九年級數(shù)學(xué)圓教學(xué)案

..圓第一課時教學(xué)容1．圓的有關(guān)概念．2．垂徑定理：平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧及其它們的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運用垂徑定理及圓的概念解決一些實際問題．從感受圓在生活量存在到圓形及圓的形成過程，講授圓的有關(guān)概念．利用操作幾何的方法，理解圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸．通過復(fù)合圖形的折疊方法得出猜測垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解．重難點、關(guān)鍵1．重點：垂徑定理及其運用．2．難點與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實際問題．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動〕請同學(xué)口答下面兩個問題〔提問一、兩個同學(xué)〕1．舉出生活中的圓三、四個．2．你能講出形成圓的方法有多少種？教師點評〔口答〕：〔1〕如車輪、杯口、時針等．〔2〕圓規(guī)：固定一個定點，固定一個長度，繞定點拉緊運動就形成一個圓．二、探索新知從以上圓的形成過程，我們可以得出：在一個平面，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以點O為圓心的圓，記作"⊙O〞，讀作"圓O〞．學(xué)生四人一組討論下面的兩個問題：問題1：圖上各點到定點〔圓心O〕的距離有什么規(guī)律？問題2：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？教師提問幾名學(xué)生并點評總結(jié)．〔1〕圖上各點到定點〔圓心O〕的距離都等于定長〔半徑r〕；〔2〕到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上．因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形．同時，我們又把①連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖線段AC，AB；②經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖24-1線段AB；③圓上任意兩點間的局部叫做圓弧，簡稱弧，"以A、C為端點的弧記作〞，讀作"圓弧〞或"弧AC〞．大于半圓的弧〔如下圖叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧〔如下圖〕或叫做劣?。軋A的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們答復(fù)下面兩個問題．1．圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？2．你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進展交流．〔教師點評〕1．圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑，我能找到無數(shù)多條直徑．3．我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對稱軸問題的．因此，我們可以得到：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線．〔學(xué)生活動〕請同學(xué)按下面要求完成下題：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M．〔1〕如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？〔2〕你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你理由．〔教師點評〕〔1〕是軸對稱圖形，其對稱軸是CD．〔2〕AM=BM，，，即直徑CD平分弦AB，并且平分及．這樣，我們就得到下面的定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。旅嫖覀冇眠壿嬎季S給它證明一下：：直徑CD、弦AB且CD⊥AB垂足為M求證：AM=BM，，.分析：要證AM=BM，只要證AM、BM構(gòu)成的兩個三角形全等．因此，只要連結(jié)OA、OB或AC、BC即可．證明：如圖，連結(jié)OA、OB，那么OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中∴Rt△OAM≌Rt△OBM∴AM=BM∴點A和點B關(guān)于CD對稱∵⊙O關(guān)于直徑CD對稱∴當(dāng)圓沿著直線CD對折時，點A與點B重合，與重合，與重合．∴，進一步，我們還可以得到結(jié)論：平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。泊祟}的證明作為課后練習(xí)〕例1．如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦〔即圖中，點O是的圓心，其中CD=600m，E為上一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m，求這段彎路的半徑．分析：例1是垂徑定理的應(yīng)用，解題過程中使用了列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．解：如圖，連接OC設(shè)彎路的半徑為R，那么OF=〔R-90〕m∵OE⊥CD∴CF=CD=×600=300〔m〕根據(jù)勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+〔R-90〕2解得R=545∴這段彎路的半徑為545m．三、穩(wěn)固練習(xí)教材P86練習(xí)P88練習(xí)．四、應(yīng)用拓展例2．有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當(dāng)洪水泛濫時，水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施？請說明理由．分析：要求當(dāng)洪水到來時，水面寬MN=32m是否需要采取緊急措施，只要求出DE的長，因此只要求半徑R，然后運用幾何代數(shù)解求R．解：不需要采取緊急措施設(shè)OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18R2=302+〔R-18〕2R2=900+R2-36R+324解得R=34〔m〕連接OM，設(shè)DE=x，在Rt△MOE中，ME=16342=162+〔34-x〕2162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0解得x1=4，x2=64〔不合設(shè)〕∴DE=4∴不需采取緊急措施．五、歸納小結(jié)〔學(xué)生歸納，教師點評〕本節(jié)課應(yīng)掌握：1．圓的有關(guān)概念；2．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．3．垂徑定理及其推論以及它們的應(yīng)用．六、布置作業(yè)1．教材P94復(fù)習(xí)穩(wěn)固1、2、3．2．車輪為什么是圓的呢？3．垂徑定理推論的證明．4．選用課時作業(yè)設(shè)計．圓(第2課時)教學(xué)容1．圓心角的概念．2．有關(guān)弧、弦、圓心角關(guān)系的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．3．定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．教學(xué)目標(biāo)了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個量的兩個相等就可以推出其它兩個量的相對應(yīng)的兩個值就相等，及其它們在解題中的應(yīng)用．通過復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的知識，產(chǎn)生圓心角的概念，然后用圓心角和旋轉(zhuǎn)的知識探索在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等，最后應(yīng)用它解決一些具體問題．重難點、關(guān)鍵1．重點：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對弦也相等及其兩個推論和它們的應(yīng)用．2．難點與關(guān)鍵：探索定理和推導(dǎo)及其應(yīng)用．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們完成下題．△OAB，如下圖，作出繞O點旋轉(zhuǎn)30°、45°、60°的圖形．教師點評：繞O點旋轉(zhuǎn)，O點就是固定點，旋轉(zhuǎn)30°，就是旋轉(zhuǎn)角∠BOB′=30°．二、探索新知如下圖，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們按以下要求作圖并答復(fù)以下問題：如下圖的⊙O中，分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′OB′將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到∠A′OB′的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？