2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中測(cè)試卷03（北師大版）教師版

2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中測(cè)試卷03（北師大版）

（滿分100分考試時(shí)間120分鐘）

測(cè)試范圍:八下全部?jī)?nèi)容

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考試號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)，用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫(xiě)在答題卷相對(duì)

應(yīng)的位置上，并認(rèn)真核對(duì)；

2.答題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫(xiě)在答題卷指定的位置上，不在答題區(qū)域內(nèi)的答案一律無(wú)效，不得用其他筆答題；

3.考生答題必須答在答題卷上，保持卷面清潔，不要折疊，不要弄破，答在試卷和草稿紙上一律無(wú)效。

一、選擇題（共10題，每小題3分，共30分）

1.下列所述圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.直角三角形B.平行四邊形C.正五邊形D.正三角形

【答案】B

試題解析：A、直角三角形不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

C、正五邊形不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、正三角形不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選B.

2.若等腰三角形的底角為72。，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)是（）

A.36°B.54°C.72°D.108°

【答案】A

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

【詳解】???等腰三角形的底角為72。，

等腰三角形的頂角=180。-72°-72°=36°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.下列各選項(xiàng)中因式分解正確的是（）

A.X2-1=（x-l）2B.a?-2a2+a=/（a一2）

C.-2），+4y=-2y（y+2）D.nrn-2mtt+n=n^rn—iy'

【答案】D

【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式進(jìn)而判斷即可.

【詳解】解：A.X2-1=(X+1)(X-1),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B.?3-2a2+a=?(<2-1)',故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.-2y2+4y=-2y{y-2),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.m2n-2mn+n-n[m—iy,正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(0,1),將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段

AC,則線段BC長(zhǎng)為()

A.V2B.上C.75D.M

【答案】C

【分析】△ABC是等邊三角形，求出AB即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，

VA(2,0),B(0,1),.?.AB=AC=J『+22=6,

VZBAC=60°,AB=AC,.二△ABC是等邊三角形，，BC=AB=V^

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理是

解題的關(guān)鍵.

(a1)a—1

5.當(dāng)a=2020時(shí)，----~~湘的值是()

<?+la+\)(a+l)

A.2021B.2021.5C.2020D.2020.5

【答案】A

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將a的值代入計(jì)算可得.

a1a-1

【詳解】—r---7。―旅

（Q+1a+lj（Q+1）

67—1Q—1

4+1（Q+l）~

ci-1

a+1a-1

—a+\?

當(dāng)a=2020時(shí)，

原式=2020+1=2021,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.

6.下列說(shuō)法正確的是（）

A.平行四邊形的對(duì)角線互相垂直

B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的距離相等

D.同角（或等角）的余角互補(bǔ)

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、余角的性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，

即可得出結(jié)論.

【詳解】A、?.?平行四邊形的對(duì)角線互相平分，

.??選項(xiàng)A不符合題意；

B、?.?對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

二選項(xiàng)B符合題意：

c、..?線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，

，選項(xiàng)C不符合題意；

D、?.?同角（或等角）的余角相等，

...選項(xiàng)D不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、余角的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平

行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵..

x—1>0

7.不等式組《C,的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

5—2x21

A.B.ZZ3.

0123

C.

【答案】C

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)

解了確定不等式組的解集.

【詳解】解：解不等式x—l>0得x>l,

解不等式5-2x21得xW2,

則不等式組的解集為1<XW2,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元?次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式的解是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

8.如圖，在△ABC中，AC=5,BC=4&，BC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.連接

CD,若CDLAB,則△ABC的面積為（）

A.12B.14C.24D.28

【答案】B

【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DC,則可判斷△BCD為等腰直角三角形，得出

歷

BD=CD=—BC=4,再利用勾股定理計(jì)算出AD,然后利用三角形面積公式計(jì)算△ABC的面積.

2

【詳解】解：VCD±AB,.?.NCDB=/CDA=90。,

：DE垂直平分BC,；.DB=DC,.'△BCD為等腰直角三角形,

65

：.BD=CD=—BC=—x4J2=4,

22

在RSADC中，AD=752_42=3>AAB=4+3=7,

ASAABC=—XCDXAB=-X4X7=14.故選：B.

