數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與Matlab市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)試驗(yàn)與Matlab1/229

實(shí)驗(yàn)一

矩陣運(yùn)算與Matlab命令

2/229日常矩陣及其運(yùn)算矩陣應(yīng)用實(shí)例:欖球防護(hù)用具生產(chǎn)管理3/229

應(yīng)用問題一個(gè)工廠生產(chǎn)三種橄欖球用具：防護(hù)帽、墊肩、臀墊。需要不一樣數(shù)量：硬塑料、泡沫塑料尼龍線、勞動(dòng)力。為監(jiān)控生產(chǎn)，管理者對(duì)它們之間關(guān)系十分關(guān)心。為把握這些量關(guān)系，他列出下面表4/229

原料產(chǎn)品關(guān)系表5/229訂單管理者接到四份訂單如上表所表示。問應(yīng)該怎樣計(jì)算每份訂單所需原材料，方便組織生產(chǎn)？6/229將表格寫成矩陣形式7/229計(jì)算輸入下面Matlab指令A(yù)=[423;132;133;322],B=[35206045;10155040;20124520]C=A*B請(qǐng)自行計(jì)算觀看結(jié)果8/229Matlab基本指令向量創(chuàng)建和運(yùn)算9/2291.直接輸入向量》x1=[124],x2=[1,2,1],x3=x1’運(yùn)行結(jié)果

x1=124x2=121x3=124

10/2292.冒號(hào)創(chuàng)建向量

x1=3.4:6.7,x2=3.4:2:6.7x3=2.6:-0.8:0運(yùn)算結(jié)果x1=3.40004.40005.40006.4000x2=3.40005.4000x3=2.60001.80001.00000.11/2293.生成線性等分向量指令x=linspace(a,b,n)在[a,b]區(qū)間產(chǎn)生n個(gè)等分點(diǎn)(包含端點(diǎn))x=linspace(0,1,5)結(jié)果x=00.25000.50000.75001.000012/229工作空間在Matlab窗口創(chuàng)建向量后并運(yùn)行后，向量就存在于工作空間，能夠被調(diào)用。13/229向量運(yùn)算設(shè)x=[x1x2x3];y=[y1y2y3];為兩個(gè)三維向量，a,b為標(biāo)量。向量數(shù)乘：a*x=[a*x1a*x2a*x3]向量平移：x+b=[x1+bx2+bx3+b]向量和：x+y=[x1+y1x2+y2x3+y3]向量差：x-y=[x1-y1x2-y2x3-y3]數(shù)乘冪：如a^214/229元素群運(yùn)算(四則運(yùn)算）x.*y=[x1*y1x2*y2x3*y3](元素群乘積)x./y=[x1/y1x2/y2x3/y3](元素群右除，右邊y做分母)x.\y=[y1/x1y2/x2y3/x3](元素群左除，左邊x做分母)x.^5=[x1^5x2^5x3^5](元素群乘冪)2.^x=[2^x12^x22^x3](元素群乘冪)x.^y=[x1^y1x2^y2x3^y3](元素群乘冪)15/229元素群運(yùn)算（函數(shù)計(jì)算）Matlab有許多內(nèi)部函數(shù)，可直接作用于向量產(chǎn)生一個(gè)同維函數(shù)向量。x=linspace(0,4*pi,100);（產(chǎn)生100維向量x）y=sin(x);(y也自動(dòng)為100維向量)y1=sin(x).^2;y2=exp(-x).*sin(x);觀察結(jié)果16/229創(chuàng)建矩陣（數(shù)值矩陣創(chuàng)建）直接輸入法創(chuàng)建簡(jiǎn)單矩陣。

A=[1234;5678;9101112]B=[-1.3,sqrt(3);(1+2)*4/5,sin(5);exp(2),6]

觀察運(yùn)行結(jié)果17/229創(chuàng)建矩陣（符號(hào)矩陣創(chuàng)建）用指令“syms”說明符號(hào)變量。

symsa11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34A1=[a11a12a13a14;a21a22a23a24;a31a32a33a34],B1=[b11b12b13b14;b21b22b23b24;b31b32b33b34]運(yùn)行18/229矩陣運(yùn)算(矩陣加減、數(shù)乘、乘積)C=A1+B1D=A1-B1symsc,cA=c*A1A2=A1(:,1:3),B1G=A2*B119/229矩陣運(yùn)算(矩陣加減、數(shù)乘、乘積)A,A_trans=A’H=[123;210;123],K=[123;210;231]h_det=det(H),k_det=det(K),H_inv=inv(H),K_inv=K^-120/229矩陣運(yùn)算(左除和右除)左除“\”：

求矩陣方程AX=B解；（

A、B行要保持一致）

解為X=A\B；當(dāng)A為方陣且可逆時(shí)有X=A\B=inv(A)*B；右除“/”：

求矩陣方程XA=B解

（A、B列要保持一致）

解為X=B/A，當(dāng)A為方陣且可逆時(shí)有X=B/A=B*inv(A)21/229矩陣運(yùn)算(左除和右除)求矩陣方程：設(shè)A、B滿足關(guān)系式：AB＝2B+A,求B。其中A=[301;110;014]。解：有(A-2I)B＝A程序：A=[301;110;014];B=inv(A-2*eye(3))*A,B=(A-2*eye(3))\A觀察結(jié)果：22/229分塊矩陣（矩陣標(biāo)識(shí)）1.矩陣元素標(biāo)識(shí)：A(i,j)表示矩陣A第i行j列元素；2.向量標(biāo)識(shí)方式A(vr,vc)：vr=[i1,i2,…,ik]、vc=[j1,j2,…,ju]分別是含有矩陣A行號(hào)和列號(hào)單調(diào)向量。A(vr,vc)是取出矩陣A第i1,i2,…,ik行與j1,j2,…,ju列交叉處元素所組成新矩陣。23/229分塊矩陣（矩陣標(biāo)識(shí)）取出A1、3行和1、3列交叉處元素組成新矩陣A1程序A=[10112;01-123;30510;23121],vr=[1,3];vc=[1,3];A1=A(vr,vc)觀察結(jié)果24/229分塊矩陣（矩陣標(biāo)識(shí)）將A分為四塊，并把它們賦值到矩陣B中，觀察運(yùn)行后結(jié)果。程序A11=A(1:2,1:2),A12=A(1:2,3:5),A21=A(3:4,1:2),A22=A(3:4,3:5)B=[A11A12;A21A22]結(jié)果25/229分塊矩陣（矩陣修改和提?。┬薷木仃嘇，將它第1行變?yōu)?。程序：A=[10112;01-123;30510;23121]A(1,:)=[00000];A刪除上面矩陣A第1、3行。程序：A([1,3],:)=[]結(jié)果26/229生成特殊矩陣全1陣ones(n),ones(m,n),ones(size(A))全零陣：zeros(n)，zeros(m,n),zeros(size(A))經(jīng)常用于對(duì)某個(gè)矩陣或向量賦0初值單位陣：eye(n)，eye(m,n)隨機(jī)陣：rand(m,n)，rand(n)=rand(n,n)用于隨機(jī)模擬，常和rand('seed',k)配合使用。27/229生成特殊矩陣將rand指令運(yùn)行屢次，觀察結(jié)果。程序：y1=rand(1,5),y2=rand(1,5),rand('seed',3),x1=rand(1,5),rand('seed',3),x2=rand(1,5)結(jié)果28/229慣用矩陣函數(shù)det(A)：方陣行列式；rank(A)：矩陣秩；eig(A)：方陣特征值和特征向量；trace(A)：矩陣跡；rref(A)：初等變換階梯化矩陣Asvd(A)：矩陣奇異值分解。cond(A)：矩陣條件數(shù)；29/229數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單分析1.當(dāng)數(shù)據(jù)為行向量或列向量時(shí)，函數(shù)對(duì)整個(gè)向量進(jìn)行計(jì)算.2.當(dāng)數(shù)據(jù)為矩陣時(shí)，命令對(duì)列進(jìn)行計(jì)算，即把每一列數(shù)據(jù)當(dāng)成同一變量不一樣觀察值。max(求最大)、min(求最小)、mean(求平均值)、sum(求和)、std(求標(biāo)準(zhǔn)差)、cumsum(求累積和)、median(求中值)、diff(差分)、sort(升序排列)、sortrows(行升序排列)等等。30/229數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單分析觀察：生成一個(gè)3×6隨機(jī)數(shù)矩陣，并將其各列排序、求各列最大值與各列元素之和。程序rand('seed',1);A=rand(3,6),Asort=sort(A),Amax=max(A),Asum=sum(A)結(jié)果31/229試驗(yàn)二函數(shù)可視化與Matlab作圖

