專題23解三角形應(yīng)用-數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)重點(diǎn)題型

專題23解三角形應(yīng)用一、核心體系概念仰角、俯角方向角方位角坡度應(yīng)用二、關(guān)鍵能力1．正余弦定理在應(yīng)用題中的應(yīng)用．2．能準(zhǔn)確地建立數(shù)學(xué)模型，并能運(yùn)用正余弦定理等知識和方法解決一些與測量學(xué)、力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)及幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題．三、教學(xué)建議從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個(gè)考查內(nèi)容．預(yù)計(jì)2022年會(huì)強(qiáng)化對應(yīng)用問題的考查．以與三角形有關(guān)的應(yīng)用問題為主要命題方向，結(jié)合正、余弦定理求解平面幾何中的基本量，實(shí)際背景中求距離、高度、角度等均可作為命題角度．試題可以為客觀題也可以是解答題，難度以中檔為主.四、高頻考點(diǎn) 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等．2．實(shí)際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的角叫俯角(如圖①)．(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等．(3)方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．(4)坡度＝eq\f(高度,寬度)，即坡角的正切值．五、重點(diǎn)題型考點(diǎn)一、三角形數(shù)學(xué)文化題例1.（2021·全國高考真題（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【解析】利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出．【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.訓(xùn)練題組1.英國數(shù)學(xué)家約翰?康威在數(shù)學(xué)上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”是他引以為傲的研究成果之一．定理的內(nèi)容是：三角形ABC的三條邊長分別為a，b，c，分別延長三邊兩端，使其距離等于對邊的長度，如圖所示，所得六點(diǎn)仍在一個(gè)圓上，這個(gè)圓被稱為康威圓．現(xiàn)有一邊長為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由“康威圓定理”可知的康威圓圓心即為三角形內(nèi)切圓的圓心，正三角形內(nèi)切圓的圓心即為中心，據(jù)此可得圓的半徑，進(jìn)一步可求其面積.【詳解】康威圓的圓心即為三角形內(nèi)切圓的圓心，正三角形內(nèi)切圓的圓心即為中心，所以其康威圓半徑為，故面積為．故選:C.2.（2021·浙江高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則___________.【答案】25【解析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計(jì)算其比值即可.【詳解】由題意可得，大正方形的邊長為：，則其面積為：，小正方形的面積：，從而.故答案為：25.3.在3世紀(jì)中期，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形(如圖所示)，當(dāng)變得很大時(shí)，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到sin3°的近似值為（）(取近似值3.14)A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí),每個(gè)等腰三角形的頂角為,則其面積為,又因?yàn)榈妊切蔚拿娣e之和近似等于圓的面積,所以,故選：B考點(diǎn)二、平面圖形的實(shí)際應(yīng)用海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞．若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑大小為．【答案】80eq\r(5)【解析】由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝40(eq\r(6)－eq\r(2))．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋4eq\r(3))＋1600×(8－4eq\r(3))＋2×1600×(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80eq\r(5).故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為80eq\r(5).訓(xùn)練題組1.為了測量河對岸兩點(diǎn)C，D間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點(diǎn)A，B處分別測得，，則間的距離為________.【答案】2【解析】在和中應(yīng)用正弦定理求得，然后在中應(yīng)用余弦定理可求得結(jié)果解：在中，由正弦定理得，即，得，在中，由，所以為等邊三角形，,在中，，由余弦定理得，所以，故答案為：2“湖畔波瀾飛，耕耘戰(zhàn)鼓催”，合肥一六八中學(xué)的一草一木都見證了同學(xué)們的成長．某同學(xué)為了測量瀾飛湖兩側(cè)C，D兩點(diǎn)間的距離，除了觀測點(diǎn)C，D外，他又選了兩個(gè)觀測點(diǎn)，且，已經(jīng)測得兩個(gè)角，由于條件不足，需要再觀測新的角，則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組，就可以求出C，D間距離的有（）組

