導(dǎo)數(shù)與恒成立問題

《導(dǎo)數(shù)與恒成立問題》教學(xué)設(shè)計(jì)南寧二中黃邵華教學(xué)背景分析：《導(dǎo)數(shù)》是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一個章節(jié)，在每年的高考當(dāng)中也幾乎是必考題，而恒成立問題則是導(dǎo)數(shù)大題中常見的一種類型.在前段時間的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)和掌握了導(dǎo)數(shù)的定義及其基本應(yīng)用（如求切線，求單調(diào)區(qū)間，求極值和最值等），故在此段內(nèi)容的學(xué)習(xí)后，應(yīng)當(dāng)注重知識的深化和綜合.恒成立問題是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用中的常見問題，并且與剛剛結(jié)束的導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用的相關(guān)知識結(jié)合較為緊密，故特選此題作為一個專題進(jìn)行教學(xué).高二（25）班的學(xué)生是我校高二年級的一個普通班，此班學(xué)生頭腦靈活，反應(yīng)比較靈敏，但學(xué)生性格普遍沉悶，雖然大腦在積極思考，但在課上不善于表達(dá).因此在教學(xué)方式上以教師問題為引導(dǎo)，通過由簡到難的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)解決恒成立問題的常用辦法.教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：掌握利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題的方法；過程與方法：通過多次變式訓(xùn)練的過程，體會將復(fù)雜問題化為簡單問題，將陌生問題化為熟悉問題的轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，體會導(dǎo)數(shù)的工具性作用；情感態(tài)度與價值觀：通過對相關(guān)數(shù)學(xué)問題的思考和分析，感受事物是普通聯(lián)系的辯證主義思想，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，培養(yǎng)數(shù)學(xué)鉆研精神.教學(xué)重點(diǎn)：1、將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題2、分離變量法求解含參的恒成立問題教學(xué)難點(diǎn)：如何將其他問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題教學(xué)過程：環(huán)節(jié)一、復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用：求切線方程、求極值、求單調(diào)區(qū)間以及求函數(shù)的最值.求切線方程>0求切線方程>0<0=0求函數(shù)極值求單調(diào)區(qū)間求函數(shù)最值教師提出：這些是利用導(dǎo)數(shù)可以解決的幾類問題，但是很多問題并不是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，而是將這些導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用綜合起來解決一個較為復(fù)雜的問題，這樣復(fù)雜的問題很多，但基本都可以轉(zhuǎn)化為這幾種簡單的問題，今天我們介紹其中的一類問題：恒成立問題.環(huán)節(jié)二、新課講授例（2010年安徽高考理科17題改編）：已知函數(shù)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：

法1：由恒成立可得，的最小值應(yīng)該大于等于0.，令可得，.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；因此，解得.

法2（分離變量法）：恒成立，令，則有，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；因此，所以.▲教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：；變式一：已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：由在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，即：在上恒成立，易得：（或由分離變量法求得）.▲教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：；變式二：求證：當(dāng)且時，有.證明：設(shè)，要證原不等式，即證：在上恒成立.，由例題結(jié)論可得當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞增，所以，綜上所述：成立.▲教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：；環(huán)節(jié)三、鞏固深化練習(xí)（2012年天津高考理科20題改編）：已知函數(shù)，對于任意的，有，求的最小值.解析：設(shè)，則在恒成立，，令.若，則，則在恒成立，在單調(diào)遞減，因此，符合題意；若，則，則時，在單調(diào)遞增，因此，不符合題意.綜上所述，，即的最小值為.教師通過程序框圖將此題的解題步驟進(jìn)行分析，并強(qiáng)調(diào)：1、新課標(biāo)理念“適當(dāng)?shù)哪Ｊ交睂忸}的幫助；2、解題時縷清思路，不斷地分析題目所給的問題和條件，尋找每個步驟的突破口.環(huán)節(jié)四、課堂小結(jié)1、知識層面：恒成立問題的解決辦法：轉(zhuǎn)化為最值問題，求參數(shù)范圍時還可采用分離變量法；2、數(shù)學(xué)思想方法層面：利用轉(zhuǎn)化的思想將復(fù)雜與陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡單與熟悉的問題；3、學(xué)習(xí)方法與態(tài)度層面：即要注重將復(fù)雜問題進(jìn)行分析與分解，更重要的是對基礎(chǔ)知識的掌握和鞏固.環(huán)節(jié)五、課后思考思