22

【點(diǎn)睛】本題考查/線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理，垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相

等

9.如圖，過(guò)正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)B作一條射線與其內(nèi)角/BAF的角平分線相交于點(diǎn)P,且/APB=

40°,則NCBP的度數(shù)為（）

A.80°B.60°C.40°D.30°

【答案】C

【分析】根據(jù)多邊形ABCDEF是正六邊形，可得/FAB=120。，再根據(jù)AP是/FAB的角平分線，可得

ZPAB=60°,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出NABP的度數(shù)，進(jìn)而求出NCBP的度數(shù).

【詳解】???多邊形ABCDEF是正六邊形，

（6-2）x180°

/FAB=NABC=^-----------------=120。，

6

VAP是NFAB的角平分線，ZPAB--ZFAB=60°,

2

NAPB=40°,NABP=180°-ZPAB-NABP=80°,

二ZCBP=ZABC-ZABP=40°.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理.

10.如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AP1BP,BP=12,CP=15,點(diǎn)D,E,F,G分別是AP,BP,BC,

AC的中點(diǎn)，若四邊形DEFG的周長(zhǎng)為28,則AP長(zhǎng)為（）

G

B匕----------------------4c

r

A.13B.9C.5D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得到DG=EF=LpC=」x15="，DE=FG=-AB,求得AB=13,根據(jù)勾

2222

股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】???點(diǎn)D,E,F,G分別是AP,BP,BC,AC的中點(diǎn)，

DG=EF=-PC=-x15=—,DE=FG=-AB,二?四邊形DEFG的周長(zhǎng)為28,

2222

.1151513

??DE=FG=—x(28----)=—，..AB=13,

2222

VAPIBP,BP=12,:.AP=1?2_pB?=J132_]22=5,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理，熟練掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(共6題，每小題3分，共18分)

11.分解因式：a2+3a=.

【答案】a(a+3).

【解析】a2+3a-a(a+3).

12.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是.

【答案】8

【詳解】解：設(shè)邊數(shù)為n,由題意得，

180(n-2)=360x3

解得n=8.

所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是8.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P(4,6)繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)

為.

【答案】(6,-4)

【分析】畫(huà)出坐標(biāo)系，然后找到旋轉(zhuǎn)后得到的Q點(diǎn)，根據(jù)三角形全等找到對(duì)應(yīng)線段，從而求出坐標(biāo).

【詳解】解：作圖如下，

VZMPO+ZPOM=90°,ZQON+ZPOM=90°,AZMPO=ZQON,

ZPMO^ZONQ

在^PMO和小ONQ中，］NMPO=ZNOQ,AAPMO^AONQ(AAS),

PO=OQ

-,.PM=ON,OM=QN,：P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,6),，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(6,-4),

故答案為(6,-4).

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)變換的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的條件，確定全等三角形.

5x+lAB

14-已知(l)(x+2)=HT-r則實(shí)數(shù)A+B=

【答案】5

【分析】已知等式右邊通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，再根據(jù)分式相等的條件即可求出所求.

5x+lA(x+2)+1)

【詳解】解：等式整理得:

(x-l)(x+2)(x-l)(x+2)

/.5x+l=A(x+2)+B(x-l),5x+l=(A+B)x+2A-B,即A+B=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減.解題的關(guān)鍵是通分.

15.在AABC中，若N5=45°，AB=1O0，4。=56，則A4BC的面積是

【答案】75或25

【分析】過(guò)點(diǎn)A作ADJ-BC于點(diǎn)D,通過(guò)解直角三角形及勾股定理可求出A。，BD，CD的長(zhǎng)，進(jìn)而

可得出的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式即可求出A4BC的面積.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作垂足為。，如圖所示.

在用AABO中，AD=ABsin5=10,BD=ABcosB=10；

在H/A4C。中，AD=1().AC=5括，?*-CD=yjAC2-AD2=5>

/.BC=BZ)+C￡>=15或3C=3D-C￡>=5,5刖80=33。4。=75或25.

故答案為75或25.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面積，通過(guò)解直角三角形及勾股定理，求出

AO，BC的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6,BC=4,ZA=120°,E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在平行四邊形

ABCD的邊上，若AAEF為等腰三角形，則EF的長(zhǎng)為.

【答案】3有或3或亞

2

【分析】△AEF為等腰三角形，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和30。直角三角形性質(zhì)、平行四邊

形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：當(dāng)AE=AF時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作A//LM于H，

AEB

D

圖1

?.?E是A3的中點(diǎn),

AE=-AB=3,

2

-,-AE=AF,AHLEF，ZA=120°.