①和；②和；③和A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由已知條件結(jié)合正余弦定理，可判斷所選的條件是否可以求出.【詳解】由，，∴可求出、，①和：△中，即可求；②和：可求、，則在△中求；③和：可求，則在△中，即可求；∴①②③都可以求.故選：D3．一條河流從某城市中穿過，其中一河段的兩岸基本上是平行的，根據(jù)城建工程計(jì)劃，需要測量出該河段的寬度，現(xiàn)在一側(cè)岸邊選取兩點(diǎn)，，并測得，選取對岸一目標(biāo)點(diǎn)并測得，，，則該段河流的寬度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知兩角一邊利用正弦定理求出的長，過向做垂線，所做垂線即為河流寬度，利用正弦值求解即可.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，如圖所示過點(diǎn)向做垂線交與：所以該段河流的寬度.故選：A.考點(diǎn)三、立體圖形的實(shí)際應(yīng)用例3.（2021·全國高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案．【詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故選：B．訓(xùn)練題組1.某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在處（點(diǎn)在水平地面的下方，為與水平地面的交點(diǎn)）進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn)，兩地相距100米，，其中到的距離比到的距離遠(yuǎn)40米．地測得該儀器在處的俯角為，地測得最高點(diǎn)的仰角為，則該儀器的垂直彈射高度為（）A．210米 B．米 C．米 D．420米【答案】C【解析】在中利用余弦定理求出，進(jìn)而在中可求出，再在中求出，即可得解．【詳解】設(shè)，所以，在中，，，所以，，即，．在中，，所以，又在中，，所以，因此．故答案為：C．2.如圖所示，為測量山高選擇A和另一座山的山頂為測量觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及從點(diǎn)測得，若山高米，則山高等于（）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【解析】在中，可求得AC，根據(jù)正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，所以（米）故選：A3.魏晉南北朝(公元)時(shí)期，中國數(shù)學(xué)在測量學(xué)取得了長足進(jìn)展.劉徽提出重差術(shù)，應(yīng)用中國傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理，通過多次觀測，測量山高水深等數(shù)值，進(jìn)而使中國的測量學(xué)達(dá)到登峰造極的地步，超越西方約一千年，關(guān)于重差術(shù)的注文在唐代成書，因其第一題為測量海島的高度和距離(圖1)，故題為《海島算經(jīng)》受此題啟發(fā)，小清同學(xué)依照此法測量奧林匹克公園奧林匹克塔的高度和距離(示意圖如圖2所示)，錄得以下是數(shù)據(jù)(單位：米)：前表卻行，表高，后表卻行，表間.則塔高_(dá)_________米，前表去塔遠(yuǎn)近__________米.【答案】246122【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算可得；解：依題意可得，，所以，又，，所以，解得，所以故答案為：；；考點(diǎn)四、與速度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題例4.（高考真題）如圖，在某海濱城市O附近的海面上正形成臺(tái)風(fēng).據(jù)氣象部門檢測，目前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O的南偏東15°方向200km的海面P處，并以10km/h的速度向北偏西75°方向移動(dòng).如果臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓心區(qū)域，目前圓形區(qū)域的半徑為100km，并以20km/h的速度不斷增大.幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)侵襲（精確到0.1h）？【答案】4.1小時(shí)．【解析】根據(jù)題意可設(shè)t小時(shí)后臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)A點(diǎn)，該城市開始受到臺(tái)風(fēng)侵襲，如圖ΔPAO中，PO=200，PA=10t，AO=100+20t由余弦定理得，100+20t2=100t化簡得t2+20解得t=102.訓(xùn)練題組1.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西勻速行駛，在公路北側(cè)遠(yuǎn)處一座高900米的山頂D的測得點(diǎn)A的在東偏南方向上過一分鐘后測得點(diǎn)B處在山頂?shù)氐臇|偏南方向上，俯角為，則該車的行駛速度為（）A．