浙江省杭州市市下沙中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文測試題含解析

浙江省杭州市市下沙中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=2x+3y+1的最大值為(

)A．11 B．10 C．9 D．8.5參考答案：B【考點】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】首先做出可行域，將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，求z的最大值，只需求直線l：在y軸上截距最大即可．【解答】解：做出可行域如圖所示：將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，欲求z的最大值，只需求直線l：在y軸上的截距的最大值即可．作出直線l0：，將直線l0平行移動，得到一系列的平行直線當直線經(jīng)過點A時在y軸上的截距最大，此時z最大．由可求得A（3，1），將A點坐標代入z=2x+3y+1解得z的最大值為2×3+3×1+1=10故選B【點評】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形集合思想解題，屬基本題型的考查．2.數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.一個壇子里有編號為1，2，…，12的12個大小相同的球，其中1到6號球是紅球，其余的是黑球.若從中任取兩個球，則取到的都是紅球，且至少有1個球的號碼是偶數(shù)的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.已知，若∥，則的值為（

）A．1

B．－1

C．2

D．－2參考答案：B略5.（5分）（2011?朝陽區(qū)模擬）直線l過點（﹣4，0）且與圓（x+1）2+（y﹣2）2=25交于A、B兩點，如果|AB|=8，那么直線l的方程為（）A．5x+12y+20=0B．5x﹣12y+20=0或x+4=0C．5x﹣12y+20=0D．5x+12y+20=0或x+4=0參考答案：A【考點】：直線的一般式方程；直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】：計算題；分類討論．【分析】：當切線的斜率不存在時，求出直線l的方程，當斜率存在時，由弦心距、半弦長、半徑三者間的關(guān)系可得弦心距等于3，解出k值，即得直線l的方程．解：當切線的斜率不存在時，直線l的方程為

x+4=0，經(jīng)檢驗，此直線和圓相切，滿足條件．當切線的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為

y﹣0=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，則圓心（﹣1，2）到直線l的距離為

d==．再由

d2+=r2，得

=3，∴k=﹣，∴直線l的方程為

y﹣0=﹣（x+4），即

5x+12y+20=0．【點評】：本題考查直線方程的點斜式，點到直線的距離公式的應(yīng)用，以及弦心距、半弦長、半徑三者間的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．6.已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是(

) A.B.C.D.參考答案：C7.設(shè)，則的值為（

）A.2 B.0 C.－1 D.1參考答案：C【分析】分別令和即可求得結(jié)果.【詳解】令，可得：令，可得：

本題正確選項：【點睛】本題考查二項展開式系數(shù)和的相關(guān)計算，關(guān)鍵是采用賦值的方式構(gòu)造出所求式子的形式.8.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4=18﹣a5，則S8=（）A．72 B．68 C．54 D．90參考答案：A【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】根據(jù)已知中a4=18﹣a5，我們易得a4+a5=18，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，我們易得S8=4（a1+a8），結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)“p+q=m+n時，ap+aq=am+an”即可得到答案．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，∵a4=18﹣a5，∴a4+a5=18，則S8=4（a1+a8）=4（a4+a5）=72故選：A9.已知全集，，則集合（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.拋物線的焦點坐標為（

）A.(－1,0) B.(1,0) C.(0,－1) D.(0,1)參考答案：B解：由拋物線方程的特點可知，拋物線的焦點位于軸正半軸，由，可得：，即焦點坐標為(1,0).本題選擇B選項.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是雙曲線的右焦點，若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為

．參考答案：12.曲線與曲線所圍成的區(qū)域的面積為__________.參考答案：【分析】聯(lián)立方程組求出積分的上限和下限，結(jié)合積分的幾何意義即可得到結(jié)論．【詳解】由曲線y＝x與y＝2-x2，得2-x2=x，解得x＝-2或x＝1，則根據(jù)積分的幾何意義可知所求的幾何面積（2x-）＝==；故答案為：．【點睛】本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13.如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，則橢圓C的離心率為

．參考答案：【考點】圓與圓錐曲線的綜合．【分析】本題考察的知識點是平面向量的數(shù)量積的運算，及橢圓的簡單性質(zhì)，由F1、F2是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，連接OQ，F(xiàn)1P后，我們易根據(jù)平面幾何的知識，根據(jù)切線的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)得到PF2⊥PF1，并由此得到橢圓C的離心率．【解答】解：連接OQ，F(xiàn)1P如下圖所示：則由切線的性質(zhì)，則OQ⊥PF2，又由點Q為線段PF2的中點，O為F1F2的中點∴OQ∥F1P∴PF2⊥PF1，故|PF2|=2a﹣2b，且|PF1|=2b，|F1F2|=2c，則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2得4c2=4b2+4（a2﹣2ab+b2）解得：b=a則c=故橢圓的離心率為：故答案為：．14.設(shè)是關(guān)于的方程的兩個根，則的值為▲