32/229函數(shù)可視化

f(x),g(x)是周期函數(shù)嗎？觀察它們圖象。程序clf,x=linspace(0,8*pi,100);F=inline('sin(x+cos(x+sin(x)))');y1=sin(x+cos(x+sin(x)));y2=0.2*x+sin(x+cos(x+sin(x)));plot(x,y1,'k:',x,y2,'k-')legend('sin(x+cos(x+sin(x))','0.2x+sin(x+cos(x+sin(x)))',2)令33/229繪制平面曲線(plot指令)plot(x,y)：以x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)繪制二維圖形x,y是同維數(shù)向量；plot(y)：相當(dāng)于x=[1,2,…,length(y)]時(shí)情形。34/229繪制平面曲線（繪制多個(gè)圖形)1.plot(x,[y1;y2;…]),x是橫坐標(biāo)向量，[y1;y2;…]是由若干函數(shù)縱坐標(biāo)拼成矩陣2.plot(x,y1),holdon,plot(x,y2),holdoff3.plot(x,y1,x,y2,…)4.plotyy兩個(gè)坐標(biāo)系，用于繪制不一樣尺度函數(shù)。35/229繪制平面曲線（線型、點(diǎn)形和顏色控制）plot(x,y,‘顏色＋線型＋點(diǎn)形’)plot(x,y,‘顏色＋線型＋點(diǎn)形’,x,y,‘顏色＋線型＋點(diǎn)形’,…)句柄圖形和set命令改變屬性值，可套用：h=plot(x,y),set(h,‘屬性’,屬性值,‘屬性’,屬性值,…)也可用plot(x,y,'屬性','屬性值')設(shè)置圖形對(duì)象屬性。36/229繪制平面曲線（屬性變量和屬性值）線寬：LineWidth點(diǎn)大?。篗arkerSize線型：LineStyle顏色：color37/229繪制平面曲線（例）觀察：改變繪圖線型和顏色。用gridon指令為圖形窗口加上網(wǎng)格線，并改變網(wǎng)格線型和字體大小。程序h=plot([0:0.1:2*pi],sin([0:0.1:2*pi]));set(h,'LineWidth',5,'color','red');gridonset(gca,'GridLineStyle','-','fontsize',16)

觀察結(jié)果38/229繪制平面曲線（坐標(biāo)軸控制）axis指令axis([xminxmaxyminymax])：

設(shè)定二維圖形x和y坐標(biāo)范圍；

axis([xminxmaxyminymaxzminymax])：

設(shè)定三維圖形坐標(biāo)范圍；其中xmin<x<xmax，ymin<y<ymax，zmin<z<zmax。39/229繪制平面曲線（gca屬性控制）改變當(dāng)前軸對(duì)象句柄gca屬性用set(gca,‘屬性’,屬性值,…)可改變字體大小、坐標(biāo)刻度等軸對(duì)象內(nèi)容。比如：set(gca,'ytick',[-1-0.500.51])將y坐標(biāo)按向量[-1-0.500.51]將刻度分成4格；set(gca,'yticklabel','a|b|c|d|e')改變y坐標(biāo)刻度說明。40/229繪制平面曲線（gca屬性控制,例）設(shè)置y坐標(biāo)刻度并加以說明，并改變字體大小。程序

plot([0:0.1:2*pi],sin([0:0.1:2*pi]),'k.-',);gridon,axis([06.3-1.11.1])，set(gca,'ytick',[-1-0.500.51]),set(gca,'yticklabel','a|b|c|d|e'),set(gca,'fontsize',20)get(gca)運(yùn)行結(jié)果41/229繪制平面曲線（文字標(biāo)注）

title(‘圖形標(biāo)題’)；xlabel（‘x軸名稱’）；ylabel（‘y軸名稱’）；zlabel（‘z軸名稱’）；text(‘說明文字’)：創(chuàng)建說明文字；gtext（'說明文字'）：用鼠標(biāo)在特定位置輸入文字。文字標(biāo)注慣用符號(hào)：\pi（π）；\alpha（α）；\beta（β）；\leftarrow（左箭頭）\rightarrow（右箭頭）；\bullet（點(diǎn)號(hào)）42/229繪制平面曲線（程序講解，exp2_1.m）clf,t=0:0.1:3*pi;alpha=0:0.1:3*pi;plot(t,sin(t),'r-');holdon;plot(alpha,3*exp(-0.5*alpha),'k:');set(gca,'fontsize',15,'fontname','timesNewRoman'),xlabel('\it{t(deg)}');ylabel('\it{magnitude}');title('\it{sinewaveand{\it{Ae}}^{-\alpha{\itt}}wave}');

43/229繪制平面曲線（程序講解，exp2_1.m）text(6,sin(6),'\fontsize{15}TheValue\it{sin(t)}at{\itt}=6\rightarrow\bullet','HorizontalAlignment','right'),text(2,3*exp(-0.5*2),['\fontsize{15}\bullet\leftarrowTheValueof\it{3e}^{-0.5\it{t}}=',num2str(3*exp(-0.5*2)),'at\it{t}=2']);legend('\itsin(t)','{\itAe}^{-\alphat}')注1：num2str：['string1',num2str,'string2']，用方括號(hào)注2：legend請(qǐng)結(jié)合圖形觀察此命令使用44/229圖形窗口創(chuàng)建和分割

subplot(m,n,k)命令。在圖形區(qū)域中顯示多個(gè)圖形窗口。m為上下分割數(shù)，n為左右分割數(shù)，k為第k子圖編號(hào)。例：將一個(gè)圖形分為9個(gè)子圖，在第k個(gè)子圖畫sin(kx)圖象.程序：

clf，b=2*pi;x=linspace(0,b,50);fork=1:9y=sin(k*

x);subplot(3,3,k),plot(x,y),axis([0,2*pi,-1,1])end45/229若干有用指令clf：去除圖形窗口已經(jīng)有內(nèi)容.shg：顯示圖形窗口。clear、clearx：去除工作空間已經(jīng)有變量。figure(n):打開第n個(gè)圖形窗口help:…:續(xù)行號(hào)46/229繪制二元函數(shù)基本步驟：1.生成二維網(wǎng)格點(diǎn)2.計(jì)算函數(shù)在網(wǎng)格點(diǎn)上值3.繪制函數(shù)圖形47/229三維繪圖（meshgrid指令：生成網(wǎng)格點(diǎn)）觀察meshgrid指令效果。程序：a=-0.98;b=0.98;c=-1;d=1;n=10;x=linspace(a,b,n);y=linspace(c,d,n);[X,Y]=meshgrid(x,y);plot(X,Y,'+')觀察結(jié)果48/229三維繪圖（計(jì)算函數(shù)值，定義域淘汰）程序：fori=1:nforj=1:nif(1-X(i,j))<eps1|X(i,j)-Y(i,j)<eps1z(i,j)=NaN;elsez(i,j)=1000*sqrt(1-X(i,j))^-1.*log(X(i,j)-Y(i,j));endendend49/229三維繪圖（繪圖指令）mesh(X,Y,z)：在三維空間中繪出由(X,Y,z)表示曲面；meshz(X,Y,z)：除了含有mesh功效外，還畫出上下高度線，meshc(X,Y,z)：除了含有mesh功效外，還在曲面下方畫出函數(shù)z=f(x,y)等值線圖，surf(X,Y,z)：也是三維繪圖指令，與mesh區(qū)分在于mesh繪出彩色線，surf繪出彩色面，運(yùn)行exp2_1,觀察效果50/229三維繪圖（等值線指令）表現(xiàn)二維函數(shù)圖形另一個(gè)方式是繪制等值線圖。contour(X,Y,z,n)：n條等高線，n可缺??；contourf(X,Y,z,n)：等值線間用不一樣顏色填滿，有更加好視覺效果；contour3(X,Y,z,n)：在三維空間畫出等值線圖colorbar：將顏色與函數(shù)值對(duì)應(yīng)起來顯示在圖中。51/229三維繪圖（等值線指令，繼續(xù)exp2_2顯示效果）clf,contour(X,Y,z,40),colorbarcontourf(X,Y,z,40),colorbarcontour3(X,Y,z,40),colormap([0,0,0])為等值線標(biāo)上函數(shù)值:可套用下面程序格式.[cs,h]=contour(X,Y,z,15);clabel(cs,h,'labelspacing',244)labelspace是數(shù)值標(biāo)識(shí)之間相隔寬度，默認(rèn)值為144,這里取了244，52/229空間曲線和運(yùn)動(dòng)方向表現(xiàn)一條空間曲線能夠用矢量函數(shù)表示為它速度矢量表現(xiàn)為曲線切矢量:53/229空間曲線和運(yùn)動(dòng)方向表現(xiàn)很顯然飛行曲線方程為：