15米/秒B．15米/秒C．20米/秒 D．20米/秒【答案】A【解析】根據(jù)題意可得，再除以時(shí)間即可得解.【詳解】根據(jù)題意，由B處在山頂俯角為，所以，由A東偏南，B東偏南，所以，所以為等腰三角形，所以，由，所以速度為米/秒，故選：A2.游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的eq\f(11,9)倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處．經(jīng)測量，AB＝1040m，BC＝500m，則sin∠BAC等于．【解析】依題意，設(shè)乙的速度為xm/s，則甲的速度為eq\f(11,9)xm/s，因?yàn)锳B＝1040m，BC＝500m，所以eq\f(AC,x)＝eq\f(1040＋500,\f(11,9)x)，解得AC＝1260m.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(10402＋12602－5002,2×1040×1260)＝eq\f(12,13)，所以sin∠BAC＝eq\r(1－cos2∠BAC)＝1?(1213)2＝eq\f(5,13).【答案】eq\f(5,13)Q3．(2022·合肥模擬)已知島A南偏西38°方向，距島A3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的一艘走私船正以10海里/小時(shí)的速度向島A北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0．5小時(shí)截住該走私船？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)：sin38°≈\f(5\r(3),14)，sin22°≈\f(3\r(3),14)))解：如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為x海里/小時(shí)，結(jié)合題意知BC＝0．5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°．由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0．5x＝7，解得x＝14．又由正弦定理得sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故緝私艇以14海里/小時(shí)的速度向正北方向行駛，恰好用0．5小時(shí)截住該走私船．訓(xùn)練題組（與高度有關(guān)）1．圭表，是度量日影長度的一種天文儀器，由“圭”和“表”兩個(gè)部件組成.圭表和日晷一樣，也是利用日影進(jìn)行測量的古代天文儀器.所謂高表測影法，通俗的說，就是垂直于地面立一根桿，通過觀察記錄它正午時(shí)影子的長短變化來確定季節(jié)的變化.垂直于地面的直桿叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以測量影長的標(biāo)尺叫“圭”，如圖1，利用正午時(shí)太陽照在表上，表在圭上的影長來確定節(jié)令．已知某地夏至和冬至正午時(shí)，太陽光線與地面所成角分別約為，，如圖2，若影長之差尺，則表高AB為（

）尺．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)定義及，將公式轉(zhuǎn)化變形即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，則.故選：C2．古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測量一個(gè)球體建筑物的高度，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)．若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC100m，則該球體建筑物的高度約為（

）（cos10°≈0.985）A．49.25m B．50.76mC．56.74m D．58.60m【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)可得，利用求解即可.【詳解】如圖，設(shè)球的半徑為，，，故選：B訓(xùn)練題組（與角度有關(guān)）1．如圖，2015年春節(jié)，攝影愛好者在某公園處，發(fā)現(xiàn)正前方處有一立柱，測得立柱頂端的仰角和立柱底部的俯角均為，已知的身高約為米（將眼睛距地面的距離按米處理）(1)求攝影者到立柱的水平距離和立柱的高度；(2)立柱的頂端有一長2米的彩桿繞中點(diǎn)在與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．?dāng)z影者有一視角范圍為的鏡頭，在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻，攝影者是否都可以將彩桿全部攝入畫面？說明理由．【答案】（1）水平距離為3米，立柱高為米（2）攝影者可以將彩桿全部攝入畫面.【分析】(1)如圖不妨將攝影者眼部設(shè)為S點(diǎn)，作SCOB于C，根據(jù)解三角形即可得出結(jié)果；(2)連接SM，SN，設(shè)，，利用余弦定理和基本不等式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】(1)如圖，不妨將攝影者眼部設(shè)為S點(diǎn)，作SCOB于C，，又，故在中，可求得BA=3，即攝影者到立柱的水平距離為3米，由SC=3，，在中，得，又，故，即立柱高為米.(2)連接SM，SN，設(shè)，由(1)知，在△SON和△SOM中，，由余弦定理，，得，在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，又，，故攝影者可以將彩桿全部攝入畫面2．