.參考答案：15.拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=90°，過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2||=a+b，由余弦定理可得||2=（a+b）2﹣3ab，進而根據(jù)基本不等式，求得||的取值范圍，從而得到本題答案【解答】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2||=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，||2=a2+b2﹣2abcos90°=a2+b2，配方得，||2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到||≥（a+b）．∴≤，即的最大值為．故答案為：【點評】本題在拋物線中，利用定義和余弦定理求的最大值，著重考查拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)、基本不等式求最值和余弦定理的應(yīng)用等知識，屬于中檔題．16.在中，角所對應(yīng)的邊分別為，且，則角

．參考答案：17.為邊長為的正三角形所在平面外一點且，則到的距離為______。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標方程（2）若直線l與曲線的C兩個交點分別為M,N,直線l與x軸的交點為P,求的值.參考答案：（1），；（2）1.分析：(1)消去參數(shù)t可得直線l的普通方程為x＋y－1＝0．曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0．化為極坐標即ρ＝4sinθ．(2)聯(lián)立直線參數(shù)方程與圓的一般方程可得t2－3t＋1＝0，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義可得|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．詳解：(1)直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)t，得x＋y－1＝0．曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，利用平方關(guān)系，得x2＋(y－2)2＝4，則x2＋y2－4y＝0．令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，代入得C的極坐標方程為ρ＝4sinθ．(2)在直線x＋y－1＝0中，令y＝0，得點P(1，0)．把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程得t2－3t＋1＝0，∴t1＋t2＝3，t1t2＝1．由直線參數(shù)方程的幾何意義，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．點睛：本題主要考查參數(shù)方程與直角坐標方程、極坐標方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化方法，直線參數(shù)方程的幾何意義等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19.設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個小球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現(xiàn)將這五個小球放入5個盒子中.（1）若沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？（2）每個盒子內(nèi)投放一球，并且至少有兩個球的編號與盒子編號是相同的，有多少種投放方法？參考答案：（1）119種（2）31種【分析】(1)利用間接法可得滿足題意的方法數(shù).(2)由分類加法計數(shù)原理結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得滿足題意的方法數(shù).【詳解】（1）利用間接法可知滿足題意的投放方法為：種.（2）分為三類：第一類，五個球的編號與盒子的編號完全相同的投放方法有1種；第二類，三個球的編號與盒子的編號相同，球的編號與盒子的編號相同的投放方法有種，球的編號與盒子的編號不同的投放方法有1種，所以投放方法有種；第三類，兩個球的編號與盒子的編號相同，球的編號與盒子的編號相同的投放方法有種，球的編號與盒子的編號不同的投放方法有2種，所以投放方法有種.根據(jù)分類加法計數(shù)原理得，所有的投放方法有種.

20.在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，，，.設(shè)Q為側(cè)棱PC上一點，.（1）若，證明：；（2）試確定的值，使得二面角的大小為45°.參考答案：（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）建立空間直角坐標系，計算出的坐標后可得它們的數(shù)量積為零，從而得到.（2）計算出平面的法向量和平面的法向量再計算它們的夾角的余弦值，根據(jù)二面角的的大小得到關(guān)于的方程，從而可求的值.【詳解】如圖建立直角坐標系，，，，，，，，（1）當時，，∴，所以.（2）設(shè)平面的法向量，，，令，則，，，同理可得：平面的法向量，，∴，，（舍負）.【點睛】二面角的計算，可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結(jié)為法向量的夾角的計算，注意向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系是相等或互補，所以兩者的余弦值的絕對值相等，我們常利用這個關(guān)系式構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程.21.(本題滿分12分)已知四棱錐P-ABCD的直觀圖（如圖(1)）及左視圖（如圖(2)），底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB。(1)求證：AD⊥PB；(2)求異面直線PD與AB所成角的余弦值；(3)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大小.參考答案：解：⑴取AB的中點O，連接PO，因為PA=PB，則PO⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO平面PAB，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，…………2分而AD⊥AB，PO∩AB=O，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB?！?分⑵過O作AD的平行線為x軸，以O(shè)B、OP所在直線分別為y、z軸，建立如圖10的空間直角坐標系，則A（0，-1，0），D（2，-1，0），B（0，1，0），C（2，1，0），=（2，-1，-2），=（0，2，0），cos＜，＞==-，即異面直線PD與AB所成角的余弦值為?！?分⑶易得平面PAB的一個法向量為n=（1，0，0）。設(shè)平面PCD