2022年上海市少云中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2022年上海市少云中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.復(fù)數(shù)=（）A．﹣i B．1+i C．i D．1﹣i參考答案：A【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：．故選：A．2.在實數(shù)集R上定義一種運算“*”，對于任意給定的a、b∈R，a*b為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對任意a、b∈R，a*b=b*a；（2）對任意a、b∈R，a*0=a；（3）對任意a、b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．關(guān)于函數(shù)f（x）=x*的性質(zhì)，有如下說法：①在（0，+∞）上函數(shù)f（x）的最小值為3；②函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；③函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．其中所有正確說法的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】根據(jù)條件在③中令c=0得到a*b=ab+a+b從而得到f（x）的表達式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和最值的性質(zhì)分別進行判斷即可．【解答】解：①由新運算“*”的定義③令c=0，則（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（0*b）=ab+a+b，即a*b=ab+a+b∴f（x）=x*=1+x+，當(dāng)x＞0時，f（x）=x*=1+x+≥1+2=1+2=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=1時取等號，∴在（0，+∞）上函數(shù)f（x）的最小值為3；故①正確，②函數(shù)的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵f（1）=1+1+1=3，f（﹣1）=1﹣1﹣1=﹣1，∴f（﹣1）≠﹣f（1）且f（﹣1）≠f（1），則函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，故②錯誤，③函數(shù)的f′（x）=1﹣，令f′（x）=0則x=±1，∵當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）或（1，+∞）時，f′（x）＞0∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）．故③正確；故正確的是①③，故選：C3.已知函數(shù)①,②,則下列結(jié)論正確的是()A．兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于點成中心對稱圖形B．兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于直線成軸對稱圖形C．兩個函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)遞增函數(shù)

D．兩個函數(shù)的最小正周期相同參考答案：【知識點】三角函數(shù)的性質(zhì)C4C①，圖像關(guān)于點成中心對稱圖形，關(guān)于直線成軸對稱圖形，在區(qū)間上是單調(diào)遞增,最小正周期為;②，圖像關(guān)于點成中心對稱圖形，關(guān)于直線成軸對稱圖形，在區(qū)間上是單調(diào)遞增,最小正周期為,故選C.【思路點撥】此類題一般都是先化簡，再根據(jù)化簡后的結(jié)果，由三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷.4.若函數(shù)f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣，﹣1） B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2） D．（﹣，﹣2]參考答案：D【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】因為給的是開區(qū)間，最大值一定是在該極大值點處取得，因此對原函數(shù)求導(dǎo)、求極大值點，求出函數(shù)極大值時的x值，然后讓極大值點落在區(qū)間（a，6﹣a2）內(nèi)，依此構(gòu)造不等式．即可求解實數(shù)a的值．【解答】解：由題意f（x）=x3﹣3x，所以f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），當(dāng)x＜﹣1或x＞1時，f′（x）＞0；當(dāng)﹣1＜x＜1時，f′（x）＜0，故x=﹣1是函數(shù)f（x）的極大值點，f（﹣1）=﹣1+3=2．，x3﹣3x=2，解得x=2，所以由題意應(yīng)有：，解得﹣＜a≤2．故選：D．5.復(fù)數(shù)的虛部是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B6.一個四棱錐的三視圖如右圖所示，則該四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個

數(shù)為

A.l

B．2

C3．

D．4參考答案：D7.已知函數(shù)f（x）=﹣log2x，在下列區(qū)間中，包含f（x）零點的區(qū)間是(

)A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）參考答案：C【考點】函數(shù)零點的判定定理．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零點的判定定理可得．【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，滿足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在區(qū)間（2，4）內(nèi)必有零點，故選：C【點評】本題考查還是零點的判斷，屬基礎(chǔ)題．8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形的中心在坐標(biāo)原點，邊長為，平行于軸，直線(為常數(shù))與正六邊形交于兩點，記的面積為，則關(guān)于函數(shù)的奇偶性的判斷正確的是（

） A．一定是奇函數(shù) B．—定是偶函數(shù)C．既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) D．奇偶性與有關(guān)參考答案：B略9.函數(shù)f（x）＝（k＞0）有且僅有兩個不同的零點，（＞），則以下有關(guān)兩零點關(guān)系的結(jié)論正確的是（

）

A．sin＝cos B．sin＝－cos

C．sin＝cos

D．sin＝－cos參考答案：D10.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi),對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B,故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)無窮等比數(shù)列的前n項和為Sn，首項是，若Sn＝，，則公比的取值范圍是