目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無論是大山深處還是廣表平原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測對面山項(xiàng)上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰為37°，測得基站頂端A的仰角為45°.(1)求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)如圖（第二幅），當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時(shí)（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置C處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離CD=xm，且記在C處觀測基站底部B的仰角為，觀測基站頂端A的仰角為β.試問當(dāng)x多大時(shí)，觀測基站的視角∠ACB最大？參考數(shù)據(jù):.【答案】(1)(2)，∠ACB最大【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；（2）易得，分別在在和在中，求出，再根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式求出取得最大值時(shí)，的值，再根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）由題意可知，，在中，，所以，在中，，所以出山高；（2）由題意知，且，則，在中，，在中，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，所以取得最大值時(shí)，，又因?yàn)?，所以此時(shí)最大，所以當(dāng)時(shí)，最大.鞏固訓(xùn)練一、單選題1．某觀察站C與兩燈塔A，B的距離分別為3km和5km，測得燈塔A在觀察站C北偏西50°，燈塔B在觀察站C北偏東70°，則兩燈塔A，B間的距離為()A．7 B．8C．eq\r(34)－15eq\r(3) D．eq\r(34)＋15eq\r(3)解析：A根據(jù)題意，畫出草圖如圖所示，結(jié)合題干條件易知AC＝3km，BC＝5km，∠ACB＝120°，利用余弦定理可得AB2＝32＋52－2×3×5×cos120°＝49，∴AB＝7km．故選A．2．(2022·咸寧月考)在△ABC中，若acosA＝bcosB，則△ABC的形狀一定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形解析：D已知acosA＝bcosB，利用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，解得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝180°－2B，解得A＝B或A＋B＝90°，所以△ABC的形狀是等腰或直角三角形．故選D．3．(2022·武鋼期中)在銳角△ABC中，若C＝2B，則eq\f(c,b)的范圍為()A．(eq\r(2)，eq\r(3)) B．(eq\r(3)，2)C．(0,2) D．(eq\r(2)，2)解析：A由正弦定理得eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(sin2B,sinB)＝2cosB，∵△ABC是銳角三角形，∴三個(gè)內(nèi)角均為銳角，即有0＜B＜eq\f(π,2)，0＜C＝2B＜eq\f(π,2)，0＜π－C－B＝π－3B＜eq\f(π,2)，解得eq\f(π,6)＜B＜eq\f(π,4)，余弦函數(shù)在此范圍內(nèi)是減函數(shù)．故eq\f(\r(2),2)＜cosB＜eq\f(\r(3),2)．∴eq\f(c,b)∈(eq\r(2)，eq\r(3))．故選A．4．某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼叫信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45°，距離為10海里的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9海里/小時(shí)的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以21海里/小時(shí)的速度前去營救，則艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為()A．eq\f(1,2)小時(shí) B．eq\f(2,3)小時(shí)C．eq\f(3,4)小時(shí) D．1小時(shí)解析：B如圖，設(shè)艦艇在B處靠近漁輪，所需的時(shí)間為t小時(shí)，則AB＝21t，CB＝9t．在△ABC中，根據(jù)余弦定理，則有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，可得212t2＝102＋81t2＋2·10·9t·eq\f(1,2)．整理得360t2－90t－100＝0，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．故艦艇需eq\f(2,3)小時(shí)靠近漁輪．故選B．5．(2022·池州質(zhì)檢)如圖所示，在四邊形ABCD中，AC＝AD＝CD＝7，∠ABC＝120°，sin∠BAC＝eq\f(5\r(3),14)且BD為∠ABC的平分線，則BD＝()A．6 B．9C．7eq\r(2) D．