54/229繪制空間曲線（指令）

plot3(x,y,z)：繪制三維空間曲線，使用方法和plot類似。quiver(X,Y,u,v)：繪制二維矢量，在坐標(biāo)矩陣點(diǎn)[X,Y]處繪制矢量[u,v],其中u為矢量x坐標(biāo)，v為矢量y坐標(biāo)，其維數(shù)大于2。quiver3（X,Y,Z,u,v,w）：繪制三維矢量，使用方法與quiver類似。Gradient：[Fx,Fy,Fz]=gradient(F)為函數(shù)F數(shù)值梯度55/229繪制空間曲線（程序講解exp2_3）exp2_3.mclf,t=linspace(0,1.5,20);x=t.^2;y=(2/3)*t.^3;z=(6/4)*t.^4-(1/3)*t.^3;plot3(x,y,z,'r.-,'linewidth',1,'markersize',10),holdonVx=gradient(x);Vy=gradient(y);Vz=gradient(z);h=quiver3(x,y,z,Vx,Vy,Vz),set(h,'linewidth',1),gridonaxis([01.501.5040])xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')，boxon運(yùn)行程序56/229應(yīng)用、思索和練習(xí)用平行截面法討論由曲面z=x^2-y^2組成馬鞍面形狀。對(duì)于二重積分，積分指示線方法是很有用，當(dāng)然你首先得了解一下什么是積分指示線法，請(qǐng)查閱高等數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容，然后設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)試驗(yàn)，然后用Matlab繪圖工具表現(xiàn)這一方法。

57/229應(yīng)用、思索和練習(xí)

繪制微分方程y/dx=xy,y(0)=0.4斜率場(chǎng)，并將解曲線畫在圖中，觀察斜率場(chǎng)和解曲線關(guān)系。

58/229應(yīng)用、思索和練習(xí)地球表面氣溫差異很大，而且隨時(shí)間改變，要繪制氣溫分布圖絕不是一件輕易事情。不過赤道溫度最高，而在兩級(jí)最冷，在中間地帶則是過渡帶。所以可粗略將這種氣溫分布情況用圖形表現(xiàn)出來，試?yán)L制地球表面氣溫分布示意圖。

59/229應(yīng)用、思索和練習(xí)60/229應(yīng)用、思索和練習(xí)(若干特殊圖形)x=[1:10];y=[56348110356];subplot(2,3,1),bar(x,y),axis([110111])subplot(2,3,2),hist(y,x),axis([11014])subplot(2,3,3),stem(x,y,'k'),axis([110111])subplot(2,3,4),stairs(x,y,'k'),axis([110111])subplot(2,3,5),x=[130.55];explode=[0001];pie(x,explode)subplot(2,3,6),z=0:0.1:100;x=sin(z);y=cos(z).*10;comet3(x,y,z)

61/229應(yīng)用、思索和練習(xí)(周期函數(shù)推廣）62/229應(yīng)用、思索和練習(xí)(線性P周期函數(shù)）63/229應(yīng)用、思索和練習(xí)(線性P周期函數(shù))64/229應(yīng)用、思索和練習(xí)(線性P周期函數(shù)）p周期函數(shù)是一個(gè)特殊線性p周期函數(shù)，為M=0情形。線性p周期函數(shù)是不是一個(gè)線性函數(shù)同一個(gè)p周期函數(shù)之和呢？怎樣證實(shí)這一點(diǎn)？65/229應(yīng)用、思索和練習(xí)（循環(huán)比賽名次）有若干支球隊(duì)參加循環(huán)比賽，他們兩兩交鋒，每場(chǎng)比賽只計(jì)勝敗，不允許平局，循環(huán)賽結(jié)束后要依據(jù)他們比賽成績排列名次。一個(gè)方法是計(jì)算得分，得分是每支球隊(duì)獲勝場(chǎng)次，依據(jù)各隊(duì)得分排知名次，決定冠軍隊(duì)。

66/229應(yīng)用、思索和練習(xí)（循環(huán)比賽名次即使計(jì)算各隊(duì)得分很輕易，但有時(shí)按得分排名方法并不一定合理。假定有4支球隊(duì),記做v1~v4。在一次循環(huán)賽中，v1得分為2，v2得分為2，v3得分為1，v4得分為1，能夠把得分寫成4維向量形式：s=[2211]T，在這種情況下應(yīng)該怎樣決定[v1,v2,v3,v4]名次呢？67/229函數(shù)式－直接確定型模型

試驗(yàn)三68/229從系統(tǒng)分析觀點(diǎn)了解函數(shù)y=f（x）x：自變量，y：因變量，f：映射規(guī)則函數(shù)不是枯燥數(shù)學(xué)符號(hào)函數(shù)是系統(tǒng)函數(shù)是數(shù)學(xué)模型是描述自然現(xiàn)象有力工具69/229黑箱模型和經(jīng)驗(yàn)函數(shù)白箱：映射規(guī)則f已知；灰箱：映射規(guī)則f部分已知；黑箱：映射規(guī)則f未知。對(duì)于黑箱模型，只知道輸入輸出數(shù)據(jù)，需依據(jù)這些數(shù)據(jù)近似決定映射規(guī)則f70/229經(jīng)驗(yàn)函數(shù)(機(jī)床加工問題）用程控銑床加工機(jī)翼斷面下輪廓線時(shí)每一刀只能沿x方向和y方向走非常小一步。表3-1給出了下輪廓線上部分?jǐn)?shù)據(jù)但工藝要求銑床沿x方向每次只能移動(dòng)0.1單位.這時(shí)需求出當(dāng)x坐標(biāo)每改變0.1單位時(shí)y坐標(biāo)。試完成加工所需數(shù)據(jù)，畫出曲線.71/229交通事故調(diào)查（司機(jī)有責(zé)任嗎？）一輛汽車在拐彎時(shí)急剎車，結(jié)果沖進(jìn)路邊溝里．警察聞?dòng)嵹s到現(xiàn)場(chǎng)，對(duì)汽車留在路上剎車痕跡進(jìn)行了測(cè)量，確定剎車痕跡近似為一圓弧。訊問司機(jī)時(shí)，他說，當(dāng)車進(jìn)入彎道時(shí)剎車失靈，且進(jìn)入彎道時(shí)汽車時(shí)速為40英里／小時(shí)。此速度系該路速度上限。經(jīng)過驗(yàn)車證實(shí)該車制動(dòng)器在事故發(fā)生時(shí)確實(shí)失靈，但司機(jī)所說車速是否真實(shí)呢？72/229交通事故調(diào)查（司機(jī)有責(zé)任嗎？）通常，作一條基準(zhǔn)線來測(cè)量剎車痕跡.（水平）距離x沿基準(zhǔn)線測(cè)得，（垂直）距離y與x垂直.表3-6給出了剎車痕跡測(cè)量相關(guān)值.警察測(cè)量了路坡度，發(fā)覺這段路是平．請(qǐng)給出一個(gè)使警察能夠查對(duì)速度計(jì)算方法．73/229

