2023-2024學年浙江省A9協(xié)作體高二上學期暑假返校聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat22頁2023-2024學年浙江省A9協(xié)作體高二上學期暑假返校聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．若，則復數(shù)的虛部為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法求復數(shù)，進而結(jié)合虛部的概念分析求解.【詳解】由題意可得：，所以復數(shù)的虛部為1.故選：B.2．如圖所示，等腰梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，則平面圖形的面積為（

）

A． B．12C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)直觀圖畫出原圖，由此計算出的面積.【詳解】在直觀圖中，，在原圖中，，，所以平面圖形的面積為.故選：A

3．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一枚骰子奇數(shù)面朝上”，事件“第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，事件“兩枚骰子向上點數(shù)之和為”.則下列結(jié)論正確的是（

）A．與對立 B．與互斥C． D．與獨立【答案】D【分析】根據(jù)對立事件、互斥事件、古典概率、相互獨立事件等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，事件“第一枚骰子奇數(shù)面朝上”，事件“第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，兩個事件可以同時發(fā)生，即“第一枚骰子奇數(shù)面朝上，第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，所以與不是對立事件，A選項錯誤.B選項，事件“第一枚骰子奇數(shù)面朝上”，事件“兩枚骰子向上點數(shù)之和為”，兩個事件可以同時發(fā)生，如“第一枚骰子為點，第二骰子為點”，所以與不是互斥事件，B選項錯誤.基本事件的總數(shù)為，事件“兩枚骰子向上點數(shù)之和為”，包含的基本事件為：，共個，所以，C選項錯誤.事件“第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，則，事件“第二枚骰子偶數(shù)面朝上，兩枚骰子向上點數(shù)之和為”，包含的基本事件為：，所以，所以，所以與獨立，所以D選項正確.故選：D4．已知向量，，若是在上的投影向量，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的坐標運算可得，進而結(jié)合投影向量的概念運算求解.【詳解】由題意可得：，所以.故選：C.5．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，，，，將該三角形繞AC邊旋轉(zhuǎn)得一個旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用余弦定理可得，進而可得該旋轉(zhuǎn)體為大圓錐去掉小圓錐，結(jié)合圓錐的體積公式運算求解.【詳解】因為，即，由余弦定理可得，且，可得，又因為，，則，即，解得或（舍去），如圖，將該三角形繞AC邊旋轉(zhuǎn)得一個旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體為大圓錐去掉小圓錐，

可得，則，大圓錐的底面半徑為3，高為，體積為，小圓錐的底面半徑為3，高為，體積為，所以該旋轉(zhuǎn)體體積為.故選：B.6．一組數(shù)據(jù)由6個數(shù)組成，將其中一個數(shù)由4改為6，另一個數(shù)由12改為10，其余數(shù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)，則新的一組數(shù)的方差減去原一組數(shù)的方差的差為（

）A．4 B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)方差的計算公式求得兩組數(shù)據(jù)的方差，進而求得正確答案.【詳解】設原來的數(shù)據(jù)為，平均數(shù)為，方差為新的數(shù)據(jù)為，平均數(shù)為，方差為，所以.故選：C7．如圖，點、、、、為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】結(jié)合線面的位置關系以及線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)可確定正確選項．【詳解】對于A選項，如下圖所示，在正方體中，且，因為、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，

因為平面，平面，所以，平面，同理可證平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，故平面，故A滿足；對于B選項，如下圖所示，連接，在正方體中，且，

因為、分別為、的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，故，因為、分別為、的中點，則，所以，，因為平面，平面，所以，平面，故B滿足；對于C選項，如下圖所示，在正方體中，取的中點，連接、、，

因為且，、分別為、的中點，所以且，故四邊形為平行四邊形，則，因為、分別為、的中點，所以，，則，所以，、、、四點共面，因為且，則四邊形為平行四邊形，所以，因為、分別為、的中點，則，所以，，因為平面，平面，所以，平面，故C滿足；對于D選項，如下圖所示，在正方體中，取的中點，連接、、、、、，

因為且，、分別為、的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，則，因為、分別為、的中點，所以，故，所以，、、、四點共面，同理可證，故，同理可得，反設平面，因為，且平面，則平面，但與平面有公共點，這與平面矛盾，故平面，故D不滿足．故選：D．8．五面體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，，△ADE與都是邊長為2的等邊三角形，若點A，B，C，D，E，F(xiàn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到球心及球心在平面ABCD上的投影，根據(jù)題干信息得到各邊長，設出，利用半徑列出方程，求出，進而求出半徑，外接球表面積.【詳解】連接AC，BD交于點N，因為四邊形ABCD為矩形，則點N為矩形ABCD的外接圓圓心，連接，則平面ABCD，

