非自適應線性測量值恢復方法

非自適應線性測量值恢復方法

2004年，d、kod等人根據(jù)泛函分析和近似理論，提出了一種新的信號采樣理論，即減少傳感器感知。與傳統(tǒng)的Nyquist采樣定律不同,壓縮感知同時完成了對信號的采樣和壓縮,在信號的采樣階段就很好地避免了大量冗余數(shù)據(jù)的產(chǎn)生。壓縮感知一經(jīng)提出,就引起人們的廣泛關注,在信息技術飛速發(fā)展的今天,有著廣闊的發(fā)展前景。在壓縮感知理論中,信號的采樣速率不再取決于信號的帶寬,而是取決于信號本身的結構和特性(稱為稀疏性,或可壓縮性)。其核心思想是:當信號具有稀疏性或可壓縮性時,就可以通過一個非自適應的線性測量過程將原信號映射到低維空間,得到少量的測量值,然后通過求解一個稀疏最優(yōu)化問題就可以恢復原始信號。總地來說,壓縮感知過程包括3個主要問題:信號的稀疏表示、信號的線性測量和信號的重建。本文主要研究信號的線性測量,并介紹壓縮感知測量矩陣。1域的變換+壓縮感知的測量過程壓縮感知的研究對象是稀疏信號,考慮RN空間中一個N×1維的信號x,如果信號x僅有少量的非零分量,或者說非零分量的個數(shù)K<<N,就稱信號x本身稀疏。然而現(xiàn)實中的信號大都本身并不稀疏,信號的稀疏表示是尋找信號的一個稀疏變換,將信號x投影到RN空間中的一組標準正交基{Ψi|i=1,2,…,N}上:其中變換系數(shù)θi=〈x,Ψi〉,i=1,2,…,N;θ=[θ1,θ2,…,θN]T是一個N×1維的變換系數(shù)向量,Ψ=[Ψ1,Ψ2,…,ΨN]是N×N維的變換矩陣。如果變換后向量θ中僅有K<<N個非零系數(shù)時,則稱信號x是Ψ域中的K-稀疏信號,θ是其稀疏變換。壓縮感知的測量過程是對稀疏信號同時進行采樣和壓縮。采樣指將信號x投影到一個與變換矩陣Ψ不相關的測量矩陣Φ上,壓縮指測量過程完成了信號由高維到低維的映射,即:其中測量矩陣Φ是一個M×N(M<<N)維矩陣,y是壓縮后的M×1維的測量信號。將式(1)中的x=Ψθ代入式(2),有:其中A=ΦΨ為M×N維的矩陣,稱為感知矩陣。信號的重建是從M維的測量信號y恢復N維的原始信號x,由于M<<N,直接求解式(2)的逆問題是一個病態(tài)問題,無法求解。但是如果信號x具有稀疏性,式(3)的θ中僅有K個非零系數(shù),只要滿足M≥K,即可以通過求解式(3)的逆問題得到稀疏變換信號θ,再代回式(1)就可以進一步恢復出原始信號x。2壓縮傳感器感覺測量矩陣2.1隨機矩陣的設計壓縮感知的測量過程是將N維稀疏信號x投影到測量矩陣Φ上面,得到M維測量信號y。信號重建是從M維的測量信號y恢復N維的稀疏信號x,是求解一個欠定線性方程組的過程。如何才能保證得到唯一的稀疏解?Candè?E等人指出,只要感知矩陣A滿足如下形式的RIP(RestrictedIsometryPrinciple)特性,就能保證解的存在和唯一性:其中常數(shù)εK∈(0,1),稱為RIP常數(shù)。具有什么特征的測量矩陣才能保證感知矩陣A滿足RIP特性?DonohoD給出了測量矩陣的3個特征:(1)測量矩陣的列向量組成的子矩陣的最小奇異值應大于一定的常數(shù),即列向量滿足一定的線性獨立性;(2)測量矩陣的列向量要體現(xiàn)出某種類似噪聲的獨立隨機性;(3)滿足稀疏度的解是滿足l1范數(shù)最小的向量。具有以上3個特征的矩陣都可以作為壓縮感知測量矩陣。在這3個特征的指導下,目前測量矩陣的設計主要有3類:隨機矩陣、確定性矩陣和部分隨機矩陣。(1)隨機測量矩陣:如高斯矩陣、貝努利矩陣等。