非自適應(yīng)線性測量值恢復(fù)方法

非自適應(yīng)線性測量值恢復(fù)方法

2004年，d、kod等人根據(jù)泛函分析和近似理論，提出了一種新的信號采樣理論，即減少傳感器感知。與傳統(tǒng)的Nyquist采樣定律不同,壓縮感知同時完成了對信號的采樣和壓縮,在信號的采樣階段就很好地避免了大量冗余數(shù)據(jù)的產(chǎn)生。壓縮感知一經(jīng)提出,就引起人們的廣泛關(guān)注,在信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天,有著廣闊的發(fā)展前景。在壓縮感知理論中,信號的采樣速率不再取決于信號的帶寬,而是取決于信號本身的結(jié)構(gòu)和特性(稱為稀疏性,或可壓縮性)。其核心思想是:當(dāng)信號具有稀疏性或可壓縮性時,就可以通過一個非自適應(yīng)的線性測量過程將原信號映射到低維空間,得到少量的測量值,然后通過求解一個稀疏最優(yōu)化問題就可以恢復(fù)原始信號。總地來說,壓縮感知過程包括3個主要問題:信號的稀疏表示、信號的線性測量和信號的重建。本文主要研究信號的線性測量,并介紹壓縮感知測量矩陣。1域的變換+壓縮感知的測量過程壓縮感知的研究對象是稀疏信號,考慮RN空間中一個N×1維的信號x,如果信號x僅有少量的非零分量,或者說非零分量的個數(shù)K<<N,就稱信號x本身稀疏。然而現(xiàn)實中的信號大都本身并不稀疏,信號的稀疏表示是尋找信號的一個稀疏變換,將信號x投影到RN空間中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基{Ψi|i=1,2,…,N}上:其中變換系數(shù)θi=〈x,Ψi〉,i=1,2,…,N;θ=[θ1,θ2,…,θN]T是一個N×1維的變換系數(shù)向量,Ψ=[Ψ1,Ψ2,…,ΨN]是N×N維的變換矩陣。如果變換后向量θ中僅有K<<N個非零系數(shù)時,則稱信號x是Ψ域中的K-稀疏信號,θ是其稀疏變換。壓縮感知的測量過程是對稀疏信號同時進(jìn)行采樣和壓縮。采樣指將信號x投影到一個與變換矩陣Ψ不相關(guān)的測量矩陣Φ上,壓縮指測量過程完成了信號由高維到低維的映射,即:其中測量矩陣Φ是一個M×N(M<<N)維矩陣,y是壓縮后的M×1維的測量信號。將式(1)中的x=Ψθ代入式(2),有:其中A=ΦΨ為M×N維的矩陣,稱為感知矩陣。信號的重建是從M維的測量信號y恢復(fù)N維的原始信號x,由于M<<N,直接求解式(2)的逆問題是一個病態(tài)問題,無法求解。但是如果信號x具有稀疏性,式(3)的θ中僅有K個非零系數(shù),只要滿足M≥K,即可以通過求解式(3)的逆問題得到稀疏變換信號θ,再代回式(1)就可以進(jìn)一步恢復(fù)出原始信號x。2壓縮傳感器感覺測量矩陣2.1隨機(jī)矩陣的設(shè)計壓縮感知的測量過程是將N維稀疏信號x投影到測量矩陣Φ上面,得到M維測量信號y。信號重建是從M維的測量信號y恢復(fù)N維的稀疏信號x,是求解一個欠定線性方程組的過程。如何才能保證得到唯一的稀疏解?Candè?E等人指出,只要感知矩陣A滿足如下形式的RIP(RestrictedIsometryPrinciple)特性,就能保證解的存在和唯一性:其中常數(shù)εK∈(0,1),稱為RIP常數(shù)。具有什么特征的測量矩陣才能保證感知矩陣A滿足RIP特性?DonohoD給出了測量矩陣的3個特征:(1)測量矩陣的列向量組成的子矩陣的最小奇異值應(yīng)大于一定的常數(shù),即列向量滿足一定的線性獨立性;(2)測量矩陣的列向量要體現(xiàn)出某種類似噪聲的獨立隨機(jī)性;(3)滿足稀疏度的解是滿足l1范數(shù)最小的向量。具有以上3個特征的矩陣都可以作為壓縮感知測量矩陣。在這3個特征的指導(dǎo)下,目前測量矩陣的設(shè)計主要有3類:隨機(jī)矩陣、確定性矩陣和部分隨機(jī)矩陣。(1)隨機(jī)測量矩陣:如高斯矩陣、貝努利矩陣等。