航行區(qū)域警示線某海域上頻繁地有各種噸位船只經(jīng)過。為確保船只航行安全，相關(guān)機(jī)構(gòu)在低潮時(shí)對(duì)水深進(jìn)行了測(cè)量,表3-8是他們提供測(cè)量數(shù)據(jù)：表3-8.水道水深測(cè)量數(shù)據(jù)x 129.0140.0103.588.0185.5195.0105.5 y 7.5141.523.0147.022.5137.585.5 z 4868688 x 157.5107.577.081.0162.0162.0117.5 y -6.5-81.03.056.5-66.584.0-33.5 z 9988949 74/229航行區(qū)域警示線其中（x,y）為測(cè)量點(diǎn)，z為（x,y）處水深(英尺)。船噸位能夠用其吃水深度來反應(yīng)，分為4英尺、4.5英尺、5英尺和5.5英尺4檔。航運(yùn)部門要在矩形海域（75，200）×（－50，150）上為不一樣噸位航船設(shè)置警示標(biāo)識(shí)。請(qǐng)依據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)描述該海域地貌，并繪制不一樣噸位警示線，供航運(yùn)部門使用。水深z是區(qū)域坐標(biāo)（x,y）函數(shù)z=z(x,y），測(cè)量數(shù)據(jù)只是它部分取值?？衫L制函數(shù)圖象和等值線圖，將不一樣吃水線標(biāo)識(shí)圖上75/229插值與擬合（基本原理和區(qū)分）已知有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)（xj,yj），j=0,1,…,n其中xj互不相同節(jié)點(diǎn)(xj,yj)可看成由某個(gè)函數(shù)y=f（x）產(chǎn)生f解析表示式可能十分復(fù)雜或不存在封閉形式,也能夠是未知76/229插值與擬合（基本原理和區(qū)分）插值：結(jié)構(gòu)一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)y=g(x)使g經(jīng)過全部節(jié)點(diǎn)即使g(xj)=yj，j=0,1,…,n用g(x)作為函數(shù)f(x)近似。插值指令yi=interp1(x1,y1,xi,'method')對(duì)應(yīng)于插值函數(shù)yi=g(xi)其中x1,y1為節(jié)點(diǎn)向量method＝四個(gè)選項(xiàng)：‘nearest’為近鄰插值；‘linear’為線性插值；‘spline’為樣條插值；'cubic'為立方函數(shù)插值。77/229插值與擬合（基本原理和區(qū)分）多項(xiàng)式擬合對(duì)給定數(shù)據(jù)（xj,yj），j=0,1,…,n選取適當(dāng)階數(shù)多項(xiàng)式(也可采取其它形式函數(shù))比如二次多項(xiàng)式g(x)=ax^2+bx+c使g(x)盡可能迫近（擬合）這些數(shù)據(jù)擬合指令polyfit、polyval用p=polyfit(x1,y1,m)做m次多項(xiàng)式擬合擬合數(shù)據(jù)向量為x1,y1多項(xiàng)式系數(shù)為p=[p(1),…,p(m),p(m+1)]即g(x)=p(1)x^m+…p(m)x+p(m+1)用y=polyval(p,x)計(jì)算在x處多項(xiàng)式值y78/229觀察插值、擬合效果運(yùn)行觀察程序exp3_1.m選取一個(gè)已知函數(shù)作為參考，并將這一函數(shù)圖象用虛線顯示在圖中。觀察程序允許用鼠標(biāo)選取節(jié)點(diǎn)按鼠標(biāo)左鍵選點(diǎn)，按右鍵選最終一個(gè)點(diǎn)觀察不一樣選點(diǎn)方式對(duì)各種插值和擬合效果影響79/229程序注解（inline指令）定義內(nèi)聯(lián)函數(shù)：inline指令g=inline('x^2-x^4');程序80/229程序注解（ginput）[x,y,button]=ginput(n)用鼠標(biāo)在屏幕選n個(gè)點(diǎn)，返回這n個(gè)點(diǎn)，存于x,y中。button統(tǒng)計(jì)了選點(diǎn)時(shí)使用鼠標(biāo)鍵方式：1為左鍵、2為中間鍵、3為右鍵。81/229程序注解（插值擬合）xx=linspace(a,b,n);%定義自變量xxynearest=interp1(x1,y1,xx,'nearest');ylinear=interp1(x1,y1,xx,'linear');yspline=interp1(x1,y1,xx,'spline');[p,c]=polyfit(x1,y1,4);ypolyfit=polyval(p,xx);

82/229程序注解（插值擬合）subplot(2,2,1),h=plot(xx,ynearest,'r-');set(h,'linewidth',2)subplot(2,2,2),h=plot(xx,ylinear,'r-');set(h,'linewidth',2);subplot(2,2,3),h=plot(xx,yspline,'r-');set(h,'linewidth',2)subplot(2,2,4),h=plot(xx,ypolyfit,'r-');set(h,'linewidth',2)83/229插值擬合效果觀察沿曲線選?。硞€(gè)節(jié)點(diǎn)，保持等間隔。當(dāng)節(jié)點(diǎn)較少時(shí)，插值效果怎樣？加密節(jié)點(diǎn)，共８?jìng)€(gè)等距節(jié)點(diǎn)，觀察插值效果，假如去掉中間一個(gè)節(jié)點(diǎn)，插值效果又會(huì)怎樣？有意偏離原來曲線，假如誤差較大，將會(huì)怎樣呢？84/229

微分、積分和微分方程試驗(yàn)四85/229定積分--連續(xù)求和86/229定積分--連續(xù)求和87/229三種方法計(jì)算數(shù)值積分（1）定義法，取近似和極限。高等數(shù)學(xué)中不是重點(diǎn)內(nèi)容但數(shù)值積分各種算法卻是基于定義建立

（2）用不定積分計(jì)算定積分。不定積分是求導(dǎo)逆運(yùn)算，而定積分是連續(xù)變量求和（曲邊梯形面積）表面上看是兩個(gè)完全不一樣概念，經(jīng)過牛頓－萊布尼茲公式聯(lián)絡(luò)在一起，（3）解微分方程計(jì)算定積分88/229微積分學(xué)基本定理尤其，F(xiàn)(b)-F(a)就是所需定積分.在高等數(shù)學(xué)中總是期望求出不定積分封閉解.但數(shù)值積分是更有用工具。牛頓－萊布尼茲公式不愧為微積分“基本定理”。89/229基本定理推廣（解微分方程計(jì)算定積分）90/229基本定理推廣（解微分方程計(jì)算定積分）91/229解微分方程Eular折線法92/229解微分方程Eular折線法將區(qū)間n=4等分（共有5個(gè)分點(diǎn))；計(jì)算分點(diǎn)和對(duì)應(yīng)函數(shù)值（x(1),x(2),x(3)x(4)x(5))（f(1),f(2),f(3),f(4),f(5))在第一個(gè)子區(qū)間[x(1),x(2)]上，畫出折線段y(2)=y(1)+f(1)*(x-x(1))代替解曲線段y(x)，這里y(1)=y0=0折線段起點(diǎn)為[x(1),y(1)]，終點(diǎn)為[x(2),y(2)].運(yùn)行exp4_1.m，觀察第二、三、四子區(qū)間情況。93/229符號(hào)微積分用Matlab符號(hào)工具箱（SymbolicToolbox）能夠進(jìn)行符號(hào)演算94/229符號(hào)微積分(創(chuàng)建符號(hào)變量）