=，AB=A′B′理由：∵半徑OA與O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′∴半徑OB與OB′重合∵點A與點A′重合，點B與點B′重合∴與重合，弦AB與弦A′B′重合∴=，AB=A′B′因此，在同一個圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．在等圓中，相等的圓心角是否也有所對的弧相等，所對的弦相等呢？請同學(xué)們現(xiàn)在動手作一作．〔學(xué)生活動〕教師點評：如圖1，在⊙O和⊙O′中，分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′O′B′得到如圖2，滾動一個圓，使O與O′重合，固定圓心，將其中的一個圓旋轉(zhuǎn)一個角度，使得OA與O′A′重合．(1)(2)你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？說一說你的理由？我能發(fā)現(xiàn)：=，AB=A/B/．現(xiàn)在它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說明了，這就是又回到了我們的數(shù)學(xué)思想上去呢──化歸思想，化未知為，因此，我們可以得到下面的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．同樣，還可以得到：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們現(xiàn)在給予說明一下．請三位同學(xué)到黑板板書，教師點評．例1．如圖，在⊙O中，AB、CD是兩條弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為EF．〔1〕如果∠AOB=∠COD，那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？〔2〕如果OE=OF，那么與的大小有什么關(guān)系？AB與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？∠AOB與∠COD呢？分析：〔1〕要說明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中說明AE=CF，即說明AB=CD，因此，只要運用前面所講的定理即可．〔2〕∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，又有AO=CO是半徑，∴Rt△AOE≌Rt△COF，∴AE=CF，∴AB=CD，又可運用上面的定理得到=解：〔1〕如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF理由是：∵∠AOB=∠COD∴AB=CD∵OE⊥AB，OF⊥CD∴AE=AB，CF=CD∴AE=CF又∵OA=OC∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF〔2〕如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD理由是：∵OA=OC，OE=OF∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴AE=CF又∵OE⊥AB，OF⊥CD∴AE=AB，CF=CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴=，∠AOB=∠COD三、穩(wěn)固練習(xí)教材P89練習(xí)1教材P90練習(xí)2．四、應(yīng)用拓展例2．如圖3和圖4，MN是⊙O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點P，∠APM=∠CPM．〔1〕由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請說明理由．〔2〕假設(shè)交點P在⊙O的外部，上述結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，加以證明；假設(shè)不成立，請說明理由．(3)(4)分析：〔1〕要說明AB=CD，只要證明AB、CD所對的圓心角相等，只要說明它們的一半相等．上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的．解：〔1〕AB=CD理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD，垂足分別為E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF連結(jié)OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD〔2〕作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF連接OA、OB、OC、OD易證Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD五、歸納總結(jié)〔學(xué)生歸納，教師點評〕本節(jié)課應(yīng)掌握：1．圓心角概念．2．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都局部相等，及其它們的應(yīng)用．六、布置作業(yè)1．教材P94-95復(fù)習(xí)穩(wěn)固4、5、6、7、8．2．選用課時作業(yè)設(shè)計．圓(第3課時)教學(xué)容1．圓周角的概念．2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弦所對的圓心角的一半．推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)1．了解圓周角的概念．2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．3．理解圓周角定理的推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用．設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運用數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動證明定理推論的正確性，最后運用定理及其推導(dǎo)解決一些實際問題．重難點、關(guān)鍵1．重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運用它們解題．2．難點：運用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理．3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入〔學(xué)生活動〕請同學(xué)們口答下面兩個問題．1．什么叫圓心角？2．圓心角、弦、弧之間有什么在聯(lián)系呢？教師點評：〔1〕我們把頂點在圓心的角叫圓心角．〔2〕在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等．剛剛講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問題．二、探索新知問題：如下圖的⊙O，我們在射門游戲中，設(shè)E、F是球門，設(shè)球員們只能在所在的⊙O其它位置射門，如下圖的A、B、C點．通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像∠EAF、∠EBF、∠ECF這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法答復(fù)下面的問題．1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個？2．同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？〔學(xué)生分組討論〕提問二、三位同學(xué)代表發(fā)言．教師點評：1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個．2．通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角是沒有變化的．3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半．下面，我們通過邏輯證明來說明"同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半．〞〔1〕設(shè)圓周角∠ABC的一邊BC是⊙O的直徑，如下圖∵∠AOC是△ABO的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC〔2〕如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側(cè)，那么∠ABC=∠AOC嗎？請同學(xué)們獨立完成這道題的說明過程．教師點評：連結(jié)BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．〔3〕如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側(cè)，那么∠ABC=∠AOC嗎？請同學(xué)們獨立完成證明．教師點評：連結(jié)OA、OC，連結(jié)BO并延長交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC現(xiàn)在，我如果在畫一個任意的圓周角∠AB′C，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的．從〔1〕、〔2〕、〔3〕，我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．進一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)