2022-2023學(xué)年浙江省杭州市富陽重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年浙江省杭州市富陽重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i(i為虛數(shù)單位)，則z=(

)A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i2.已知x、y是實(shí)數(shù)，則“xy=0”是“x2+y2A.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè)m∈0,1，若a=lgm，b=lgm2，A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a4.函數(shù)y=xa(x≥0)和函數(shù)y=aA. B.

C. D.5.為預(yù)防新冠病毒感染，某學(xué)校每天定時(shí)對(duì)教室進(jìn)行噴灑消毒.教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(單位：mg)隨時(shí)間x(單位：?)的變化情況如圖所示：在藥物釋放過程中，y與x成正比；藥物釋放完畢后，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=(18)x?a(a為常數(shù)A.當(dāng)0≤x≤0.2時(shí)，y=4x

B.當(dāng)x>0.2時(shí)，y=(18)x?0.1

C.2330小時(shí)后，教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量可降低到0.25mg以下

6.已知a1，a2，…，an是單位平面向量，若對(duì)任意的1≤i<j≤n(n∈N?)，都有aA.3 B.4 C.5 D.67.如圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC、直角邊AB、AC，已知以直角邊AC、AB為直徑的半圓的面積之比為14，記∠ABC=θ，則sinθ?2cosθcosθ+sinA.?1 B.?2 C.0 D.18.設(shè)函數(shù)y=f(x)(x≠0)，對(duì)于任意正數(shù)x1，x2(x1≠x2)，都x23f(A.[?1,0)∪(0,1] B.(?∞,?1]∪(0，1]

C.(?∞,?1]∪[1,+∞) D.[?1,0)∪[1，+∞)二、多選題（本大題共4小題，共12.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|?3<x<2}，下列說法正確的是A.a<0

B.a+b+c>0

C.不等式bx+c>0的解集為{x|x>6}

D.不等式cx210.下列四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB//平面MNP的圖形是(

)A. B.

C. D.11.已知a，b是單位向量，且a+b=(1,?1)，則A.|a+b|=2 B.a與b垂直

C.a與a?12.在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，(

)A.若asinB=bsinA，則△ABC為等腰三角形

B.若acosB=bcosA，則△ABC為等腰三角形

C.若a=bsinC+ccosB，則三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.設(shè)a=log34，則32a14.函數(shù)y=cos(π2+x)cosx?15.“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家構(gòu)造的一個(gè)幾何模型．如圖1，正方體的棱長為2，用一個(gè)底面直徑為2的圓柱去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個(gè)牟合方蓋(如圖2).已知這個(gè)牟合方蓋與正方體內(nèi)切球的體積之比為4：π，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為______．16.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P以每秒π2的角速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿半徑為2的上半圓逆時(shí)針移動(dòng)到B，再以每秒π3的角速度從點(diǎn)B沿半徑為1的下半圓逆時(shí)針移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)O，則上述過程中動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為

．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟所著《農(nóng)政全書》中描繪了筒車的工作原理，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用．如圖，筒車的半徑為4m，軸心O距離水面2m，筒車上均勻分布了12個(gè)盛水筒．已知該筒車按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，2分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，且當(dāng)筒車上的某個(gè)盛水筒P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)算時(shí)間．

(1)將點(diǎn)P距離水面的距離z(單位：M.在水面下，z為負(fù)數(shù))表示為時(shí)間t(單位：分鐘)的函數(shù)；

(2)已知盛水筒Q與盛水筒P相鄰，Q位于P的逆時(shí)針方向一側(cè)．若盛水筒P和Q在水面上方，且距離水面的高度相等，求時(shí)間t．

18.(本小題12.0分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b=a(sinC+cosC)．

(1)求A；

(2)在①a=2，②B=π3，③c=2b這三個(gè)條件中，選出其中的兩個(gè)條件，使得△ABC唯一確定．并解答之．若______，______，求19.(本小題12.0分)

如圖，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．

(1)求B；

(2)已知點(diǎn)D在AB邊上，AD=λAB，點(diǎn)E在CB邊上，BE=λBC，是否存在非零實(shí)數(shù)λ，使得AE20.(本小題12.0分)

已知f(log2x)=ax2?2x+1?a，a∈R．

(1)求f(x)的解析式；

(2)解關(guān)于21.(本小題12.0分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=22,CD=2,AD=1，在等腰梯形CDEF中，EF=22,DE=5，將等腰梯形CDEF(1)求證：平面ADE⊥平面ABCD；(2)求直線BE與平面ADE所成角的正弦值．22.(本小題12.0分)

數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：sinx=x?x33!+x55!?x77!+…，其中n！=1×2×3×…×n.利用該公式可以得到：當(dāng)x∈(0,π2)時(shí)，sinx<x，sinx>x?x33!+x55!；…，

(1)證明：當(dāng)x∈(0,π2)時(shí)，sinxx>答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．