symvar創(chuàng)建單個(gè)符號(hào)變量；symsvar1var2…

創(chuàng)建多個(gè)符號(hào)變量；f=sym(‘符號(hào)表示式’)創(chuàng)建符號(hào)表示式，賦予f；

equ=sym('equation')創(chuàng)建符號(hào)方程

。95/229符號(hào)微積分(極限）limit(‘表示式’,var,a)：求當(dāng)var→a，表示式極限例：求極限：symsxaI1=limit(‘(sin(x)-sin(3*x))/sin(x)’,x,0)運(yùn)行結(jié)果96/229符號(hào)微積分(求導(dǎo)）diff(f,‘var’,n)求f對(duì)變量varn階導(dǎo)數(shù)缺省n時(shí)為求一階導(dǎo)數(shù)缺省變量'var'時(shí)，默認(rèn)變量為x可用來求單變量函數(shù)導(dǎo)數(shù)多變量函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)還能夠求抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)97/229符號(hào)微積分(求導(dǎo)）例：求symsxyf=sym('exp(-2*x)*

cos(3*

x^(1/2))')diff(f,x)運(yùn)行98/229符號(hào)微積分(求導(dǎo)）symsxyg=sym('g(x,y)')f=sym('f(x,y,g(x,y))')diff(f,x)diff(f,x,2)運(yùn)行例：求99/229符號(hào)微積分(積分）int(f,var)：求函數(shù)f不定積分；int(f,var,積分下限，積分上限)：求函數(shù)f定積分或廣義積分例：求不定積分symsxyzI1=int(sin(x*y+z),z)100/229符號(hào)微積分(積分）symsxyzI2=int(1/(3+2*x+x^2),x,0,1)I3=int(1/(3+2*x+x^2),x,-inf,inf)101/229符號(hào)微積分(化簡(jiǎn)、提取和代入)符號(hào)運(yùn)算結(jié)果比較繁瑣，使用化簡(jiǎn)指令可對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)。不過不能指望機(jī)器能夠完成一切，人推理往往必須。慣用化簡(jiǎn)指令以下展開指令：expand(表示式)；因式分解：factor(表示式)降冪排列：collect（表示式，var）；普通化簡(jiǎn)：simplify(A)；102/229符號(hào)微積分(化簡(jiǎn)、提取和代入)觀察：將展開(a+x)^6-(a-x)^6，然后作因式分解。t_expand=expand(t)t_factor=factor(t_expand)t_simplify=simplify(t)觀察結(jié)果103/229數(shù)值微積分（梯形公式和辛普森公式）trapz(x,y)，按梯形公式計(jì)算近似積分；其中步長x=[x0x1…xn]和函數(shù)值y=[f0f1…fn]為同維向量，q=quad('fun',a,b,tol,trace,P1,P2,...)（低階方法，辛普森自適應(yīng)遞歸法求積）q=quad8('fun',a,b,tol,trace,P1,P2,...)（高階方法，自適應(yīng)法Cotes求積）在一樣精度下高階方法quad8要求節(jié)點(diǎn)較少。104/229［x,y］=ode23('fun',tspan,y0,option)（低階龍格－庫塔函數(shù)）［x,y］=ode45('fun',tspan,y0,option)（高階龍格－庫塔函數(shù)）105/229應(yīng)用、思索和練習(xí)(追擊問題)我緝私雷達(dá)發(fā)覺，距離d處有一走私船正以勻速a沿直線行駛，緝私艦馬上以最大速度（勻速v）追趕。若用雷達(dá)進(jìn)行跟蹤，保持船瞬時(shí)速度方向一直指向走私船，緝私艦運(yùn)動(dòng)軌跡是怎樣？是否能夠追上走私船？假如能追上，需要用多長時(shí)間？106/229應(yīng)用、思索和練習(xí)(追擊問題)107/229應(yīng)用、思索和練習(xí)(追擊問題)r=dsolve(‘eq1,eq2,…’,‘cond1,cond2,…’,‘v’)方程符號(hào)解symsydrxs1=dsolve('D2x=-r*sqrt(1+Dx^2)/y','x(20)=0','Dx(20)=0','y')

xs=simplify(xs1)運(yùn)行結(jié)果，畫彗星圖108/229應(yīng)用、思索和練習(xí)(追擊問題)r=dsolve(‘eq1,eq2,…’,‘cond1,cond2,…’,‘v’)方程符號(hào)解symsydrxs1=dsolve('D2x=-r*sqrt(1+Dx^2)/y','x(20)=0','Dx(20)=0','y')

xs=simplify(xs1)運(yùn)行結(jié)果，畫彗星圖109/229應(yīng)用、思索和練習(xí)(追擊問題，假如雷達(dá)失效)當(dāng)緝私艦雷達(dá)發(fā)覺d處有一走私船后，雷達(dá)突然損壞若假定走私船作勻速直線運(yùn)動(dòng)（但不知方向），且緝私艦艇速度v大于走私船速度a，則緝私艦應(yīng)采取什么樣航行路線，不論走私船從哪個(gè)方向逃跑，都能追捕上它？110/229實(shí)時(shí)動(dòng)畫制作（見試驗(yàn)10）觀察：模擬彈簧振動(dòng)討論最簡(jiǎn)單情形，一彈簧系統(tǒng)作橫向運(yùn)動(dòng)，其位移由u=2+cos(t)所決定，仿真彈簧振動(dòng)111/229實(shí)時(shí)動(dòng)畫制作(初始化、見試驗(yàn)10）程序講解animinit('onecart1Animation')axis([-26-1010]);holdon;u=2;

xy=[0000uuu+1u+1uu;-1.201.2001.21.2-1.2-1.20];x=xy(1,:);y=xy(2,:);plot([-1020],[-1.4-1.4],'k-','LineWidth',2);hndl=plot(x,y,'k-','EraseMode','XOR','LineWidth',2)

112/229實(shí)時(shí)動(dòng)畫制作(初始化、見試驗(yàn)10）zxy10-2set(gca,'UserData',hndl);fort=1:0.025:1000;u=2+exp(-0.00*t)*cos(t);x=[0000uuu+1u+1uu];

hndl=get(gca,'UserData');set(hndl,'XData',x,'YData',y);drawnowend113/229電影動(dòng)畫制作（zxy7_3)moviein、getframe、movie指令x=-8:0.5:8;[XX,YY]=meshgrid(x);r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;Z=sin(r)./r;surf(Z);%畫出禎theAxes=axis;%保留坐標(biāo)值，使得全部幀都在同一坐標(biāo)系中114/229電影動(dòng)畫制作fmat=moviein(20);%創(chuàng)建動(dòng)畫矩陣，保留20禎forj=1:20;%循環(huán)創(chuàng)建動(dòng)畫數(shù)據(jù)surf(sin(2*pi*j/20)*Z,Z)%畫出每一步曲面axis(theAxes)%使用相同坐標(biāo)系fmat(:,j)=getframe;%拷貝禎到矩陣fmat中endmovie(fmat,10)%演示動(dòng)畫10次115/229應(yīng)用、思索和練習(xí)(槍支設(shè)計(jì))槍支發(fā)怒后，氣體壓強(qiáng)隨子彈在膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)而改變。槍管長度x單位為m。壓強(qiáng)p是距離x函數(shù)，經(jīng)過實(shí)測(cè)得到了一批數(shù)據(jù)，子彈射出槍管時(shí)出口速度是設(shè)計(jì)者關(guān)心問題，假如一只槍管長0.6096m，其膛孔面積4.56×10-5m2，子彈重量0.956N，試決定這種型號(hào)槍支出口速度；更普通，確定出口速度和槍管長度關(guān)系曲線，繪制這一曲線，并作出適當(dāng)標(biāo)識(shí)。這么問題和你在高等數(shù)學(xué)中處理積分有什么區(qū)分嗎？116/229應(yīng)用、思索和練習(xí)(天然氣井開采量)東方天然氣企業(yè)鉆了一口新氣井，他們希望研究一下將這口井于供氣管路聯(lián)接經(jīng)濟(jì)性計(jì)算此井壓強(qiáng)隨時(shí)間改變曲線，由此得到流量Q與時(shí)間t關(guān)系，以此預(yù)計(jì)此井總開采量。117/229