隨機矩陣可以用較少的采樣值獲得精確的重建,但是隨機測量矩陣自身存在的不確定性會給矩陣存儲和硬件實現(xiàn)帶來困難,也會造成仿真實驗的不確定性。(2)確定性測量矩陣:如多項式測量矩陣等。相比隨機測量矩陣,確定性測量矩陣可以節(jié)省存儲空間,易于硬件實現(xiàn),也更易于設計快速算法,但是其重建效果較差,精確重建需要的測量值較多。(3)部分隨機測量矩陣:如部分正交矩陣、部分哈達瑪矩陣、托普利茲和輪換矩陣等。部分隨機矩陣既有部分的隨機性,又兼具一定的確定性,性能較好,硬件實現(xiàn)也相對容易。部分隨機測量矩陣的構造方法主要有兩種,一是先生成一個N×N維的矩陣Φ0,然后再從中隨機選取M行,構成M×N維的測量矩陣Φ,如部分正交矩陣和部分哈達瑪矩陣。二是先生成一個N維的行向量,再由N維的行向量循環(huán)移位構造剩余的M-1行,得到M×N維的測量矩陣Φ,如輪換矩陣。廣義輪換矩陣是輪換矩陣的改進,也是一種性能較好的部分隨機矩陣,其構造方式是采用[1,-1]作為向量原子,隨機生成長度為N的行向量作為測量矩陣的第一行,采用依次循環(huán)的方式得到剩余的M-1行,且在構造剩余的M-1行時,對每次移到前端的元素都乘以一個固定的系數(shù)α(α>1)。矩陣形式如下:其中c1,c2,c3,…,cn∈{1,-1}。廣義輪換矩陣中系數(shù)α的添加使得列向量之間的非相關性有了很大的提高,保證了列向量之間的線性獨立性,但列向量應有的獨立隨機性卻難以體現(xiàn),而且廣義輪換矩陣不夠稀疏,要重建信號需要較多的測量值,運算復雜度也比較高。2.2線性無關性問題基于正交基線性表示的矩陣構造方法是一種改進的測量矩陣構造方法,其原理是先生成一個M×M維的正交矩陣Φ0,再將Φ0的M個列向量看做正交基,利用正交基線性表示剩余的N-M列,就構成了M×N的測量矩陣Φ。為了保證得到的測量矩陣符合要求,正交基的線性系數(shù)至關重要。由于M維空間里最大的線性無關組是M個,所以由正交基線性表示的φM+1、φM+2、…、φN必然與前面的φ1、φ2、…、φM有一定的相關性,而為了保證這種相關性最小,最理想的情況就是φM+1、φM+2、…、φN中任意一個向量與φ1、φ2、…、φM中任意M-1個向量線性無關,即要求正交基線性系數(shù)應全部為非零實數(shù)。而φM+1、φM+2、…、φN之間的線性無關性問題可以轉化為構造線性無關系數(shù)向量的問題,高斯隨機數(shù)作為標準正交基系數(shù),其本身有較好的多樣性,能產(chǎn)生多組非線性相關的系數(shù)序列,適合壓縮比M/N≤0.5(即N-M≥M)的情況,可以保證φM+1、φM+2、…、φN之間有較好的線性獨立性,但是無法保證系數(shù)的非零性。通過循環(huán)直積和QR分解構造的偽隨機數(shù)具有正交性、線性無關,可以作為正交基線性系數(shù)。但是因為此種方法最多只能構造M個正交的系數(shù)序列,所以只適合壓縮比M/N≥0.5(即N-M≤M)的情況。2.3mm維廣義變換矩陣的建立針對廣義輪換矩陣的缺點做出改進,并結合正交基線性表示的測量矩陣構造方法提出一種適合壓縮比較小的偽隨機數(shù),以此作為正交基線性系數(shù),構造出了新的測量矩陣——基于正交基線性表示的二進制生成矩陣。首先,對廣義輪換矩陣進行改進。針對[1,-1]作為原子生成的測量矩陣不夠稀疏,選擇二進制向量原子來生成構造向量。二進制向量原子是計算機本身語言,硬件實現(xiàn)更簡單,且生成的測量矩陣增加了很多零值,稀疏性更好,減少了測量數(shù)和運算復雜度。