2020-2021學年人教A版數(shù)學選修2-2學案：第二章推理與證明

第二章推理與證明

2.1合情推理與演繹推理

2.1.1合情推理

內(nèi)容標準學科素養(yǎng)

1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進加強直觀想象

行簡單的推理；提升數(shù)學運算

2.了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.嚴密邏輯推理

01謠前自主預(yù)習@-------------------------------------------------------掌握基本知識，注重基礎(chǔ)訓(xùn)練

授課提示：對應(yīng)學生用書第34頁

［基礎(chǔ)認識］

知識點一歸納推理

預(yù)習教材P70-72,思考并完成以下問題

(1)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電.

(2)統(tǒng)計學中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體.

以上屬于什么推理？

提示：屬于歸納推理.

知識梳理歸納推理

(1)定義：由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特

征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).

(2)特征：由部分到整體,由個別到一般的推理.

知識點二類比推理

預(yù)習教材P72-74,思考并完成以下問題

科學家對火星進行研究，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征：(I)火星也是繞太陽公轉(zhuǎn)、

繞軸自轉(zhuǎn)的行星；(2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)更替：(3)火星上大部分時間的溫度適合地

球上某些已知生物的生存，等等.由此，科學家猜想：火星上也可能有生命存在.他們使用

了什么樣的推理？

提示：類比推理.

知識梳理類比推理

(1)定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些旦知特征，推出另一類對

重也具有這些特征的推理稱為類比推理.

(2)特征：由特殊到特殊的推理.

知識點三合情推理

預(yù)習教材P74-77,思考并完成以下問題

歸納推理和類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系？

提示：區(qū)別：歸納推理是由特殊到一般的推理；而類比推理是由個別到個別的推理或是

由特殊到特殊的推理.

聯(lián)系：在前提為真時，歸納推理與類比推理的結(jié)論都可真可假.

知識梳理合情推理

(1)定義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再

進行歸納、類比,然后提出迪的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理，通俗地說，合情推理

就是合乎情理的推理.

(2)推理的過程

從具體問題出爰1~|觀察、分析、比較、聯(lián)想|-1歸納、類比|一|提出猜想

思考：1.歸納推理有哪些特點？

提示：(1)歸納推理是由幾個已知的特殊對象，歸納出一般性的結(jié)論，該結(jié)論超越了前提

所包含的范圍.如著名的哥德巴赫猜想、費馬猜想等.

(2)由歸納推理得到的結(jié)論帶有猜測的性質(zhì)，所以“前提真而結(jié)論假”的情況是有可能發(fā)

生的，結(jié)論是否正確，需要經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗，因此，歸納推理不能作為數(shù)學證明的

工具.

(3)一般地，如果歸納的個別對象越多，越具有代表性，那么得到的一般性結(jié)論也就越可

靠.

(4)歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結(jié)論，是科學發(fā)現(xiàn)的重要手段.通過歸納推理得到

的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.

2.類比推理有哪些特點？

提示：(1)類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測正在研究的事物的屬性，即

以原有認識作基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果.

(2)由類比推理得到的結(jié)論也具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否正確，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐

檢臉，因此，類比推理同歸納推理一樣也不能作為數(shù)學證明的工具.

(3)如果類比的兩類對象的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比

得出的結(jié)論就越可靠.

3.合情推理有哪些特點？

提示：(1)合情推理的根據(jù)是已有的事實和正確的結(jié)論(包括定義、定理、公理等)、實臉和

實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗等.

(2)合情推理的結(jié)論往往超越了前提所界定的范圍，僅僅是一種猜想，既可能為真，也可

能為假.

(3)在數(shù)學研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；合

情推理不能作為數(shù)學證明的工具，但常常能為我們提供證明的思路和方向.

I自我檢測］

1.如圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子的顏色

為()

A.白色B.黑色

C.白色可能性大D.黑色可能性大

解析：三個白色、兩個黑色，依次類推，出現(xiàn)以5為周期的重復(fù)現(xiàn)象，所以第36顆珠子

相當于新一輪的第一顆，故為白色.