最優(yōu)化試驗(yàn)試驗(yàn)六118/229最正確水槽斷面問題（矩形斷面）用寬l=24cm長方鐵板折成一個(gè)斷面為矩形水槽，問怎樣折法可使水槽斷面面積到達(dá)最大119/229最正確水槽斷面問題（梯形斷面）將問題１推廣等腰梯形水槽，問怎樣折法可使水槽斷面面積到達(dá)最大?120/229最正確水槽斷面問題（對(duì)稱五邊形斷面）將鐵板折成如圖所表示對(duì)稱五邊形，問怎樣折法可使水槽斷面面積到達(dá)最大？121/229最正確水槽斷面問題（五邊）122/229最正確水槽斷面問題（五邊）運(yùn)行zxy6_6[s,fval]=fmincon('zxy6_6S',x0,A,b,[],[],lb,ub)求解123/229最正確水槽斷面問題（多邊和無限邊）優(yōu)化變量數(shù)與最大斷面面積關(guān)系斷面形狀 優(yōu)化變量數(shù) 最大斷面積cm2

矩形斷面 172 梯形斷面283.14 對(duì)稱五邊形488.637

將鐵板折成對(duì)稱7邊形、9邊形，普通為對(duì)稱2n+1邊形能夠期望最大斷面面積得到深入增加隨之而來是計(jì)算代價(jià)也隨之增加。124/229最正確水槽斷面問題（無限邊）125/229最正確水槽斷面問題（無限邊）126/229最正確水槽斷面問題（無限邊）127/229微分法求最大和最?。ǜ叩葦?shù)學(xué)）128/229微分法求最大和最小（高等數(shù)學(xué)）129/229微分法求最大和最?。ǜ叩葦?shù)學(xué)）運(yùn)行zxy6_1.msymsx1x2%定義符號(hào)變量。f=x1^3-x2^3+3*x1^2+3*x2^2-9*x1;%函數(shù)z。v=[x1x2];df=jacobian(f,v)%計(jì)算雅可比。[X,Y]=solve(df(1),df(2))%用指令solve求駐點(diǎn)。運(yùn)行zxy6_2畫等值線圖并將點(diǎn)標(biāo)注在圖上130/229微分法求最大和最?。ǜ叩葦?shù)學(xué)）jacobian(f,v)：計(jì)算函數(shù)符號(hào)梯度、雅可比矩陣如：若f(v),v=[v1v2]則df=[df/dv1df/dv2]如：若f(v)=[f1(v)f2(v)],v=[v1v2]則df=[df1/dv1df1/dv1

df2/dv1df2/dv2]131/229微分法求最大和最?。ǜ叩葦?shù)學(xué)）solve指令：solve('eqn1','eqn2',…,'eqnn')求n個(gè)方程eqn1，eqn2，…，eqnn所組成方程組根（符號(hào)解）132/229盲人下山與迭代尋優(yōu)一個(gè)盲人處于山上某一點(diǎn)x0要下到谷底，他應(yīng)怎樣做？133/229盲人下山與迭代尋優(yōu)134/229Matlab優(yōu)化工具箱介紹多元函數(shù)無約束優(yōu)化指令fminunc、fminsearch剖析135/229Matlab優(yōu)化工具箱介紹觀察：在命令窗口鍵入bandemo選擇不一樣方法觀察對(duì)香蕉函數(shù)優(yōu)化結(jié)果和過程。136/229Matlab優(yōu)化工具箱介紹[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0,options,P1,…)其中有些項(xiàng)能夠缺省，如exitflag,output,grad,hessian,options,P1,P2,…等等。x0是初始點(diǎn)；fun是目標(biāo)函數(shù)，能夠用inline指令或建立M文件方法生成目標(biāo)函數(shù)；137/229Matlab優(yōu)化工具箱介紹參數(shù)傳遞：使用變量P1,P2,…可在目標(biāo)函數(shù)和主程序之間需要傳遞一些參數(shù)也可使用全局變量Gobal說明來進(jìn)行傳遞。輸出：x,fval,exitflag,output,grad,hessian為輸出信息，最優(yōu)點(diǎn)、最優(yōu)函數(shù)值、算法結(jié)束狀態(tài)（exitflag>0算法收斂；=0到達(dá)最大步驟而停頓；<0算法不收斂）、算法結(jié)束后一些信息（如迭代次數(shù)、所使用優(yōu)化方法等，可在命令窗口查看output詳細(xì)內(nèi)容）、梯度值和海森矩陣，除x之外均可缺省。138/229Matlab優(yōu)化工具箱介紹OPTIONS（控制參數(shù)）OPTIONS是一個(gè)數(shù)組，有多項(xiàng)內(nèi)容使用optimset對(duì)它進(jìn)行修改和設(shè)置。optimset(‘屬性’，‘屬性值’,…)修改OPTIONS默認(rèn)值，如默認(rèn)屬性‘LargeScale’＝‘on’，(使用“信賴域算法”)。假如要使用其它方法，就要修改此項(xiàng)設(shè)置。139/229Matlab優(yōu)化工具箱介紹內(nèi)聯(lián)函數(shù)inlineinline('函數(shù)表示式','變量1','變量2',…)，不混同情形下變量項(xiàng)能夠缺省。f=inline('100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2'),x=[2,2],y=f(x),備注140/229Matlab優(yōu)化工具箱介紹

用M文件生成目標(biāo)函數(shù)（套用以下格式）myfun.mfunction[f,g,H]=myfun(x)％關(guān)鍵詞function不可省，函數(shù)myfun和M文件同名。f=…%計(jì)算目標(biāo)函數(shù)x。ifnargout>1%如有兩個(gè)輸出量（[目標(biāo)函數(shù)，梯度]）。g=…%計(jì)算g為函數(shù)x點(diǎn)解析梯度（可?。fnargout>2%如有三個(gè)輸出量（[目標(biāo)函數(shù)，梯度，海森陣]）。H=…%H為函數(shù)在x點(diǎn)海森陣，（可省）。end141/229Matlab優(yōu)化工具箱介紹（zxy6_4講解運(yùn)行）bandemo.m簡(jiǎn)化和剖析程序zxy6_4.m是對(duì)bandemo.m簡(jiǎn)化基本結(jié)構(gòu)為：（1）繪制香蕉函數(shù)等值線圖，并將StartPoint和Solution標(biāo)在圖形上。（2）用Switch語句結(jié)構(gòu)，允許程序選取BFGS、DFP、最速下降法和單純形法等四種優(yōu)化方法。142/229Matlab優(yōu)化工具箱介紹多變量約束優(yōu)化指令fmincon[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,…)上面命令等價(jià)于143/229Matlab優(yōu)化工具箱介紹線性規(guī)劃linprog指令[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

算法選擇：options=optimset(‘largescale’,‘off’)，單純形方法；options=optimset('largescale','on')，內(nèi)點(diǎn)法(默認(rèn))。144/229Matlab優(yōu)化工具箱介紹一元函數(shù)尋優(yōu)fminbnd指令[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,...)此時(shí)x,x1,x2是標(biāo)量，f(x)為標(biāo)量函數(shù)。145/229Matlab優(yōu)化工具箱介紹Quadprog：解二次規(guī)劃lsqnonlin：解非線性最小二乘lsqcurvefit：非線性數(shù)據(jù)擬合lsqnonneg：非負(fù)系數(shù)最小二乘法。lsqlin：約束最小二乘146/229應(yīng)用思索與練習(xí)（計(jì)算最正確水槽斷面面積）試推導(dǎo)對(duì)稱2n+1邊形面積普通公式選擇一系列n值，仿照zxy6_6.m計(jì)算它們最大斷面面積，觀察計(jì)算結(jié)果規(guī)律性。在工程實(shí)踐中并不能確保每一次計(jì)算都能夠成功，不過本問題即使不成功，你是否也能洞察結(jié)果？147/229對(duì)盲人下山問題，引入一個(gè)有界約束區(qū)域，試用圖形表現(xiàn)函數(shù)在區(qū)域邊界上圖象。能夠用等值線或用曲頂柱體曲面顯示函數(shù)在區(qū)域改變情況。不過提議單獨(dú)用二維繪圖指令plot畫出它們曲線圖，觀察函數(shù)在邊界極值情況。應(yīng)用思索與練習(xí)（盲人約束下山）148/229應(yīng)用思索與練習(xí)（盲人約束下山）結(jié)合高等數(shù)學(xué)知識(shí)，假如可能，用Matlab符號(hào)演算指令求出函數(shù)在不一樣約束下極值點(diǎn)和最值點(diǎn)（比如可用Lagrange函數(shù)方法處理這些問題）。你也能夠在盲人下山模擬中對(duì)有約束情況進(jìn)行討論，這時(shí)盲人應(yīng)該怎樣前進(jìn)呢？149/229應(yīng)用思索與練習(xí)（啤酒配方問題）某啤酒廠希望用原料摻水方法生產(chǎn)一個(gè)復(fù)合標(biāo)準(zhǔn)低成本啤酒。其標(biāo)準(zhǔn)要求為：酒精含量為3.1％；發(fā)酵前平均比重在1.034～1.040之間；顏色在8～10EBC單位之間；每升混合物中，蛇麻子脂含量在20～25mg之間。請(qǐng)依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)算出最優(yōu)配方。150/229應(yīng)用思索與練習(xí)（