把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．

【解答】

解：由(1+i)z=2i，

得z=2i1+i=2i(1?i)(1+i)(1?i)2.【答案】A

【解析】解：由x2+y2=0，解得：x=0且y=0，

由xy=0解得：x=0或y=0，

故“xy=0”是“x2+y23.【答案】C

【解析】【分析】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】

解：∵0<m<1，∴0<m2<m<1，

∴l(xiāng)gm2<lgm<lg1=0，∴b<a<0，

又∵(lgm)2>0，4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．

分a>1和0<a<1兩種情況討論，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答即可．【解答】

解：當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax在[0,+∞)上單調(diào)遞增，且其圖象過定點(diǎn)(0,1)(凹函數(shù))，冪函數(shù)y=xa在[0,+∞)上單調(diào)遞增(凹函數(shù))；

當(dāng)0<a<1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax在[0,+∞)上單調(diào)遞減，且其圖象過定點(diǎn)(0,1)(凹函數(shù))，冪函數(shù)y=xa在[0,+∞)上單調(diào)遞增(凸函數(shù))，5.【答案】D

【解析】解：當(dāng)0≤x≤0.2時(shí)，設(shè)y=kx，則1=0.2k，

故k=5，即y=5x，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)x>0.2時(shí)，把(0.2,1)代入y=(18)x?a，可得(18)0.2?a=1，

∴a=0.2，即y=(18)x?0.2，故B錯(cuò)誤；

令(18)x?0.2<0.25，即(6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了向量的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

由題意可知，單位向量

ai,aj的夾角θ最小時(shí)，正整數(shù)【解答】

解：依題意，設(shè)單位向量

ai,aj的夾角為θ，

因?yàn)閍i?aj<12，

所以ai?7.【答案】A

【解析】解：以直角邊AC，AB為直徑的半圓的面積分別為：12×π×(AC2)2=π?(AC)28,12×π×(AB2)2=π?(AB)28，

由面積之比為14，得(AC)28.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．

先判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性，構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)x3【解答】

解：函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1,0)成中心對(duì)稱，故函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)成中心對(duì)稱，即y=f(x)是奇函數(shù)，

記g(x)=f(x)x3,g(?x)=f(?x)(?x)3=g(x)，所以g(x)是偶函數(shù)，

對(duì)于任意正數(shù)x1，x2(x1≠x2)，都x23f(x1)?x13f(x2)x1?x2>0，

即x13x29.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)二次不等式的解集，利用韋達(dá)定理求出啊a，b，c三者的關(guān)系，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可．【解答】

解：根據(jù)已知條件可知a<0?3+2=?ba?3×2=ca，可得b=a，c=?6a，

所以a+b+c=?4a>0，故A，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)bx+c>0，化簡(jiǎn)可得x<6，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)cx2+bx+a<0，化簡(jiǎn)可得6x210.【答案】AD

【解析】解：在A中，連接AC，則AC//MN，由正方體性質(zhì)得到平面MNP//平面ABC，

∴AB//平面MNP，故A成立；

B若下底面中心為O，則NO//AB，NO∩面MNP=N，

∴AB與面MNP不平行，故B不成立；

C過M作ME//AB，則E是中點(diǎn)，

則ME與平面PMN相交，則AB與平面MNP相交，

∴AB與面MNP不平行，故C不成立；

D連接CE，則AB//CE，NP//CD，則AB//PN，∴AB//平面MNP，故D成立．

故選：AD．

根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理分別進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷，結(jié)合線面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明是解決本題的關(guān)鍵．11.【答案】BC

【解析】解：因?yàn)閍+b=(1,?1)，所以|a+b|=12+(?1)2=2，故A錯(cuò)誤；

(a+b)2=a2+b2+2a?b=2，因?yàn)閍，b是單位向量，

所以a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，

所以a?b=0，所以a⊥b，故B正確；12.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A，若asinB=bsinA，則asinA=bsinB，由正弦定理可得a2=b2，即a=b，則△ABC為等腰三角形，A正確，

對(duì)于B，若acosB=bcosA，則acosA=bcosB，由正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=π2，

則△ABC為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)誤，

對(duì)于C，若a=bsinC+ccosB，則有sinBsinC+sinCcosB=sinA，

在△ABC中，sinA=sin(π?B?C)=sin(B+C)，又sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

故sinBsinC+sinCcosB=sinBcosC+cosBsinC，則有sinBsinC=sinBcosC，

在△ABC中，sinB≠0，則sinC=cosC，即tanC=1，又C∈(0,π)，則C=π4，C正確，

對(duì)于D，若tanA+tanB+tanC<0，

則tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1?tanAtanB)+tanC=?tanC+tanC+tanAtanBtanC=tanAtanBtanC<0，