8解析：D由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)?eq\f(BC,\f(5\r(3),14))＝eq\f(7,\f(\r(3),2))?BC＝5，由AC＝AD＝CD＝7，可得∠ADC＝60°，又∠ABC＝120°，所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∠DBC＝∠DAC＝60°，由余弦定理得cos∠DBC＝eq\f(BD2＋BC2－DC2,2BD·BC)?BD＝8．故選D．6．(2022·蘇州質(zhì)檢)如圖，某偵察飛機(jī)沿水平直線AC勻速飛行，在A處觀測地面目標(biāo)P，測得俯角∠BAP＝30°，飛行3分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)觀測地面目標(biāo)P，測得俯角∠ABP＝60°，又飛行一段時(shí)間后到達(dá)C處，此時(shí)觀測地面目標(biāo)P，測得俯角∠BCP的余弦值為eq\f(4\r(19),19)，則該偵察飛機(jī)由B至C的飛行時(shí)間為()A．2分鐘 B．2．25分鐘C．2．5分鐘 D．2．75分鐘解析：B設(shè)飛機(jī)的飛行速度為v，由題知∠BAP＝30°，∠ABP＝60°，所以△ABP為直角三角形，如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，則AB＝3v，AP＝eq\f(3\r(3),2)v，BP＝eq\f(3,2)v，可得DP＝eq\f(3\r(3),4)v，所以DB＝eq\f(3,4)v，設(shè)CB＝xv，由cos∠BCP＝eq\f(4\r(19),19)，可得sin∠BCP＝eq\f(\r(3)×\r(19),19)，則tan∠BCP＝eq\f(\r(3),4)，又由tan∠BCP＝eq\f(\f(3\r(3),4)v,\f(3,4)v＋xv)＝eq\f(\r(3),4)，解得x＝2．25．故選B．二、多選題7．某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離12eq\r(6)nmile；在A處看燈塔C在貨輪北偏西30°，距離8eq\r(3)nmile．貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東60°，則下列說法正確的是()A．A處與D處之間的距離是24nmileB．燈塔C與D處之間的距離是16nmileC．燈塔C在D處的西偏南60°D．D在燈塔B的北偏西30°解析：AC由題意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12eq\r(6)，AC＝8eq\r(3)，在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，所以AD＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(nmile)，故A正確；在△ACD中，由余弦定理得CD＝eq\r(AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD)，即CD＝eq\r(8\r(3)2＋242－2×8\r(3)×24×\f(\r(3),2))＝8eq\r(3)(nmile)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)镃D＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以燈塔C在D處的西偏南60°，故C正確；由∠ADB＝60°，D在燈塔B的北偏西60°處，故D錯(cuò)誤．故選A、C．8．如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(\r(3),2)b，且∠CAB＝eq\f(π,3)．點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，DC＝1，DA＝3，下列說法中，正確的命題是()A．△ABC的內(nèi)角B＝eq\f(π,3)B．△ABC的內(nèi)角C＝eq\f(π,3)C．四邊形ABCD的面積最大值為eq\f(5\r(3),2)＋3D．四邊形ABCD的面積無最大值．解析：ABC因?yàn)閍sinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(\r(3),2)b，由正弦定理得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝eq\f(\r(3),2)sinB，B為三角形內(nèi)角，sinB≠0，所以sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(\r(3),2)，sin(A＋C)＝eq\f(\r(3),2)，所以sinB＝sin(A＋C)＝eq\f(\r(3),2)，B＝eq\f(π,3)或B＝eq\f(2π,3)，又∠CAB＝eq\f(π,3)，所以B＝eq\f(2π,3)不合題意，所以B＝eq\f(π,3)，從而∠ACB＝eq\f(π,3)，A、B正確；在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD＝9＋1－2×3×1×cosD＝10－6cosD，所以S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)AD·CDsinD＋eq\f(\r(3),4)AC2＝eq\f(3,2)sinD－eq\f(3\r(3),2)cosD＋eq\f(5\r(3),2)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(D－\f(π,3)))＋eq\f(5\r(3),2)，D∈(0，π)，D－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以D－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即D＝eq\f(5π,6)時(shí)，S四邊形ABCD＝3＋eq\f(5\r(3),2)為最大值，無最小值．