:.ZAEF=ZAFE=3(T,FH=EH，

.-.AH=-AE=-,EH=43AH=—,

222

：.EF=2EH=3y/3，

當(dāng)AE=E尸時(shí)，如圖2,

過(guò)點(diǎn)A作AN_LCDFN,過(guò)點(diǎn)F作丁M，

圖2

???在平行四邊形ABC。中，AB=6,BC=4.NA=120°,

..AD=BC=4,ZAZ)C=60。，

:.ZDAN=30°,

:.DN=；AD=2,AN=yj3DN=2>/3.

-AB//CD-ANA.CD，F(xiàn)MA.AB,

AN=MF=2拒,

?;AF=EF，F(xiàn)MLAB，

3

AM=ME=-

2

EF=yjME2+MF2=

當(dāng)AE=EF=3時(shí);如圖3,

.-.EF=3,

綜上所述：EF的長(zhǎng)為3后或3或字.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問(wèn)題

是本題的關(guān)鍵.

三、解答題（共52分）

17.解不等式：生②>x-1.

3

【答案】x<4

【分析】按照去分母，移項(xiàng),合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1的步驟求解即可.

1+2x

【詳解】解：------>x-1,l+2x>3x-3,

3

2x-3x>-3-1,-x>-4,x<4.

【點(diǎn)睛】本題考查了?元一次不等式的解法，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解答本題的關(guān)鍵.

3xx-2

18.化簡(jiǎn)：（x—+

x~+2x+1

【答案】x2+x

【分析】原式通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，即可解答

3xx-2

【詳解】化簡(jiǎn):Xx+1x2+2x+l

解：原式」業(yè)型-里］

x+1x+1工-2

_x2+X—3x（尤+1）-

X

x+1x-2

=Q_2）x言

=X2+X

【點(diǎn)睛】此題考查分式的化簡(jiǎn)，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵

19.如圖，在9x7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1,其頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，圖中A、B、D、E均為格點(diǎn)，

ABD為格點(diǎn)三角形.

（1）直接在網(wǎng)格中畫(huà)。ABCD,要求C點(diǎn)在格點(diǎn)上；

（2）直接在網(wǎng)格中將（1）中。ABCD的邊BC平移，使點(diǎn)B平移到點(diǎn)E的位置，得到線段EF,再以線段

EF為一邊，在線段EF右側(cè)畫(huà)出正方形EFGH；

（3）直接填空：（2）中正方形EFGH的周長(zhǎng)是（長(zhǎng)度單位）.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）4廂

【分析】（1）把線段AB平移，使點(diǎn)A平移到D點(diǎn)，則B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C點(diǎn)，連接BC,平行四邊形

ABCD即為所求；

（2）把C點(diǎn)向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到F點(diǎn)，然后把EF繞E點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

EH,把EF繞F點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到FG,則四邊形EFGH為正方形；

（3）先利用勾股定理計(jì)算出EF,從而得到正方形EFGH的周長(zhǎng).

【詳解】（1）如圖，四邊形ABCD為所作；

（2）如圖，線段EF、正方形EFGH為所作；

(3)EF=712+32=V10.

.?.正方形EFGH的周長(zhǎng)=4EF=4&5.

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移、旋轉(zhuǎn)及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握平移的性質(zhì)、網(wǎng)格的特征及勾股定理是

解題關(guān)鍵.

20.如圖，在DBCFD中，點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)，與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)A,連接CD,

AF.

(1)求證：四邊形ADCF是平行四邊形；

(2)若CA=CB,則。ADCF為(填矩形、菱形、正方形中的一個(gè)).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)矩形

【分析】(1)首先證明DE是△ABC的中位線，得到E是AC的中點(diǎn)，又E也是DF的中點(diǎn)，運(yùn)用對(duì)角

線互相平分的四邊形為平行四邊形證明即可.

(2)先證明DE=AE=EC=』AC,根據(jù)三角形一邊的中線等于這邊的?半，則這個(gè)三角形為直角三角形，得

2

到NADC=90。，即可得到。ADCF為矩形.

【詳解】解：(1)在平行四邊形BCFD中,DE//BC,

：E是DF的中點(diǎn)，.\DE=—BC,；.DE是△ABC的中位線，

2

.?.E是AC的中點(diǎn)，...四邊形ADCF是平行四邊形.