必有tanA、tanB13.【答案】16

【解析】【分析】本題考查指數(shù)冪運(yùn)算，對(duì)數(shù)恒等式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．

利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)恒等式求解．【解答】

解：∵a=log34，

∴32a14.【答案】π

【解析】解：由函數(shù)y=cos(π2+x)cosx?cos2x=sinxcosx?cos2x=12sin2x?1+cos2x2

=1215.【答案】83【解析】解：正方體的體積為23=8，其內(nèi)切球的體積為43π?13=43π，

由條件可知牟合方蓋的體積為43π×16.【答案】y=2sin【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用，考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查三角函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題．

當(dāng)P在大圓上半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出∠POA，由任意角的三角函數(shù)的定義求得P的縱坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)P在小圓下半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出∠PO′B?，進(jìn)一步求得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，則答案可求．【解答】

解：當(dāng)P在大圓上半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠POA=π2t，0≤t≤2，

由任意角的三角函數(shù)的定義，可得P的縱坐標(biāo)為y=2sinπ2t，0≤t≤2；

當(dāng)點(diǎn)P在小圓下半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PO′B?=π+π3(t?2)，2<t≤5，

可得P點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=sin[π+π3(t?2)]=?sin[π317.【答案】解：(1)以O(shè)為原點(diǎn)，平行于水面向右作為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(x,y)，則P距離水面的距離z=y+2，yr=sinα，α為Ox為始邊，OP為終邊的角，

由O到水面距離為2，半徑r=4，可得∠P0Ox=π6，

由該筒車逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，2分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，可知∠P0OP=2π2×t=πt，

則α=πt?π6，則y=rsinα=4sin(πt?π6)，

故z=4sin(πt?π6)+2(t≥0)．

(2)筒車上均勻分布了12個(gè)盛水筒，

所以∠POQ=π6，

設(shè)Q(xQ,yQ)，

則yQr=sin(α+π6)，yQ=4sin(πt?π6+π6)=4sinπt，

由P【解析】(1)以O(shè)為原點(diǎn)，平行于水面向右作為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y)，則P距離水面的距離z=y+2，yr=sinα，α為Ox為始邊，OP為終邊的角，由該筒車逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，2分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，可知∠P0OP=2π2×t=πt，即可求解．

(2)設(shè)Q(xQ,yQ18.【答案】解：(1)∵b=a(sinC+cosC)，

由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得sinB=sinA(sinC+cosC)，

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

∴sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC+sinAcosC，

又sinC≠0，

∴cosA=sinA，∴tanA=1，

∵0<A<π，∴A=π4；

(2)方案一：選條件①和②．

由正弦定理asinA=bsinB，得b=asinBsinA=2×3222=6．

由余弦定理b2=a2+c2?2accosB，得6=4+c2?2×2c×12，

解得c=3+1，

∴△ABC的面積S=12acsinB=12×2(3+1)×32=3+32．

方案二：選條件①【解析】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．

(1)由已知結(jié)合正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)可求A；

(2)分別選取條件，結(jié)合正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式即可求解．19.【答案】解：(1)根據(jù)題意，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°，

則AB2=CA2+CB2?2CA×CB×cos60°=3，則AB=3，

cosB=AB2+BC2?AC22AB×BC=32，則B=30°，

(2)根據(jù)題意，假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)λ，使得AE⊥CD，

由(1)的結(jié)論，CA=1，CB=2，AB=3，

易得∠CAB=90°【解析】(1)根據(jù)題意，由余弦定理求出AB的值，進(jìn)而由余弦定理分析可得答案；

(2)根據(jù)題意，假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)λ，使得AE⊥CD，用AC和AB表示向量AE和CD，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得關(guān)于λ的方程，解可得答案．20.【答案】解：(1)令log2x=t即x=2t，則f(t)=a?(2t)2?2?2t+1?a

即f(x)=a?22x?2?2x+1?a，x∈R

(2)由f(x)=(a?1)?4x得：a?22x?2【解析】(1)由解析式令log2x=t即x=2t，代入解析式化簡(jiǎn)求出f(t)，將t化為x可得f(x)的解析式；

(2)由(1)化簡(jiǎn)f(x)=(a?1)?21.【答案】解：(1)證明：∵E在平面ABCD上的射影為A，

∴AE⊥平面ABCD；又AE?平面ADE，

∴平面ADE⊥平面ABCD．

(2)解：由(1)知平面ADE⊥平面ABCD．

分別延長AD，BC交于點(diǎn)G，連接EG，

∵AB=22，CD=2，AD=1，

過C，D分別作BA的垂線，可得MN=CD=2，

由等腰梯形AM=BN=22，又∵AD=BC=1，

∴∠BAD=45°，∠ABC=45°，∴∠AGB=90°，

∴AG⊥BG．

又∵平面ADE∩平面ABCD=AD，平面ADE⊥平面ABCD，∴BG⊥平面A