【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1兩種情況進(jìn)行討論計(jì)算，【解答】解：當(dāng)x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1時(shí)，y=x+3，∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，ymin=2，當(dāng)x+3＜﹣x+1，即：x＜﹣1時(shí)，y=﹣x+1，∵x＜﹣1，∴﹣x＞1，∴﹣x+1＞2，∴y＞2，∴ymin=2，故選B2．(2016上海，5，4分)已知在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分線，點(diǎn)D在邊BC上，設(shè)，，那么向量用向量、表示為()A．＋B．－C．－＋D．－－【答案】A；12.(2016山東濰坊，12，3分)運(yùn)行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)果是否＞95”為一次程序操作.如果程序操作進(jìn)行了三次才停止，那么x的取值范圍是()A.x≥11B.11≤x＜23C.11＜x≤23D.x≤23答案：解：由題意得：，解得：11＜x≤23，故選C.3.（2016浙江杭州，10,3分）設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，定義@的一種運(yùn)算如下：則下列結(jié)論：=1\*GB3①若，則或=2\*GB3②=3\*GB3③不存在實(shí)數(shù)a，b，滿足=4\*GB3④設(shè)a，b是矩形的長和寬，若矩形的周長固定，則當(dāng)a=b時(shí),最大.其中正確的是.A.②③=4\*GB3④B.①③=4\*GB3④C.①②=4\*GB3④D.①②③【答案】C4.（2016廣東深圳，10，3分）給出一種運(yùn)算：對于函數(shù)，規(guī)定。例如：若函數(shù)，則有。已知函數(shù)，則方程的解是（）A.B. C.D.【答案】B5.（2016湖南永州，12，4分）我們根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，得出了一種新的運(yùn)算，如表是兩種運(yùn)算對應(yīng)關(guān)系的一組實(shí)例：指數(shù)運(yùn)算21=222=423=8…31=332=933=27…新運(yùn)算log22=1log24=2log28=3…log33=1log39=2log327=3…根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個(gè)式子：①log216=4，②log525=5，③log2=﹣1．其中正確的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算和新的運(yùn)算法則得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律運(yùn)算可得結(jié)論．【解答】解：①因?yàn)?4=16，所以此選項(xiàng)正確；②因?yàn)?5=3125≠25，所以此選項(xiàng)錯(cuò)誤；③因?yàn)?﹣1=，所以此選項(xiàng)正確；故選B．6．（2016廣東梅州，7，3分）對于實(shí)數(shù)、，定義一種新運(yùn)算“”為：，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：．則方程的解是A．B． C． D．【答案】B二、填空題7．（2016四川宜賓，15，3分）規(guī)定：logab（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之間的一種運(yùn)算．現(xiàn)有如下的運(yùn)算法則：lognan=n．logNM=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．例如：log223=3，log25=，則log1001000=．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【分析】先根據(jù)logNM=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）將所求式子化成以10為底的對數(shù)形式，再利用公式進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：log1001000===．故答案為：．8.（2016北京，15，3分）百子回歸圖是由1，2，3…，100無重復(fù)排列而成的正方形數(shù)表，它是一部數(shù)化的澳門簡史，如：中央四位“19991220”標(biāo)示澳門回歸日期，最后一行中間兩位“2350”標(biāo)示澳門面積，……，同時(shí)它也是十階幻方，其每行10個(gè)數(shù)之和、每列10個(gè)數(shù)之和、每條對角線10個(gè)數(shù)之和均相等，則這個(gè)和為。答案：505考點(diǎn)：考查學(xué)生的閱讀能力，應(yīng)用知識解決問題的能力。解析：1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（50＋51）＝5050，共10行，每一行的10個(gè)數(shù)之和相等，所以，每一行數(shù)字之和為：＝505。9．（2016?四川樂山，16，3分）高斯函數(shù)[x]，也稱為取整函數(shù)，即[x]表示不超過x的最大整數(shù)．例如：[2.3]=2，[﹣1.5]=﹣2．則下列結(jié)論：①[﹣2.1]+[1]=﹣2；②[x]+[﹣x]=0；③若[x+1]=3，則x的取值范圍是2≤x＜3；④當(dāng)﹣1≤x＜1時(shí)，[x+1]+[﹣x+1]的值為0、1、2．其中正確的結(jié)論有①③（寫出所有正確結(jié)論的序號）．【分析】根據(jù)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，即可解答．【解答】解：①[﹣2.1]+[1]=﹣3+1=﹣2，正確；②[x]+[﹣x]=0，錯(cuò)誤，例如：[2.5]=2，[﹣2.5]=﹣3，2+（﹣3）≠0；③若[x+1]=3，則x的取值范圍是2≤x＜3，正確；④當(dāng)﹣1≤x＜1時(shí)，0≤x+1＜2，﹣1＜﹣x+1≤1，[x+1]+[﹣x+1]的值為2，故錯(cuò)誤．故答案為：①③．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是明確[x]表示不超過x的最大整數(shù)．三、解答題29.（2016北京，29，8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（QUOTE點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（QUOTE），且QUOTE，QUOTE某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)P,Q的“相關(guān)矩形”。下圖為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”的示意圖。（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）求點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積；②點(diǎn)C在直線x=3上，若點(diǎn)A,C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的表達(dá)式；（2）QUOTE的半徑為QUOTE，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,3）。