取AD，BC的中點分別為G，H，連接EG，F(xiàn)H，則，，可得，因為，為等邊三角形，則，，且，平面EFHG，所以平面EFHG，且平面ABCD，可得平面平面EFHG，因為平面EFHG，且平面ABCD，所以平面EFHG，設，又因為，則，，，所以EF到平面ABCD的距離為，設，（若點O與E、F同側(cè)，則，若點O與E、F異側(cè)，則）則，設外接球的半徑為，因為，則，即，解得:，所以，所以球O的表面積為.故選：A.二、多選題9．有一組樣本數(shù)據(jù)，另一組樣本數(shù)據(jù)，其中，c為非零常數(shù)，則（

）A．兩組樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)相同 B．兩組樣本數(shù)據(jù)方差相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)相等 D．兩組樣本數(shù)據(jù)極差相同【答案】BD【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差，極差的概念及性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】設樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差，極差分別為，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差，極差分別為，因為，且，對于選項A：可知，且，所以，故A錯誤；對于選項B：可知，故B正確；不妨設因為，則兩組數(shù)據(jù)相對大小關系不變，所以，對于選項C：可知：，且，所以，故C錯誤；對于選項D：可知：，，即，故D正確；故選：BD.10．在復平面內(nèi)，復數(shù)，則（

）A．的模長為1B．在復平面內(nèi)對應的點在第二象限C．D．復數(shù)滿足，則【答案】ACD【分析】根據(jù)復數(shù)的模、復數(shù)對應點所在象限、共軛復數(shù)、復數(shù)乘法、復數(shù)模的幾何意義等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，，A選項正確.B選項，對應點為，在第一象限，B選項錯誤.C選項，，C選項正確.D選項，設，，表示點與的距離等于，所以點在以為圓心，半徑為的圓上，由于到原點的距離為，所以以為圓心，半徑為的圓經(jīng)過原點，所以的最大值等于這個圓的直徑，所以D選項正確.

故選：ACD11．已知l，m，n是三條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則（

）A．已知，，，若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)空間中線面關系逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：若，則，又因為，，則，可得，且，所以，故A正確；對于選項B：例如正三棱柱中，為側(cè)面，為底面，符合條件，顯然底邊的棱與側(cè)面不垂直，故B錯誤；對于選項C：若則∥，又因為∥，所以∥，故C正確；對于選項D：若，則或，故D錯誤；故選：AC.12．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則（

）A．若，則B．若，，則最大值為C．若，，，則滿足條件的三角形有兩個D．若，且，則為等邊三角形【答案】BCD【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、三角形的面積公式、正弦定理、余弦定理、向量運算等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，若，如，，所以A選項錯誤.B選項，，余弦定理得，，即，當且僅當時等號成立，由于三角形中，，所以，則，又，即，整理得，記得，所以的最大值為，所以B選項正確.C選項，若，，，則，所以，所以滿足條件的三角形有兩個，所以C選項正確.D選項，表示方向的單位向量；表示方向的單位向量，根據(jù)平面向量加法的幾何意義可知與的角平分線共線，由可知的角平分線與垂直，所以三角形是等腰三角形.而，所以為銳角，且，所以三角形是等邊三角形.故選：BCD【點睛】三角形的面積公式有多種表現(xiàn)形式，如、、海倫公式等等，在解題的過程中，要選取合適的公式來對問題進行求解.在解三角形的過程中，根據(jù)三角函數(shù)值求角，要注意解的個數(shù)是否唯一.三、填空題13．復數(shù)是關于的方程的一個根，則．【答案】3【分析】由根與方程的關系可得，解得即可計算出結(jié)果.【詳解】由題意可得，將代入方程可得，整理得；由復數(shù)概念可得，解得，所以.故答案為：314．某人在湖面之上2米處測得空中一氣球的仰角為30°，且測得湖中氣球倒影的俯角為60°，若不考慮水的折射和球的體積，則氣球離水面的高度為米．【答案】4【分析】結(jié)合題意作出示意圖，利用直角三角形中正切函數(shù)的定義得到關于氣球離水面的高度的方程，解之即可.【詳解】結(jié)合題意作出示意圖，易知點與點關于湖面對稱，則，，，，故，在中，，即，在中，，，故，則，即，故，所以氣球離水面的高度為4.故答案為：4.