隨機(jī)矩陣可以用較少的采樣值獲得精確的重建,但是隨機(jī)測量矩陣自身存在的不確定性會給矩陣存儲和硬件實現(xiàn)帶來困難,也會造成仿真實驗的不確定性。(2)確定性測量矩陣:如多項式測量矩陣等。相比隨機(jī)測量矩陣,確定性測量矩陣可以節(jié)省存儲空間,易于硬件實現(xiàn),也更易于設(shè)計快速算法,但是其重建效果較差,精確重建需要的測量值較多。(3)部分隨機(jī)測量矩陣:如部分正交矩陣、部分哈達(dá)瑪矩陣、托普利茲和輪換矩陣等。部分隨機(jī)矩陣既有部分的隨機(jī)性,又兼具一定的確定性,性能較好,硬件實現(xiàn)也相對容易。部分隨機(jī)測量矩陣的構(gòu)造方法主要有兩種,一是先生成一個N×N維的矩陣Φ0,然后再從中隨機(jī)選取M行,構(gòu)成M×N維的測量矩陣Φ,如部分正交矩陣和部分哈達(dá)瑪矩陣。二是先生成一個N維的行向量,再由N維的行向量循環(huán)移位構(gòu)造剩余的M-1行,得到M×N維的測量矩陣Φ,如輪換矩陣。廣義輪換矩陣是輪換矩陣的改進(jìn),也是一種性能較好的部分隨機(jī)矩陣,其構(gòu)造方式是采用[1,-1]作為向量原子,隨機(jī)生成長度為N的行向量作為測量矩陣的第一行,采用依次循環(huán)的方式得到剩余的M-1行,且在構(gòu)造剩余的M-1行時,對每次移到前端的元素都乘以一個固定的系數(shù)α(α>1)。矩陣形式如下:其中c1,c2,c3,…,cn∈{1,-1}。廣義輪換矩陣中系數(shù)α的添加使得列向量之間的非相關(guān)性有了很大的提高,保證了列向量之間的線性獨立性,但列向量應(yīng)有的獨立隨機(jī)性卻難以體現(xiàn),而且廣義輪換矩陣不夠稀疏,要重建信號需要較多的測量值,運算復(fù)雜度也比較高。2.2線性無關(guān)性問題基于正交基線性表示的矩陣構(gòu)造方法是一種改進(jìn)的測量矩陣構(gòu)造方法,其原理是先生成一個M×M維的正交矩陣Φ0,再將Φ0的M個列向量看做正交基,利用正交基線性表示剩余的N-M列,就構(gòu)成了M×N的測量矩陣Φ。為了保證得到的測量矩陣符合要求,正交基的線性系數(shù)至關(guān)重要。由于M維空間里最大的線性無關(guān)組是M個,所以由正交基線性表示的φM+1、φM+2、…、φN必然與前面的φ1、φ2、…、φM有一定的相關(guān)性,而為了保證這種相關(guān)性最小,最理想的情況就是φM+1、φM+2、…、φN中任意一個向量與φ1、φ2、…、φM中任意M-1個向量線性無關(guān),即要求正交基線性系數(shù)應(yīng)全部為非零實數(shù)。而φM+1、φM+2、…、φN之間的線性無關(guān)性問題可以轉(zhuǎn)化為構(gòu)造線性無關(guān)系數(shù)向量的問題,高斯隨機(jī)數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)正交基系數(shù),其本身有較好的多樣性,能產(chǎn)生多組非線性相關(guān)的系數(shù)序列,適合壓縮比M/N≤0.5(即N-M≥M)的情況,可以保證φM+1、φM+2、…、φN之間有較好的線性獨立性,但是無法保證系數(shù)的非零性。通過循環(huán)直積和QR分解構(gòu)造的偽隨機(jī)數(shù)具有正交性、線性無關(guān),可以作為正交基線性系數(shù)。但是因為此種方法最多只能構(gòu)造M個正交的系數(shù)序列,所以只適合壓縮比M/N≥0.5(即N-M≤M)的情況。2.3mm維廣義變換矩陣的建立針對廣義輪換矩陣的缺點做出改進(jìn),并結(jié)合正交基線性表示的測量矩陣構(gòu)造方法提出一種適合壓縮比較小的偽隨機(jī)數(shù),以此作為正交基線性系數(shù),構(gòu)造出了新的測量矩陣——基于正交基線性表示的二進(jìn)制生成矩陣。首先,對廣義輪換矩陣進(jìn)行改進(jìn)。針對[1,-1]作為原子生成的測量矩陣不夠稀疏,選擇二進(jìn)制向量原子來生成構(gòu)造向量。