2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第24講證明問題的核心思路含解析

第24講證明問題的核心思路證明問題是比較綜合的一類,綜合了前面所學(xué)的基本考題類型,綜合性較強,解決這一類問題的核心在于是否能夠準(zhǔn)確地把需要證明的問題轉(zhuǎn)化為等式關(guān)系,進而來證明等式關(guān)系即可.這些關(guān)系的轉(zhuǎn)化相信讀者在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握得很熟練了,這里需要進一步加強,下面總結(jié)一些?？甲C明問題的一般解題思路.(1)定值問題證明的解題策略:證明一個量或表達式的值與其中的變化因素?zé)o關(guān),這些變化的因素可能是直線的斜率、截距,也可能是動點的坐標(biāo)等,這類問題的一般解法是使用變化的量表示求證目標(biāo),通過運算得知求證目標(biāo)的取值與變化的量無關(guān).當(dāng)使用直線的斜率和截距表示直線方程時,在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系,把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題去解決.(2)恒等式證明問題的解題策略:將恒等式轉(zhuǎn)化為常見的弦長、距離之比或向量關(guān)系等問題,進而轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的交點坐標(biāo)問題,利用設(shè)而不求思想及韋達定理即可證明,(3)幾何圖形性質(zhì)證明的解題策略:利用幾何圖形性質(zhì)與向量運算的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為向量的運算或直線的斜率關(guān)系,再用直線與圓錐曲線的交點坐標(biāo)問題,利用設(shè)而不求思想及韋達定理即可證明.證明三點共線三點共線問題的證明策略一般有以下幾種:①斜率法:若過任意兩點的直線的斜率都存在,通過計算證明過任意兩點的直線的斜率相等證明三點共線.②向量法:利用向量共線定理證明三點共線.反之,若給出以下情形之一:①.②存在實數(shù),使.(3)若存在實數(shù),,且,使,等于已知三點共線.【例1】已知圓的方程為,圓與軸的交點為(點在點的上方),直線與圓相交于兩點,若直線與直線交于點,求證:點三點共線.【解析】由題意可得.設(shè),聯(lián)立,消去化簡得,.,令,得.,∵三點共線【例2】點是橢圓的左、右頂點,過點的直線與橢圓交于兩點(不與重合),若直線與直線相交于點.求證:點三點共線.【解析】證明：(1)當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的方程為,不妨設(shè).∴直線的方程為.令得.∴,∴點三點共線.(2)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線方程為.設(shè),聯(lián)立消去得,由題意知恒成立,故.∴直線的方程為.令,得.∴.上式中的分子,∴點三點共線.【例3】已知橢圓經(jīng)過點分別為橢圓的左、右頂點,為橢圓上一點(不在坐標(biāo)軸上),直線交軸于點為直線上一點,且.,求證:點三點共線.【解析】證明：由題意得點.設(shè)點,則.∴直線的方程為,令,得點的坐標(biāo)為.設(shè)點,由,得(顯然.直線的方程:,①將代入①式得即點.故直線的?率存在,且又∵直線的斜率,∴,即點三點共線.證明圓的相關(guān)問題1.點與圓的位置關(guān)系的解題策略一般有以下幾種(1)利用設(shè)而不求思想求出圓心坐標(biāo),然后計算圓心到點的距離并和半徑比較得解.(2)向量法:通過判斷數(shù)量積的正負(fù)來確定點和圓的位置關(guān)系:如已知是圓的直徑,是平面內(nèi)一點,則點在圓內(nèi).點在圓外.點在圓上.(3)方程法:已知圓的方程,點,則點在圓內(nèi).點在圓上.點在圓外.2.四點共圓問題的解題策略(1)利用四點構(gòu)成的四邊形的對角互補.(2)利用待定系數(shù)法求出過其中三點的圓的方程,然后證明第四點坐標(biāo)滿足圓的方程.3.直線和圓問題的解題策略(1)判定圓心到直線的距離和半徑作比較.(2)圓和直線方程聯(lián)立,利用判斷.【例1】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,過的直線與交于兩點,橢圓的上頂點為.證明:當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,點在以為直徑的圓上.【解析】證明:由題意得點,點.設(shè)點.直線的方程為:,將直線的方程代入橢線的方程并整理得.綜上,點在以為直徑的圓上.【例2】設(shè)點分別為橢圓的左、右頂點,設(shè)為直線上不同于點的任意一點,若直線分別與橢圓相交于異于的點.證明:點在以為直徑的圓內(nèi).【解析】證明:由題意得,點,點,設(shè)直線的斜率為,點,則.聯(lián)立消去可得即.設(shè)點點在直線上,∴,即..∴為銳角.∴為鈍角.∴在以為直徑的圓內(nèi).【例3】如下圖所示,已知橢圓的兩焦點分別為,橢圓上的動點滿足,點分別為橢圓的左、右頂點,為坐標(biāo)原點.(1)求橢圓的方程及離心率.(2)若直線與交于點與軸交于點與的交點為,求證：四點共圓.【解析】(1)由橢圓的定義可得,∴,則.∴橢圓的方程為,該橢圓的離心率為.(2)證明：設(shè)點,則,則.設(shè)直線的方程為聯(lián)立得.即點.而,∴,則.由已知,∴四點共圓.【例4】設(shè)動直線與橢圓交于兩點,且,求證:動直線與圓相切.【解析】證明：(1)當(dāng)動直線的斜率不存在時,設(shè)的方程為,聯(lián)立得.∵直線與橢圓交于兩,點,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根.且又∵,∴,即.∵圓心到直線的距離,∴直線與圓相切.(2)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,即,.聯(lián)立得,即.∵動直線與橢圓交于兩點,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根.即,且∵,∴.化簡得.∵圓心即原點到直線的距離∴直線與圓相切.綜上所述,動直線與圓相切.證明角度問題證明角度問題的一般解題策略:(1)向量法:利用向量點積判別一個角度為鈍角、銳角還是直角.給出,相當(dāng)于已知,即是直角;給出,相當(dāng)于已知是鈍角;給出,相當(dāng)于已知是銳角.(2)斜率法:利用斜率是否相等或者相反來判別兩個角度是否相等.【例1】橢圓的右焦點為點,過定點的直線交橢圓于兩點,連接并延長,交于,求證:.【解析】證明:依題意可知,直線斜率存在,設(shè)方程為,代入整理得.∵直線與橢圓有兩個交點,∴,即.設(shè)點,點,直線,的斜率分別為,則.即【例2】圓的切線與橢圓:相交于兩點.證明:為鈍角.【解析】證明：(1)當(dāng)直線的斜率不存在時,則直線的方程為.若直線的方程為,聯(lián)立得,則點,此時,當(dāng)直線的方程為,同理可得出.∴為鈍角.(2)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,設(shè)點,,由于直線與圓相切,則,可得.聯(lián)立消去得由韋達定理得綜上所述為鈍角.證明線段問題有些證明線段問題直接求解線段無法證明,通常需要轉(zhuǎn)化為角度問題來證明.【例1】過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于兩點,的中點為.求證:【解析】證明:要證,可由直角三角形斜邊的中線定理證得,即證.設(shè)點,點,切線的方程為:.(1)當(dāng)時,切線的方程代入雙曲線中,化簡得.∴.又∴(2)當(dāng)時,易知上述結(jié)論也成立,∴.綜上,,∴.【例2】已知橢圓,左、右焦點分別為,若點在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若