答案：A

底X高

2.已知扇形的弧長為/,半徑為r,類比三角形的面積公式S=/?巴，可推知扇形面積

公式S制等于()

戶,尸

A.yB.~

C.yD.不可類比

解析：類比三角形的面積公式5=庭尹，則扇形的面積公式為5=弧長j半脛苦.

答案：C

3.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1:2,則它們的面積比為1:4,類似地，

在空間上，若兩個正四面體的棱長的比為I：2,則它們的體積比為.

解析：面積涉及兩個變量，故面積比為邊長比的平方；體積涉及到三個變量，故體積比

是邊長比的立方.

答案：1：8

02謠堂合作探究?洞悉學習方向，把脈核心問題

授課提示：對應(yīng)學生用書第35頁

探究一歸納推理

［例1］(1)觀察下列等式：

1+1=2X1,

(2+l)(2+2)=22XlX3,

(3+l)(3+2)(3+3)=23X1X3X5,

照此規(guī)律，第〃個等式可為.

Y

(2)已知/u)=有，設(shè)力a)=/u),%(工)=工1伉-1。))(〃>1,且〃￡N*),則方⑴的表達式為

,猜想啟x)(〃￡N*)的表達式為.

［解析］(1)本題主要考查數(shù)字的推理，由(1+1),(2+1)(2+2);(3+1)(3+2)(3+3),可以

推理出第n個等式的等號左邊式子為(〃+1)(〃+2)(〃+3)…(〃+〃)，

由2X1,22X1X3,23X1X3X5,可以推理出第n個式子的等號右邊式子為

2〃X1X3X5X…X(2〃—l).

(2歷(%)一］_『M*x)_于1.(X)］一］_:㈤

x

.x1—2x*

力(x)=力仍(x)］=l.2我(X)

1-2xX

Y

猜想4(犬)=］_2廠.

［答案］(1)(〃+1)(〃+2)(〃+3)…(〃+〃)=2"X1X3X5X…X(2〃-1)

xX

(2)1-4X啟.=］一2"以

延伸探究在本例(2)中，若把'/(X)=%T(AT(X))"改為'/(x)=/5i(x))”，其他條件不

變，試猜想工仆)(xGN*)的表達式.

YY

［解析j??\/(x)=jTzp?\/ia)=yTG,

義?；fn(X)=Nf〃T⑻,

X

1~XX

?"a)=A/i(x))=1=]_2-

X

1-2xx

fi(X)=yg(x))="-=~\—3x，

l~l-2x

1—3xx

力⑴=A6a))=——

Li-3x

x

因此，可以猜想力(x)==；

方法技巧(1)已知等式或不等式進行歸納推理的方法

①要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；

②要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形成的特征；

③提煉出等式(或不等式)的綜合特點；

④運用歸納推理得出一般結(jié)論.

(2)數(shù)列中的歸納推理：在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項公式或前〃項

和.

①通過已知條件求出數(shù)列的前幾項或前n項和；

②根據(jù)數(shù)列中的前幾項或前〃項和與對應(yīng)序號之間的關(guān)系求解；

③運用歸納推理寫出數(shù)列的通項公式或前〃項和公式.

跟蹤探究L已知正項數(shù)列｛斯｝滿足5“=機+求出a”S，的，并推測正項數(shù)

列｛m｝的通項公式.

解析：令”=1,有即ai=gai+J,化簡可得屆一1=0,因為0>0,

所以0=1；

令〃=2,有S2=X〃2+即。1+。2=m2+化簡可得足+242—1=0,因為他>0,

所以〃2=6—1；

令71=3,有S3=X〃3+￡),即0+42+。3=蛆3+2)，化簡可得屆+23—1=0,因為

tl3>0,所以。3=小一地;

令〃=4,有S4=1(y4+￡),即。|+。2+43+。4=/44+5)，化簡可得屆+2小四一1=0,

因為。4>0,所以〃4=2一小.

因為〃]=1=，T—a2=y[2—]=y[2—y[\f的=小一/，的=2一小=也一小，歸納

=

猜測正項數(shù)列｛〃“｝的通項公式為anyfn—yjn—1.