15．在中，內(nèi)角所對應的邊分別為，，，，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)倍角公式結(jié)合正、余弦定理運算求解.【詳解】因為，則，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，即，整理得，解得，所以的長為.故答案為：.16．已知三棱錐中，，且與平面所成角余弦值為，當取得最大值時，二面角的正弦值為．【答案】/0.6【分析】利用二面角的定義結(jié)合導數(shù)研究函數(shù)的最值解三角形即可.【詳解】

如圖所示，作于E點，連接，作于F點，因為面，所以面，面，即，，又面，即面，故與平面所成角為，即，

①先討論F在線段DE上時，不妨設，則，易知，設，令，可得，即在上單調(diào)遞增，令，即此時函數(shù)單調(diào)遞減，故當時，取得最大值，又易知二面角的平面角為，此時.②如圖所示，當F位于DE延長線上時，同①，不妨設，則，易知，設，令，可得恒成立，即在上單調(diào)遞減，則無最值；

故答案為：.四、解答題17．已知向量與的夾角為，且，是單位向量.(1)分別求和的值；(2)若與共線，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用數(shù)量積的定義求解，根據(jù)求解；（2）由向量共線，結(jié)合平面向量基本定理列出方程組求解.【詳解】（1），.（2）若與共線，則存在，使得，即，又因為向量與不共線，所以，解得，所以.18．杭州年第屆亞運會將于年月日至月日舉行．隨著亞運會的臨近，亞運會的熱度持續(xù)提升．為讓更多的人了解亞運會運動項目和亞運精神，某大學舉辦了亞運會知識競賽，并從中隨機抽取了名學生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖求出這名學生中成績低于分的人數(shù)；(2)試估計這名學生成績的第百分位數(shù)；(3)若采用分層抽樣的方法從成績在，，的學生中共抽取人參加志愿者活動．現(xiàn)從這人中隨機抽取人分享活動經(jīng)驗，求抽取的人成績都在的概率．【答案】(1)18人(2)82.5(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接計算即可得解；（2）由百分位數(shù)的定義直接計算即可；（3）根據(jù)分層抽樣，列出基本事件，由古典概型的概率公式求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)可知：（2）成績小于80的頻率為，成績在的頻率為，因為，所以這名學生成績的第百分位數(shù)在內(nèi)，所以隨機抽取的100名學生成績的第75百分位數(shù)為.（3）因為成績在，，的學生人數(shù)所占比例為3:2:1，所以從成績在，，所抽取人數(shù)分別應抽取3人，2人，1人.記抽取成績在的3人為，成績在為.，共15種，抽取的2人成績都在的是，共3種，抽取的人成績都在的概率為.19．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A；(2)若，，的角平分線交BC于D，求AD的長．【答案】(1)；(2)2【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換運算求解即可；（2）先利用余弦定理可得，再結(jié)合面積關系運算求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：，且，即，又因為，則，可知，可得，又因為，所以.（2）由余弦定理可得，即，則，且，解得：，根據(jù)面積關系可得，即，解得：．20．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)面為等腰直角三角形，且，點為棱上的點，平面與棱交于點．

(1)求證：；(2)若，，求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先證得平面，然后利用線面平行的性質(zhì)定理來證得.（2）通過證明平面來證得平面平面．【詳解】（1）因為底面是正方形，所以，平面，平面，所以平面，又因為平面與交于點，平面，平面平面，所以．（2）側(cè)面為等腰直角三角形，且，即，，因為，，且兩直線在平面內(nèi)，可得平面，因為平面，則．又因為，，且兩直線在平面內(nèi)，則平面，因為平面，則，因為，所以為等腰三角形，所以點為的中點.又因為，所以為等腰直角三角形，因為平面，所以平面，因為平面，所以面平面.21．如圖，在中，，，點D，E分別在AB，AC上且滿足，，點F在線段DE上．(1)若，求；(2)若，且求；(3)求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設，，跟向量的線性運算可得，結(jié)合平面向量基本定理列式求解；（2）先用表示，再根據(jù)垂直關系可求得，進而可得結(jié)果；（3）取中點，根據(jù)題意分析可得，可知在上的垂足為F時，最小，運算求解即可.【詳解】（1）點F在線段上，則，使得，則，可得，又因為，，則，可得，解得，所以