(2)VCA=CB,DE是△ABC的中位線，

：.DE=-BC=-AC=AE=EC,AZADC=90°,UADCF是矩形.

22

故答案為：矩形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線的判定和性質(zhì)，矩形的判定，解題的關(guān)鍵是

結(jié)合圖形，熟練運(yùn)用相關(guān)的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明.

21.某市為進(jìn)一步緩解交通擁堵現(xiàn)象，決定修建一條從市中心到飛機(jī)場(chǎng)的輕軌鐵路.實(shí)際施工時(shí)，每月的

工效比原計(jì)劃提高了20%,結(jié)果提前3個(gè)月完成這一工程.求原計(jì)劃完成這一工程的時(shí)間是多少個(gè)月？

【答案】原計(jì)劃完成這一工程的時(shí)間是18個(gè)月

【分析】設(shè)原計(jì)劃完成這一工程的時(shí)間為x個(gè)月，根據(jù)實(shí)際施工的工效=(l+20%)x原計(jì)劃的工效建立方程

求出其解即可.

【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃完成這一工程的時(shí)間為x個(gè)月，

由題意，得：(l+20%)x'=---,解得：x=18.

xx-3

經(jīng)檢驗(yàn)，x=18是原方程的解.

答：原計(jì)劃完成這一工程的時(shí)間是18個(gè)月.

【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用及分式方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)條件建立方程是

關(guān)鍵，解答時(shí)對(duì)求出的根必須檢驗(yàn)，這是解分式方程的必要步驟.

22.某水果超市計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A與B兩種蘋(píng)果.已知每箱A種蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)為60元，如果一次購(gòu)進(jìn)A種蘋(píng)果超

過(guò)20箱，超出部分可以享受七折優(yōu)惠；每箱B種蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)為54元，沒(méi)有優(yōu)惠.設(shè)超市計(jì)劃購(gòu)進(jìn)x(x>

0,且x為整數(shù))箱蘋(píng)果.

(1)若超市只購(gòu)進(jìn)A種蘋(píng)果需要花費(fèi)y元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)超市決定在A、B兩種蘋(píng)果中選購(gòu)其中一種，且數(shù)量超過(guò)20箱，請(qǐng)你幫助超市選擇購(gòu)進(jìn)哪種蘋(píng)果更

省錢(qián).

f60x(0<x<20)

【答案】(l)y={s”、且X為整數(shù)；(2)當(dāng)x<30時(shí)，購(gòu)進(jìn)B種蘋(píng)果更省錢(qián)，當(dāng)x=30

[42x+360(尤>20)

時(shí)，購(gòu)兩種蘋(píng)果花費(fèi)一樣多，當(dāng)x>30時(shí)，購(gòu)買(mǎi)A種蘋(píng)果更省錢(qián)

【分析】(1)根據(jù)題意，利用分類討論的方法，可以寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的不等式，從而可以得到超市選擇購(gòu)進(jìn)哪種蘋(píng)果更省錢(qián).

【詳解】解：(1)當(dāng)0<xW20且x為整數(shù)時(shí)，y=60x,

當(dāng)x>20且x為整數(shù)時(shí)，y=20x60+60(x-20)x0.7=42x+360,

f60x(0<xW20)

由上可得，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為°C、且x為整數(shù)；

(2)當(dāng)54x<42x+360時(shí)，得x<30,即x<30時(shí)，購(gòu)進(jìn)B種蘋(píng)果更省錢(qián)，

當(dāng)54x=42x+360,即x=30,即當(dāng)x=30時(shí)，購(gòu)兩種蘋(píng)果花費(fèi)一樣多；

當(dāng)54x>42x+360,得x>30,即當(dāng)x>30時(shí)，購(gòu)買(mǎi)A種蘋(píng)果更省錢(qián).

綜上可知，當(dāng)XV30時(shí)，購(gòu)進(jìn)B種蘋(píng)果更省錢(qián)，當(dāng)x=30時(shí)，購(gòu)兩種蘋(píng)果花費(fèi)一樣多，當(dāng)x>30時(shí)，購(gòu)買(mǎi)

A種蘋(píng)果更省錢(qián).

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，分兩段列出函數(shù)解析

式是解(I)的關(guān)鍵，分三種情況討論是解(2)的關(guān)鍵.