儲(chǔ)能飛輪設(shè)計(jì)）下面表示式用于設(shè)計(jì)儲(chǔ)能用飛輪。準(zhǔn)則是儲(chǔ)備能量最大。用約束條件限定了重量、直徑、轉(zhuǎn)速和厚度，試計(jì)算最優(yōu)解。你能確定算出解是最優(yōu)嗎？151/229應(yīng)用思索與練習(xí)（齒輪減速器設(shè)計(jì)）抽去各變量物理意義，齒輪減速器最優(yōu)設(shè)計(jì)模型以下：這是一個(gè)含有7個(gè)變量、23個(gè)約束優(yōu)化問題。試對(duì)其進(jìn)行計(jì)算。你可能會(huì)碰到很大困難，你能想方法處理這些困難嗎？152/229應(yīng)用思索與練習(xí)（齒輪減速器設(shè)計(jì)）153/229方程求根、不動(dòng)點(diǎn)和迭代試驗(yàn)七154/229隱函數(shù)存在定理可視化155/229隱函數(shù)存在定理可視化選擇特殊例子運(yùn)行zxy7_1.m，畫出曲面z=F(x,y)、x-y平面圖像和它們交線。畫出曲線z=F(x0,y)；（備注）156/229隱函數(shù)存在定理可視化157/229隱函數(shù)存在定理可視化確定隱函數(shù)，方程求根[x,fval,exitflag,output]=fzero(fun,x0,options)zxy7-2.m158/229蛛網(wǎng)圖與不動(dòng)點(diǎn)迭代稱滿足方程f(x)=x點(diǎn)x為函數(shù)f不動(dòng)點(diǎn)求函數(shù)f不動(dòng)點(diǎn)。能夠從一個(gè)初始點(diǎn)x0出發(fā)，以格式xn+1=f(xn)進(jìn)行迭代；得到x0,x1,x2,……,xn,…..假如該數(shù)列是收斂，則159/229蛛網(wǎng)圖與不動(dòng)點(diǎn)迭代160/229蛛網(wǎng)圖與不動(dòng)點(diǎn)迭代運(yùn)行觀察程序zxy7_3，了解蛛網(wǎng)圖原理161/229簡(jiǎn)單和復(fù)雜：二次函數(shù)迭代和混沌觀察對(duì)二次函數(shù)f(x)=rx(1-x)進(jìn)行迭代，其中0<r<1是一個(gè)可變參數(shù)。1）固定若干個(gè)不一樣值，觀察迭代序列極限；迭代N次，略去前n個(gè)迭代值，并將后N–n個(gè)迭代值畫在r-x坐標(biāo)系中（zxy7_4)2）用蛛網(wǎng)圖觀察三種不一樣類型迭代。(zxy7_5)3）加密r取值，得到加密Feigenbaum圖。（zxy7_4改變參數(shù))162/229線性代數(shù)試驗(yàn)試驗(yàn)八163/229向量組線性關(guān)系164/229向量組線性關(guān)系（產(chǎn)生相關(guān)向量，運(yùn)行zxy8_1）產(chǎn)生向量：產(chǎn)生m個(gè)n維向量，且各向量分量均在[a,b]之間。clearn=3;m=2;a=-10;b=10;rand('seed',32),A=unifrnd(a,b,[n,m])組合向量：產(chǎn)生m=2個(gè)組合系數(shù),將組合得到新向量并入矩陣A中：x=unifrnd(-1,1,[1,m]),A(:,3)=x(1)*A(:,1)+x(2)*A(:,2)165/229向量組線性關(guān)系（產(chǎn)生相關(guān)向量，運(yùn)行zxy8_1)運(yùn)行zxy8_1A=-1.7383-9.17070.02568.70646.6219-9.08424.70967.5495-0.0246-8.9245-3.53318.3272-5.74703.9105-0.0038-0.2352-6.61972.1934166/229向量組線性關(guān)系（產(chǎn)生相關(guān)性判別）167/229Gauss消元法（運(yùn)行rref(A),rrefmovie(A)）

rref(A)將矩陣A做行初等變換階梯化。B=rref(A)B=1.00000-0.0011-0.53600.58510.259001.0000-0.0026-0.8478-0.83300.9415000000rrefmovie(A)：觀察到行初等變換過程

168/229Gauss消元法(同解方程）Rref(A)169/229Gauss消元法(解）向量形式170/229Gauss消元法(基礎(chǔ)解系）Ax=0基礎(chǔ)解系可由下式計(jì)算：X=[-B(1:r,r+1:m+s);eye(l)]其中r=rank(A)，l=m+s-r為基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)。r=2;m=2;s=4;B=[-B(1:2,r+1:m+s);eye(m+s-r)]問題：怎樣用Matlab解普通非線性齊次方程組，如A(:,1:4)X=A(:,7)？171/229應(yīng)用練習(xí)與思索(平面四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì))172/229應(yīng)用練習(xí)與思索(平面四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì))某操縱裝置采取四桿鉸鏈機(jī)構(gòu)。已知兩連架桿（L1,L3）輸入角和輸出角滿足下表數(shù)據(jù)所表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，機(jī)架長度L4=50mm，試確定其余三桿長度。173/229應(yīng)用練習(xí)與思索(平面四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì))174/229應(yīng)用練習(xí)與思索(平面四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì))確定四桿長度，并用Matlab繪圖指令用圖形表示你設(shè)計(jì)結(jié)果。你需要設(shè)計(jì)一個(gè)表現(xiàn)方案，使人能夠很明白看出你設(shè)計(jì)結(jié)果是正確。假如只利用表前兩組對(duì)應(yīng)角度值，設(shè)計(jì)方案還是唯一嗎？計(jì)算一下結(jié)果。一樣給出直觀表示。體會(huì)到自由變量含義？假如表中值為4組對(duì)應(yīng)角度值，你就碰到超定方程了。它沒有準(zhǔn)確解，只有近似解。你愿意用Matlab去解它嗎？試一試。175/229應(yīng)用練習(xí)與思索(用Matlab做線性代數(shù)題)176/229應(yīng)用練習(xí)與思索(用Matlab做線性代數(shù)題)symsaa1=[1;4;0;2];a2=[2;7;1;3];a3=[0;1;-1;1];a4=[3;10;a;4];A=[a1,a2,a3,a4]fori=2:4%行初等變換A(i,:)=A(i,:)-A(1,:)*A(i,1);endA(2,:)=A(2,:)/A(2,2);fori=3:4A(i,:)=A(i,:)-A(2,:)*A(i,2);end177/229矩陣相同化簡(jiǎn)178/229矩陣相同化簡(jiǎn)179/229矩陣相同化簡(jiǎn)選擇方陣A，如二階方陣