．參考答案：因為，所以，則，即，所以，因為，所以，所以，即，所以公比的取值范圍是。12.已知一個算法，其流程如圖，則輸出結(jié)果是．參考答案：5【考點】程序框圖．【專題】圖表型；算法和程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a的值，當(dāng)a=5時，滿足條件a2＞4a+1，退出循環(huán)，輸出a的值為5．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得a=1，a=2不滿足條件a2＞4a+1，a=3不滿足條件a2＞4a+1，a=4不滿足條件a2＞4a+1，a=5滿足條件a2＞4a+1，退出循環(huán)，輸出a的值為5．故答案為：5．【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，依次正確寫出每次循環(huán)得到的a的值是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．13.若函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是___________．參考答案：試題分析：當(dāng)時，，又因為函數(shù)的值域為，所以當(dāng)時，能取遍的所有實數(shù)，由得，所以應(yīng)填.考點：1.分段函數(shù)的表示；2.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).【名師點睛】本題考查分段函數(shù)的表示方法與指、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬中檔題；本題的難點是值域為，即與時兩部分的值域的并集為全體實數(shù)，解決這個問題關(guān)鍵在于正確的轉(zhuǎn)化，把當(dāng)時，能取遍的所有實數(shù)轉(zhuǎn)化為，考查學(xué)生的理解能力，體現(xiàn)子數(shù)學(xué)的化歸與轉(zhuǎn)化思想.14.已知正項等比數(shù)列{an}的公比q=2，若存在兩項am，an，使得=4a1，則+的最小值為．參考答案：【考點】基本不等式；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】正項等比數(shù)列{an}的公比q=2，由于存在兩項am，an，使得=4a1，可得=4a1，化為m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：正項等比數(shù)列{an}的公比q=2，∵存在兩項am，an，使得=4a1，∴=4a1，∵a1≠0，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6．則+=（m+n）（）==，當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=4時取等號．∴+的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．15.已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為_____．參考答案：由題不等式組表示的可行域如圖陰影所示表示（x,y）與M（3,1）連線斜率,當(dāng)連線過A,斜率k最小,聯(lián)立得A(-1,8)，此時k=當(dāng)連線過B，斜率k最大，聯(lián)立得B(-1,-1),此時k=的取值范圍為故答案為

16.已知直線與平行，則的值是

.參考答案：略17.設(shè)是雙曲線的兩個焦點,是上一點,若且的最小內(nèi)角為,則的離心率為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)（）（Ⅰ）若函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，求a的值；（Ⅱ）若不等式對任意，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）由函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，則恒成立，即，所以，所以恒成立，則，故． 4分（Ⅱ）．所以對任意恒成立，令，由解得，故實數(shù)m的取值范圍是． 12分19.已知函數(shù)f（x）＝x2－2x＋2alnx，若函數(shù)f（x）在定義域上有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2．（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）證明：．參考答案：（1）解：因為函數(shù)f（x）在定義域（0，＋∞）上有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，所以在（0，＋∞）上有兩個根x1，x2，且x1＜x2，即x2－x＋a＝0在（0，＋∞）上有兩個不相等的根x1，x2．所以解得．（2）證明：由題可知x1，x2（0＜x1＜x2）是方程x2－x＋a＝0的兩個不等的實根，所以其中．故＝（x1＋x2）2－2x1x2－2（x1＋x2）＋2aln（x1x2）＝2alna－2a－1，令g（a）＝2alna－2a－1，其中．故g'（a）＝21na＜0，所以g（a）在上單調(diào)遞減，則，即．20.△ABC中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，﹣1）且∥．（1）求銳角B的大??；（2）如果b=2，求△ABC的面積S△ABC的最大值．參考答案：考點：二倍角的余弦；平行向量與共線向量；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：解三角形．分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，及兩向量平行時滿足的關(guān)系列出關(guān)系式，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后求出tan2B的值，由B為銳角，得到2B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出關(guān)于a與c的關(guān)系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．解答： 解：（1）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1），且∥，∴2sinB?（2cos2﹣1）=﹣cos2B，即2sinBcosB=sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，∵B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，即B=；（2）∵B=，b=2，∴由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立），∴S△ABC=acsinB=ac≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立），則S△ABC的最大值為．點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，基本不等式，余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．21.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．

如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒有帽的一端錘打出一個帽，使得與釘帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結(jié)構(gòu)的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計損失）.（1）若釘身長度是釘帽高度的2倍，求鉚釘?shù)谋砻娣e；（2）若每