23.閱讀下列因式分解的過(guò)程，再回答所提出的問(wèn)題：

1+x+x(1+x)+x(1+x)2

=(1+X)I1+x+x(1+x)J

=(1+x)I(1+x)(1+x)I

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是(填提公因式法或公式法中的一個(gè))；

(2)分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3=；

1+x+x(1+x)+x(1+x)2+...+X(1+x)n=(直接填空)；

(3)運(yùn)用上述結(jié)論求值：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3,其中x=?-1.

【答案】(1)提公因式法；(2)(1+x)4；(1+x)n+1；(3)36

【分析】(1)觀察閱讀材料中的過(guò)程，確定出分解因式方法即可；

(2)由題意根據(jù)題中的方法確定出所求即可；

(3)由題意可知原式利用題中的方法化簡(jiǎn)，把x的值代入計(jì)算即可求出值.

【詳解】解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法；

(2)分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3

=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2]

=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)]

=(1+x)(1+x)[(1+x)(1+x)J

=(1+x)4；

1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)n

=(1+x)[l+x+x(1+x)+...+x(1+x)n-1J

=(1+x)n[(1+x)(1+x)n-n|

=(1+x)n(1+x)

=(1+x)n+1；

(3)1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3

=(1+x)4,

當(dāng)x=&-1時(shí)，原式=(l+>/6-1)4=(a)4=36.

故答案為：(1)提公因式法；(2)(1+x)4；(1+x)n+1.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,6),點(diǎn)P在線段AB上,

ZOAB=ZAOP=30°.

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（2）將△AOP繞點(diǎn)0順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為a（0°<a<180°）,旋轉(zhuǎn)中的三角形記為△A1OP1

（點(diǎn)A、P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別Al、Pl）,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線OA1交直線AB于點(diǎn)M,直線OP1交直線AB

于點(diǎn)N,當(dāng)AOMN為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的值.

圖1圖2

【答案】（1）P（石，3）：（2）當(dāng)^OMN為等腰三角形時(shí)，a的值是45?；?0?；?35。

【分析】（1）如圖I,過(guò)P作PHLOB于H,根據(jù)三角形中位線定理得PH=3,由含30度的直角三角形

的性質(zhì)可得OB的長(zhǎng)，從而得OH的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題；

（2）分情況討論：若NO=NM,則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/NOM=NNMO=30。，此時(shí)M、A重合，不符合題

意；如圖2,當(dāng)OM=ON,旋轉(zhuǎn)角小于90。時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和三角形的

外角性質(zhì)求解；如圖3,當(dāng)OM=MN時(shí)，可直接得出a=90。；如圖4,當(dāng)OM=ON,旋轉(zhuǎn)角大于90。時(shí)，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：（1）如圖I,過(guò)P作PHLOB于H.

圖1

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,6）,，OA=6,

VZOAB=ZAOP=30°,

.,.ZABO=ZBPO=60°,AP=OP,

???△OBP是等邊三角形，

，AP=OP=BP,

：PH〃OA,；.OH=BH,

?,.PH=—OA=3,

2

RsAOB中，；NBAO=30。，，OB=2G，.\OH=73.

：.P(G3)；

(2)若NO=NM,則/NOM=/NMO=30。，此時(shí)M、A重合，不符合題意;

如圖2,當(dāng)OM=ON,旋轉(zhuǎn)角小于90。時(shí)，則NOMN=/ONM,

.\ZOMN=75°,

VZBAO=30°,

；.a=/OMN-NBAO=75。-30。=45。：

如圖3,當(dāng)OM=MN時(shí)，a=90°；

如圖4,當(dāng)OM=ON,旋轉(zhuǎn)角大于90。時(shí)，NAOP=NAlOPl=30。,

Ar

AX

Pl

圖4

VZAOAl=ZPOPl=a,

JZAON=180°-a-30°=150°-a,

VOM=ON,

AZN=ZM=60o-(a-90°)=150°-a,

VZOAP=ZN+ZAON,

A30°=2(150°-a),

解得:a=135°；

綜上，當(dāng)AOMN為等腰三角形時(shí)，a的值是45?；?0?；?35。.

【點(diǎn)睛】本題以坐標(biāo)系為載體，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、30。角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和

性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，涉

及的知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)，具有相當(dāng)?shù)碾y度，屬于試卷的壓軸題，全面分類、靈活應(yīng)用上述知識(shí)是解題的

關(guān)鍵.

25.如圖1,△ABC是等腰直角三角形，AB=