C正確，D錯(cuò)．故選A、B、C．三、填空題9．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，則B城市處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間為________小時(shí)．解析：設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)P到B的距離為30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，故302＝x2＋402－2x·40·cos45°，化簡得x2－40eq\r(2)x＋700＝0，設(shè)方程的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝40eq\r(2)，x1x2＝700，所以|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝20，即圖中CD＝20千米，所以B城市處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間為eq\f(20,20)＝1小時(shí)．答案：110．李子壩站的“單軌穿樓”是重慶軌道交通的一大特色，吸引眾多游客來此打卡拍照.如圖所示，李明為了測量李子壩站站臺(tái)距離地面的高度AB，采用了如下方法：在觀景臺(tái)的D點(diǎn)處測得站臺(tái)A點(diǎn)處的仰角為60°；沿直線BD后退12米后，在F點(diǎn)處測得站臺(tái)A點(diǎn)處的仰角為45°.已知李明的眼睛距離地面高度為CD=EF=1.6米，則李子壩站站臺(tái)的高度AB約為（精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）（近似數(shù)據(jù)：）【答案】米【分析】設(shè)AG高度為米，利用正弦定理結(jié)合條件可得高度，進(jìn)而求出高度.【詳解】設(shè)AG高度為米，由題可知，所以米，在中，由正弦定理得：，所以，所以，解得，所以(米).四、解答題11．(2022·太原模擬)如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個(gè)觀景臺(tái)P，已知射線AB，AC為兩邊夾角為120°的公路(長度均超過3千米)，在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)M，N，從觀景臺(tái)P到M，N建造兩條觀光線路PM，PN，測得AM＝eq\r(3)千米，AN＝eq\r(3)千米．(1)求線段MN的長度；(2)若∠MPN＝60°，求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值．解：(1)在△AMN中，由余弦定理得，MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos120°＝3＋3－2×eq\r(3)×eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝9，MN＝3，所以線段MN的長度為3千米．(2)設(shè)∠PMN＝α，因?yàn)椤螹PN＝60°，所以∠PNM＝120°－α，在△PMN中，由正弦定理得，eq\f(MN,sin∠MPN)＝eq\f(PM,sin120°－α)＝eq\f(PN,sinα)＝eq\f(3,sin60°)＝2eq\r(3)．所以PM＝2eq\r(3)sin(120°－α)，PN＝2eq\r(3)sinα，因此PM＋PN＝2eq\r(3)sin(120°－α)＋2eq\r(3)sinα＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosα＋\f(1,2)sinα))＋2eq\r(3)sinα＝3eq\r(3)sinα＋3cosα＝6sin(α＋30°)，因?yàn)?°＜α＜120°，所以30°＜α＋30°＜150°．所以當(dāng)α＋30°＝90°，即α＝60°時(shí)，PM＋PN取到最大值6．所以兩條觀光線路PM與PN之和的最大值為6千米．12．(2022·上海模擬)第十屆中國花卉博覽會(huì)于2021年5月21日至7月2日在上海崇明區(qū)舉辦，以“蝶戀花”為設(shè)計(jì)理念的世紀(jì)館，擁有全國跨度最大的自由曲面混凝土殼體，屋頂跨度280米，屋面板厚度只有250毫米．圖①為建成后的世紀(jì)館；圖②是建設(shè)中的世紀(jì)館；圖③是場館的簡化圖．如圖③是由兩個(gè)相同的半圓及中間的陰影區(qū)域構(gòu)成的一個(gè)軸對稱圖形，AA′∥PP′∥OO′∥BB′，其中AA′＝280米，圓心距OO′＝160米，半圓的半徑R＝75米，橢圓中心P與圓心O的距離PO＝40米，C，C′為直線PP′與半圓的交點(diǎn)，∠COB＝60°．(1)設(shè)α＝∠A′AB，計(jì)算sinα的值；(2)計(jì)算∠COP的大小(精確到1°)．附：sin36．87°≈0．6，sin47．44°≈eq\f(12\r(3)－9,16)．解：(1)易知OO′為等腰梯形ABB′A′的中位線，所以cosα＝eq\f(\f(280－160,2),75)＝eq\f(4,5)，因?yàn)棣翞殇J角，所以sinα＝eq\f(3,5)．(2)因?yàn)锳A′∥OO′，所以∠O′OB＝∠A′AB＝α，則∠PCO＝∠COO′＝60°－α，所以在△CPO中，eq\f(OC,sin∠CPO)＝eq\f(OP,sin60°－α)，即sin∠CPO＝eq\f(OC·sin60°－α,OP)＝eq\f(75sin60°cosα－cos60°sinα,40)，則sin∠CPO＝eq\f(12\r(3)－9,16)，又∠CPO為鈍角，所以∠CPO≈132．