若在QUOTE上存在一點(diǎn)N，使得點(diǎn)M,N的“相關(guān)矩形”為正方形，求m的取值范圍?？键c(diǎn)：一次函數(shù)，函數(shù)圖象，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。解析：（1）解：①Q(mào)UOTE；②C的坐標(biāo)可以為(3,2)或者(3,-2)，設(shè)AC的表達(dá)式為QUOTE,將A、C分別代入AC的表達(dá)式得到QUOTE或QUOTE，解得QUOTE或QUOTE，則直線AC的表達(dá)式為QUOTE或QUOTE。（2）解：易得隨著m的變化，所有可能的點(diǎn)M都在直線y=3上；對于圓上任何一點(diǎn)N，符合條件的M和N必須在k=1或者-1的直線上，因此可以得到m的范圍為QUOTE或者QUOTE。23．（2015?浙江舟山，23，10分）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”（1）概念理解：請你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；（2）問題探究；如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點(diǎn)P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）應(yīng)用拓展；如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積．【分析】（1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示，根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線，得到兩對角相等，利用等角對等角得到兩對角相等，進(jìn)而確定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，由S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四邊形ACBD′面積；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，由S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四邊形ACBD′面積即可．【解答】解：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示：∵PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，設(shè)EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，過點(diǎn)D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴=，即=，解得：D′F=，∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，∴四邊形ECBD′是矩形，∴ED′=BC=3，在Rt△AED′中，根據(jù)勾股定理得：AE==，∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，則S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．【點(diǎn)評】此題屬于幾何變換綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線定理，等腰三角形性質(zhì)，以及矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．24.（2016隨州，24，10分）愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是ΔABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像ΔABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.【特例探究】如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4時(shí)，a=__________,b=____________;如圖2當(dāng)∠PAB=30°，c=2時(shí)，a=__________,b=____________;【歸納證明】請你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a、b、c三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論.【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，□ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE與E，AF與BE相交于點(diǎn)G，AD=3，AB=3，求AF的長.【答案】（1）圖（1）a=4b=4圖（2）a=b=（說明：該小題每錯(cuò)一空扣1分，扣完為止）……………………3分(2)a2+b2=5c2………………4分證明：連接MN∵AM，BN為中線∴MNAB∴ΔMPN∽ΔAPB∴設(shè)MP=x，NP=y。則AP=2x，BP=2y∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2即a2+b2=5c2………………6分（3）解法1易證ΔAGE≌ΔFGB(AAS)∴G為AF中點(diǎn)取AB的中點(diǎn)H，連接FH，并延長交DA的延長線于P點(diǎn)易證ΔAPH≌ΔBFH(AAS)∴AP=BFPE=CF=2BF即PECF∴四邊形CEPF為平行四邊形∴FP//CE又∵BE⊥CE∴FP⊥BE即FH⊥BG∴ΔABF為中垂三角形…………8分∴由（2）得AB2+AF2=5BF2∵AB=3，BF=1/3AD=∴9+AF2=5×()2∴AF=4……………10分解法2取CF的中點(diǎn)H，連接HE并延長與BA的延長線交于點(diǎn)P，連接AH∵AE//BH且AE=BH∴ΔPAE∽ΔPBH∴即BE、HA是ΔPBH的中線又∵AECH∴四邊形AHCE是平行四邊形∴HA//CE又∵BE⊥CE∴BE⊥HA即ΔPBH是中垂三角形………………8分∴由（2）得PB2+PF2=5BH2∵PB=2AB=6，BH=BC=2∴62+PH2=5×(2)2解得：PH=8∴AF=PH=4…………………………10分說明：如果考生的解法與本解答不同，若合理請酌情給分。25.（2016鎮(zhèn)江，25,7分）（本小題滿分7分）如圖1，一次函數(shù)y=kx－3(k≠0)的圖像與y軸交與點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖像交于點(diǎn)B（4，b）.(1)b=;k=;(2)點(diǎn)C是線段A、B上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)C且平行于y軸的直線l交這個(gè)反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)D，求△OCD面積的最大值；(3)將（2）中的面積取得最大值的△OCD沿射線AB方向平移一定的距離，得到△O′C′D′若點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)O′落在該反比例函數(shù)圖像上（如圖2），則點(diǎn)D′的坐標(biāo)是.答案：（1）b=1,k=1;…………（2分）(2)設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，m－3），0＜m＜4，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，），……………（3分）S△OCD=m（－m＋3），…………（4分）S△O