然后,利用正交基線性表示的思想構造測量矩陣。在構造新的測量矩陣時,首先生成一個M×M維的廣義輪換矩陣C,將其改造成一個正交矩陣Φ0,把矩陣的列向量看作正交基,利用正交基的線性組合來表示剩余N-M列,在線性系數(shù)選擇時,采用確定數(shù)+隨機數(shù)的偽隨機數(shù),隨機數(shù)選擇性能優(yōu)秀的高斯隨機數(shù),確定數(shù)選擇不為0的實數(shù),只要能保證系數(shù)的非零即可。此偽隨機數(shù)構造方法簡單,并可以通過確定數(shù)的選擇有效控制系數(shù)的值,保證系數(shù)是所需要的非零的隨機數(shù)。由高斯隨機數(shù)多樣性、可以產(chǎn)生多組線性無關的系數(shù)序列等特點可知,此類隨機數(shù)特別適合壓縮比M/N≤0.5的情況。具體構造過程如下:(1)選擇向量原子,構造一個長度為M的行向量u=[1,0,1,0,…]。對向量的元素進行隨機置換得到矩陣第一行u1=[ci,cj,…,cm,cn],式中ci,cj,…,cm,cn∈{1,0}。這可以增加測量矩陣與信號之間的非相關性,保證測量矩陣的性質。(2)利用上步構造出的長度為M的向量u1作為第一行,利用廣義輪換的思想,依次循環(huán)來生成所需的M×M維的廣義輪換矩陣,系數(shù)α(α>0)保證了列向量之間線性獨立性。所得矩陣形式如下:(3)將步驟(2)得到的M×M維廣義輪換矩陣C改造成正交矩陣Φ0。對矩陣C的列向量進行正交歸一化得到正交矩陣Φ0=[φ1,φ2,…,φM]M×M,其中φ1,φ2,…,φM是正交矩陣的列向量,也是所需的標準正交基。(4)利用步驟(3)得到的M×M維的正交矩陣Φ0構造M×N維的測量矩陣Φ。生成確定數(shù)+隨機數(shù)組合的M維偽隨機數(shù)向量fM+1,fM+2,…,fN作為正交基線性系數(shù),線性表示剩余的N-M個列向量,得到M×N維的測量矩陣Φ=[φ1,φ2,…,φM,φM+1,φM+2,…,φN]M×N,其中φM+1=Φ0fM+1,…,φN=Φ0fN。為了保證測量矩陣滿足RIP特性,對列向量進行歸一化后得到最終的測量矩陣。3實驗結果分析為了驗證構造的新測量矩陣的性能,采用Matlab圖像庫中提供的標準256×256Lena圖像進行仿真實驗。首先利用小波變換對原圖像進行稀疏化處理,然后分別選用新矩陣、部分哈達瑪、托普利茲、廣義輪換、部分正交等測量矩陣對稀疏化后的圖像進行測量,最后采用OMP重建算法對壓縮后的圖像信號進行恢復,得到恢復圖像。針對壓縮比M/N≤0.5的情況,得到圖1所示的峰值信噪比(PSNR)性能比較圖。由實驗結果可以看出,廣義輪換矩陣的性能要優(yōu)于其他測量矩陣,而因為新的測量矩陣是由廣義輪換矩陣改進了向量原子后得到的,所以針對不同的壓縮比,新矩陣的性能變化曲線與廣義輪換矩陣相似,但整體性能要比廣義輪換矩陣高出3dB左右。在壓縮比較小時,新矩陣相比于其他測量矩陣具有更突出的優(yōu)勢,驗證了確定數(shù)+高斯隨機數(shù)的偽隨機數(shù)更適合這種壓縮比較小的情況。整體而言,對于壓縮比M/N≤0.5的情況,新的測量矩陣在和其他部分測量矩陣的對比中表現(xiàn)出了更好的性能。圖2給出了256×256Lena圖像的原始圖像和利用新的測量矩陣測量后恢復的圖像,此處選擇壓縮比M/N=0.5,此時的峰值信噪比PSNR達到了30.28。本文旨在研究壓縮感知中的測量矩陣,改進了廣義輪換矩陣的向量原子,結合正交基線性表示的構造方法,提出用確定數(shù)+隨機