二重積分的概念與性質(zhì)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第一講二重積分概念與性質(zhì)內(nèi)容提要二重積分概念與性質(zhì)教學(xué)要求1.了解二重積分意義與性質(zhì)；2.掌握二重積分概念與性質(zhì)。1/20平頂柱體體積=底面積×高曲頂為平頂.求曲頂柱體體積V=？１．曲頂柱體體積一、實(shí)例曲頂柱體:平面上有界閉區(qū)域D為底，以側(cè)面是以D邊界曲線為準(zhǔn)線,母線平行軸柱面所圍成圖形.以連續(xù)曲面為頂，以連續(xù)曲面為頂，比如2/20曲頂柱體體積V求法以下：（1）分割:分別以這些小區(qū)域邊界曲線為準(zhǔn)線，D3/20D(2)求每個(gè)小曲頂柱體體積近似值：

,),(為高以iifhx4/20(3)求近似和：（4）取極限：5/20２．求平面薄片質(zhì)量將區(qū)域D任意分成若干個(gè)小區(qū)域，（如右圖）求法步驟以下：（1）分割：且表示該區(qū)域面積。（2）求近似：6/20（3）求和：將求得n個(gè)小薄片質(zhì)量相加，便得到整個(gè)薄片質(zhì)量M近似值：（4）求極限：將區(qū)域D無(wú)限細(xì)分，和式極限就是薄片質(zhì)量

抽去上述兩個(gè)問(wèn)題實(shí)際意義，歸納它們相同點(diǎn)，給予定義以下：7/20二、二重積分概念定義：假如當(dāng)各小區(qū)域直徑最大值此和式極限存在，則稱(chēng)此極限值為函數(shù)8/20面積微元積分變量積分區(qū)域被積函數(shù)積分和式二重積分中各種符號(hào)稱(chēng)呼：由二重積分定義，能夠得出：曲頂柱體體積V平面薄片質(zhì)量M二重積分號(hào)9/20對(duì)二重積分定義說(shuō)明：二重積分幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體體積負(fù)值．10/20在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D，如右圖。故二重積分（在直角坐標(biāo)系下）可寫(xiě)為D即面微積元為在二重積分定義中，對(duì)區(qū)域D劃分是任意，所以，可對(duì)區(qū)域D進(jìn)行特殊劃分，這么面積微元能夠記作，如圖11/20三、二重積分性質(zhì)性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類(lèi)似性質(zhì)）常數(shù)能夠提到積分號(hào)之外。12/20性質(zhì)３(對(duì)區(qū)域含有可加性)性質(zhì)４（如圖1）圖1圖213/20性質(zhì)５若在D上則有14/20性質(zhì)６（二重積分估值不等式）特殊地所以15/20性質(zhì)７（二重積分中值定理）性質(zhì)７幾何意義是：16/20解故

17/20解練習(xí)18/20解故

19/201.二重積分定義3.二重積分性質(zhì)（7