A=[1/5,99/100;1,0];選擇一個(gè)初始點(diǎn)(二維列向量)，按下面公式進(jìn)行迭代:xk+1=Axk觀察這些迭代點(diǎn)位置和趨向180/229矩陣相同化簡(jiǎn)(程序zxy8_2.m迭代部分)Clear,clf,n=40;a=-20*100;b=-a;c=a;d=b;p=0.1;A=[1/5,99/100;1,0];axis([abcd]),grid,holdonbutton=1whilebutton==1[xi,yi,button]=ginput(1);plot(xi,yi,'ko'),holdon,X0=[xi;yi];X=X0;fori=1:nX=[A*X,X0];h=plot(X(1,1),X(2,1),'k.',X(1,1:2),X(2,1:2),'k:');set(h,'MarkerSize',6),grid,holdonquiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]',p)endend181/229矩陣相同化簡(jiǎn)(程序zxy8_2.m畫直線)p=60;x=linspace(a,b,30);[pc,lamda]=eig(A),pc=-pc;z1=pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2=pc(2,2)/pc(1,2)*x;plot(x,z1,'linewidth',2),h=quiver([500,501]',[-1000,-1001]',[pc(1,1),0]',[pc(2,1),0]',p)set(h,'linewidth',2,'color','red'),182/229矩陣相同化簡(jiǎn)(高維線性離散動(dòng)力系統(tǒng))動(dòng)力系統(tǒng)理論基本目標(biāo)是了解迭代過程最終或漸進(jìn)性態(tài)，假如迭代過程是一時(shí)間為自變量微分方程，則該理論試圖預(yù)言微分方程解在遙遠(yuǎn)未來或遙遠(yuǎn)過去最終性態(tài)。假如過程是像函數(shù)迭代離散過程，則這種理論希望了解伴隨n變大，迭代點(diǎn)最終性態(tài)。就是說，動(dòng)力系統(tǒng)提出了一個(gè)聽起來非數(shù)學(xué)問題：這些點(diǎn)跑到哪里去？當(dāng)它們抵達(dá)那里又在干些什么？183/229矩陣相同化簡(jiǎn)(高維線性離散動(dòng)力系統(tǒng))記線性動(dòng)力系統(tǒng)L(x)，它是L(x)=Lx其中L是適當(dāng)維數(shù)方陣，我們只考慮2～3維情形。184/229矩陣相同化簡(jiǎn)(高維線性離散動(dòng)力系統(tǒng))185/229矩陣相同化簡(jiǎn)(高維線性離散動(dòng)力系統(tǒng))考查前面在2維情況例子中標(biāo)準(zhǔn)形A=[2,0;0,1/2]它含有混合特征值運(yùn)行zxy8_3.m進(jìn)行觀察迭代情形。觀察B＝PAP^-1迭代情況，比較異同。186/229主成份分析和線性變換氣象分析預(yù)報(bào)中需要分析很多變量指標(biāo)。何抓住主要特點(diǎn)，用較少指標(biāo)代替原來較多指標(biāo)，又能綜合反應(yīng)原來較多指標(biāo)信息，就是實(shí)際工作者所關(guān)心問題。（降維）主成份分析方法為此提供了一個(gè)有效伎倆。187/229主成份分析和線性變換設(shè)有兩個(gè)變量指標(biāo)：X1：代表某地10月副高強(qiáng)度指數(shù)；X2：代表該地10月副高面積指數(shù)。188/229主成份分析和線性變換運(yùn)行zxy8_4.m畫出散點(diǎn)圖。怎樣找到適當(dāng)坐標(biāo)軸，使信息損失盡可能小？189/229主成份分析和線性變換190/229主成份分析和線性變換求協(xié)方差矩陣求正交矩陣P，滿足運(yùn)行觀察191/229主成份分析和線性變換(運(yùn)行zxy8_4)192/229線性變換運(yùn)行zxy8_5193/229數(shù)學(xué)試驗(yàn)與Matlab/~zhou/index.html制作人周曉陽華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系z(mì)xyhust@194/229

Galton釘板和二項(xiàng)分布

分布列意義195/229Galton釘板模擬英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家Galton設(shè)計(jì)了Galton板右邊是一個(gè)5層Galton釘板196/229Galton釘板模擬(原理)在一板上釘有n排釘子自頂端扔進(jìn)一小球任其自由下落在下落過程中小球碰到釘子，左右落下機(jī)會(huì)相等最終小球落入底板中某一個(gè)格子圖中用012345表示這6個(gè)格子197/229Galton釘板模擬(博彩問題)在每一格子中放上適當(dāng)價(jià)值獎(jiǎng)品如依次為1010.20.218(元）扔一次小球你要付1元給莊主假如小球落入某個(gè)格子你將取得對(duì)應(yīng)價(jià)值獎(jiǎng)品你合算嗎？莊主會(huì)盈利嗎？198/229Galton釘板模擬(扔1萬個(gè)小球)小球落入哪一個(gè)格子是不確定所以要計(jì)算落入每一個(gè)格子可能性試想向Galton板中扔10000個(gè)小球這些小球?qū)⒍逊e起來小球堆積形狀告訴了我們什么呢？199/229Galton釘板模擬(程序zxy9_1.m)(1)確定釘子位置：將釘子橫、縱坐標(biāo)存放在兩個(gè)矩陣X和Y之中。(2)選取0<p<1,將[0,1]區(qū)間分成兩段:[0,p)和[p，1]。(3)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r=rand(1，1),假如r<p，讓小球向右落下；若r>p，讓小球向左落下。(見備注）(4)將這一過程重復(fù)n次，并用直線連接小球落下時(shí)所經(jīng)過點(diǎn)，這么就模擬了小球從頂端隨機(jī)地落入某一格子過程。

200/229Galton釘板模擬(程序zxy9_1.m)(5)模擬小球堆積形狀。輸入扔球次數(shù)m（比如m=100)計(jì)算落在第i個(gè)格子小球數(shù)在總球數(shù)m中所占百分比f(i)當(dāng)模擬結(jié)束時(shí)，就得到了頻率:f(0),f(1),f(2),f(3),f(4)畫出它們圖形。就是小球堆積形狀201/229Galton釘板模擬(程序zxy9_1.m)（6）動(dòng)畫指令結(jié)構(gòu)moviein(n)：創(chuàng)建動(dòng)畫矩陣；

制作動(dòng)畫矩陣數(shù)據(jù)；getframe：拷貝動(dòng)畫矩陣；movie(Mat,m)：播放動(dòng)畫矩陣m次，（zxy7_6演示、講解，備注）202/229Galton釘板模擬(程序zxy9_1.m)運(yùn)行zxy9_1.m203/229一個(gè)模擬結(jié)果扔100個(gè)小球向右概率p=0.5要改變參數(shù)觀察一下不一樣模擬結(jié)果嗎？這很輕易.自己動(dòng)手試試吧204/229隨機(jī)變量及其分布當(dāng)你扔小球時(shí)，你和莊家關(guān)心什么？？？？？？？？？？？？？對(duì)，是小球落入格子編號(hào)數(shù)X（有些繞口，但很主要）在投球前，你不能說你小球會(huì)落在第0個(gè)格子。但你能夠說小球?qū)⒙湓诘赬個(gè)格子X是一個(gè)隨機(jī)數(shù)是概率論中主要討論對(duì)象-----隨機(jī)變量?。?！205/229隨機(jī)變量及其分布實(shí)際上,更應(yīng)該關(guān)心是X分布列分布列是小球落在各格子里概率：P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3),P(X=4)，P(X=5)想一想，它是不是表現(xiàn)了大量投球后小球堆積極限形狀呢備注（比較頻率和概率）206/229Bernoulli試驗(yàn)和二項(xiàng)分布不要把Galton釘板簡(jiǎn)單地看成消遣它是一個(gè)有用概率模型當(dāng)你學(xué)習(xí)了概率論，你將知道Bernoulli試驗(yàn)?zāi)Ｐ蚽重Bernoulli試驗(yàn)成功次數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(n,p).上面模擬對(duì)應(yīng)于n=5,p=0.5情形207/229二項(xiàng)分布列

隨機(jī)變量X～B(n,p)，則它分布列為208/229統(tǒng)計(jì)工具箱用指令f=binopdf(x,n,p)可計(jì)算二項(xiàng)分布分布列用F=binocdf(x,n,p)可計(jì)算二項(xiàng)分布分