[例2]用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：

>b><>5>><>^><>-

①②③

按照上面的規(guī)律，第〃(〃GN*)個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()

A.6n—2B.8〃-2

C.6"+2D.8〃+2

[解析]觀察易知第1個“金魚”圖需要火柴棒8根，而第2個“金魚”圖比第1個“金

魚”圖多的部分需要火柴棒6根，第3個“金魚”圖比第2個“金魚”圖多的部分需要火柴

棒6根……由此可猜測第〃個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)比第("一1)個“金魚”圖需要火柴

棒的根數(shù)多6,即各個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)組成以8為首項，6為公差的等差數(shù)列｛%｝,

易求得通項公式為a“=6〃+2(〃eN*).

I答案]C

方法技巧歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略

通過一組平面圖形或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結(jié)論，通常需將圖形問題數(shù)字

化，展現(xiàn)數(shù)學之間的規(guī)律、特征，然后進行歸納推理.解答該類問題的一般策略是：

跟蹤探究2.圖(1)是棱長為1的小正方體，圖(2),(3)是由這樣的小正方體擺放而成的.按

照這樣的方法繼續(xù)擺放，自上而下分別叫第1層、第2層、第3層……將第n層的小正方體

的個數(shù)記為S“.解答下列問題：

36

(2)Sio=:

⑶S產(chǎn)(HeN*).

解析：第1層：1個；第2層：3個，即(1+2)個；第3層：6個，即(1+2+3)個；第4

層：10個，即(1+2+3+4)個……

由此猜想，第n層的小正方體的個數(shù)為上一層的小正方體的個數(shù)加上nf所以S〃=l+2

+3+…一),Sio=55.

答案：(1)10(2)55(3)〃啖)

探究二類比推理

［例3］設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項和為S”則§4，Sg-$4，S12—§8，S16—S12成等差數(shù)列.類

比以上結(jié)論：設(shè)等比數(shù)列｛8,｝的前〃項積T”,則,并成等比數(shù)列.

［解析］設(shè)等比數(shù)列｛仇｝的公比為我?W0).

在等比數(shù)列｛/?〃｝中，通過類比，有。，靠，會,拜成等比數(shù)列.

證明如下：

'J'QTI2

易知14=bib2b3b4,仆="歷…力8,712=歷歷…仇2,716=辦也…加6,所以元=85b6b7b8,亍=

Ts212Z16

bgb\ob\\b\2f嬰=63"4b15歷6,所以伊=母"=*=嚴，因此。，白祟2成等比數(shù)列.

112J4±8112，4Is112

宏安TsTn

［答案1元怎

方法技巧(1)類比推理的一般步驟

I對比I~書國兩類對象之間可以確切表達的相似特征I

用一類對象的已知特征去推測另一類對象的

猜想

II—,■特征，從而得出一個猜想

I檢,驗I檢驗這個猜想

(2)中學階段常見的類比知識點：等差數(shù)列與等比數(shù)列，向量與實數(shù)，空間與平面，圓與

球等等，比如平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何的相關(guān)類比點如下

平面圖形空間圖形

點直線

直線平面

邊長面積

面積體積

三角形四面體

線線角面面角

跟蹤探究3.如圖，在RtZVIBC中，NC=90。.設(shè)a,b,c分別表示

邊的長度，由勾股定理，得。2=/+從.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,

出空間中四面體性質(zhì)的猜想.

解析：如題圖，在RtZ\A8C中，NC=90。.設(shè)a,b,c分別表示3條邊

的長度，由勾股定理，得/=/+〃.類似地，如圖所示，在四面體P-DEF

中，NPDF=NPDE=NEDF=90°.設(shè)小,S2,S3和S分別表示△「￡>「，△

PDE,△￡?￡)尸和△PEF的面積，相對于直角三角形的兩條直角邊”，〃和1條斜邊c,圖中的

四面體有3個“直角面”Si,S2,S3和1個“斜面”S.于是類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想S2

=S￥+S?+SW成立.

03課后討論探究您------------------------------------------總