二進(jìn)制向量原子是計算機(jī)本身語言,硬件實現(xiàn)更簡單,且生成的測量矩陣增加了很多零值,稀疏性更好,減少了測量數(shù)和運算復(fù)雜度。然后,利用正交基線性表示的思想構(gòu)造測量矩陣。在構(gòu)造新的測量矩陣時,首先生成一個M×M維的廣義輪換矩陣C,將其改造成一個正交矩陣Φ0,把矩陣的列向量看作正交基,利用正交基的線性組合來表示剩余N-M列,在線性系數(shù)選擇時,采用確定數(shù)+隨機(jī)數(shù)的偽隨機(jī)數(shù),隨機(jī)數(shù)選擇性能優(yōu)秀的高斯隨機(jī)數(shù),確定數(shù)選擇不為0的實數(shù),只要能保證系數(shù)的非零即可。此偽隨機(jī)數(shù)構(gòu)造方法簡單,并可以通過確定數(shù)的選擇有效控制系數(shù)的值,保證系數(shù)是所需要的非零的隨機(jī)數(shù)。由高斯隨機(jī)數(shù)多樣性、可以產(chǎn)生多組線性無關(guān)的系數(shù)序列等特點可知,此類隨機(jī)數(shù)特別適合壓縮比M/N≤0.5的情況。具體構(gòu)造過程如下:(1)選擇向量原子,構(gòu)造一個長度為M的行向量u=[1,0,1,0,…]。對向量的元素進(jìn)行隨機(jī)置換得到矩陣第一行u1=[ci,cj,…,cm,cn],式中ci,cj,…,cm,cn∈{1,0}。這可以增加測量矩陣與信號之間的非相關(guān)性,保證測量矩陣的性質(zhì)。(2)利用上步構(gòu)造出的長度為M的向量u1作為第一行,利用廣義輪換的思想,依次循環(huán)來生成所需的M×M維的廣義輪換矩陣,系數(shù)α(α>0)保證了列向量之間線性獨立性。所得矩陣形式如下:(3)將步驟(2)得到的M×M維廣義輪換矩陣C改造成正交矩陣Φ0。對矩陣C的列向量進(jìn)行正交歸一化得到正交矩陣Φ0=[φ1,φ2,…,φM]M×M,其中φ1,φ2,…,φM是正交矩陣的列向量,也是所需的標(biāo)準(zhǔn)正交基。(4)利用步驟(3)得到的M×M維的正交矩陣Φ0構(gòu)造M×N維的測量矩陣Φ。生成確定數(shù)+隨機(jī)數(shù)組合的M維偽隨機(jī)數(shù)向量fM+1,fM+2,…,fN作為正交基線性系數(shù),線性表示剩余的N-M個列向量,得到M×N維的測量矩陣Φ=[φ1,φ2,…,φM,φM+1,φM+2,…,φN]M×N,其中φM+1=Φ0fM+1,…,φN=Φ0fN。為了保證測量矩陣滿足RIP特性,對列向量進(jìn)行歸一化后得到最終的測量矩陣。3實驗結(jié)果分析為了驗證構(gòu)造的新測量矩陣的性能,采用Matlab圖像庫中提供的標(biāo)準(zhǔn)256×256Lena圖像進(jìn)行仿真實驗。首先利用小波變換對原圖像進(jìn)行稀疏化處理,然后分別選用新矩陣、部分哈達(dá)瑪、托普利茲、廣義輪換、部分正交等測量矩陣對稀疏化后的圖像進(jìn)行測量,最后采用OMP重建算法對壓縮后的圖像信號進(jìn)行恢復(fù),得到恢復(fù)圖像。針對壓縮比M/N≤0.5的情況,得到圖1所示的峰值信噪比(PSNR)性能比較圖。由實驗結(jié)果可以看出,廣義輪換矩陣的性能要優(yōu)于其他測量矩陣,而因為新的測量矩陣是由廣義輪換矩陣改進(jìn)了向量原子后得到的,所以針對不同的壓縮比,新矩陣的性能變化曲線與廣義輪換矩陣相似,但整體性能要比廣義輪換矩陣高出3dB左右。在壓縮比較小時,新矩陣相比于其他測量矩陣具有更突出的優(yōu)勢,驗證了確定數(shù)+高斯隨機(jī)數(shù)的偽隨機(jī)數(shù)更適合這種壓縮比較小的情況。整體而言,對于壓縮比M/N≤0.5的情況,新的測量矩陣在和其他部分測量矩陣的對比中表現(xiàn)出了更好的性能。圖2給出了256×256Lena圖像的原始圖像和利用新的測量矩陣測量后恢復(fù)的圖像,此處選擇壓縮比M/N=0.5,此時的峰值信噪比PSNR達(dá)到了30.28。本文旨在研究壓縮感知中的測量矩陣,改進(jìn)了廣義輪換矩陣的向量原子,結(jié)合正交基線性表示的構(gòu)造方法,提出用確定數(shù)+隨機(jī)