點(diǎn)、直線、平面(畫法幾何)

點(diǎn)、直線、平面(畫法幾何)第一頁，共97頁。投影法的基本知識一、投影法的形成根據(jù)影子現(xiàn)象,加以抽象,在平面上形成圖像的方法,稱為投影法。物體第一頁第二頁，共97頁。投射線投射中心S物體投影面P投影投影三要素：投射線(投射中心）物體投影面第二頁第三頁，共97頁。投影方法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法二、投影法的分類—投射線傾斜于投影面—投射線垂直于投影面投射線相互平行—投射線相交于投影中心第三頁第四頁，共97頁。中心投影法

投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。應(yīng)用于透視圖的畫法投影特性物體位置改變，投影大小也改變度量性差，但立體感好特點(diǎn)：透視圖第四頁第五頁，共97頁。平行投影法投影特性投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。正投影法投影面投影方向正投影第五頁第六頁，共97頁。斜投影法投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。投影特性應(yīng)用于斜軸測投影圖特點(diǎn)：度量性較差，立體感較好斜軸測圖投影面斜投影投影方向第六頁第七頁，共97頁。三、工程上常用的四種圖示方法1、透視投影圖

物體按中心投影法投影到一個(gè)投影面上，所得的投影圖為透視投影圖。

第七頁第八頁，共97頁。2、軸測投影圖

按平行投影法將物體及其直角坐標(biāo)投影到一個(gè)投影面上，所得的投影圖為軸測影圖，簡稱軸測圖。

度量性較差，立體感較好第八頁第九頁，共97頁。3、標(biāo)高投影圖

利用正投影法，將物體投射在一個(gè)水平投影面上得到的投影圖，為了解決物體高度方向的度量問題，在投影圖上畫出一系列的等高線，并在等高線上標(biāo)出高度尺寸（標(biāo)高）。這種圖主要用于地形圖、土建工程圖中表示地形構(gòu)造和道路工程圖等。第九頁第十頁，共97頁。4、正投影圖

按正投影法將物體投影到按一定要求配置的兩個(gè)或兩個(gè)以上的投影面上所得的圖形稱正投影圖。度量性好，但立體感差第十頁第十一頁，共97頁。四、三面投影及其投影規(guī)律1、三視圖的形成根據(jù)形體的單面正投影無法確定物體的形狀采用多面投影圖。解決辦法？第十一頁第十二頁，共97頁。通過多面正投影圖，能確定物體的形狀第十二頁第十三頁，共97頁。HWV投影面投影軸oXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線YV正立投影面H水平投影面?zhèn)让嫱队懊鎃第十三頁第十四頁，共97頁。VWH

視圖——將物體向投影面作正投影所得的圖形稱為視圖。正面投影正立面圖——水平投影側(cè)面投影平面圖——左側(cè)立面圖——第十四頁第十五頁，共97頁。2、三視圖的位置關(guān)系VWH長高寬寬前后下上前后左右第十五頁第十六頁，共97頁。3、三視圖的投影規(guī)律長對正、高平齊、寬相等三等關(guān)系：第十六頁第十七頁，共97頁。（1）（2）（1）（2）第十七頁第十八頁，共97頁。Pb

●●AP采用多面投影圖。過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。B1●B2●B3●一、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影a

●解決辦法？1、空間點(diǎn)A在P面上的投影唯一2、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。2-2點(diǎn)的投影第十八頁第十九頁，共97頁。HWV二、點(diǎn)的三面投影投影面投影軸oXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線Y三個(gè)投影面互相垂直V正立投影面H水平投影面?zhèn)让嫱队懊鎃第十九頁第二十頁，共97頁。WHVoX空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影a

點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a

點(diǎn)A的側(cè)面投影a

●a●a

●A●ZYWVH2、投影面展開V面不動，H面朝下旋轉(zhuǎn)90°，W面朝右旋轉(zhuǎn)90°。向右翻向下翻不動aaZaa

yayaXYYO

●●az●xHW第二十頁第二十一頁，共97頁?！瘛瘛瘛馲YZOVHWAaa

a

點(diǎn)的投影規(guī)律:①a

a⊥OX軸②aax=a

az=y=A到V面的距離a

ax=a

ay=z=A到H面的距離aay=a

az=x=A到W面的距離xaazay●●Zaza

XayOaaxaya

●

a

a

⊥OZ軸三面投影及投影規(guī)律YHYW長對正高平齊寬相等第二十一頁第二十二頁，共97頁?！瘛瘛瘛馲YZOVHWAaa

a

xaazayP72-2根據(jù)直觀圖作出A的三面投影圖,并量出A到各投影面的距離第二十二頁第二十三頁，共97頁。三、點(diǎn)的投影與坐標(biāo)的關(guān)系●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazayxyzA(x,y,z)A點(diǎn)表示為：第二十三頁第二十四頁，共97頁。例1：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影?！馻

●●a

aaxaz通過作45°線使a

az=aaxYY1XZO第二十四頁第二十五頁，共97頁。課堂練習(xí)判斷點(diǎn)的位置A點(diǎn)在空間B點(diǎn)在空間C點(diǎn)在V面上第二十五頁第二十六頁，共97頁。D點(diǎn)H面上E點(diǎn)在X軸上F點(diǎn)在Z軸上課堂練習(xí)判斷點(diǎn)的位置第二十六頁第二十七頁，共97頁。五、兩點(diǎn)的相對位置

兩點(diǎn)的相對位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：▲x坐標(biāo)大的在左

▲y坐標(biāo)大的在前▲

z坐標(biāo)大的在上b

aa

a

b

b●●●●●●B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。XYY1Z●●●●XYZOVHWAaa

a

azb

b

bBo第二十七頁第二十八頁，共97頁。b

aa

a

b

b●●●●●●無軸投影圖重點(diǎn)表達(dá)兩點(diǎn)間的相對位置關(guān)系第二十八頁第二十九頁，共97頁。六、重影點(diǎn)空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。A、C為H面的重影點(diǎn)不可見的投影加()A、C為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？概念：●●●●XYZOVHWAaa

a

xyzc

C(c)c

()●●●●●a

a

c

c

ac第二十九頁第三十頁，共97頁。

兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。

2-3直線的投影●●●●XYZOVHWAaa

a

azb

b

bB一、直線的投影aa

a

b

b

b●●●●●●第三十頁第三十一頁，共97頁。直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=ABcosα●●AB●●abα⒈直線對一個(gè)投影面的投影特性AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)積聚性直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長ab=ABAMB●a≡b≡m●●●二、直線的投影特性第三十一頁第三十二頁，共97頁。⒉直線對投影面的各種相對位置投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面第三十二頁第三十三頁，共97頁。⑴投影面平行線水平線與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實(shí)長βγbaa

b

a

b

●●●●XYZOVHWAaa

a

azb

b

bBβγ3.各種位置直線的投影特性第三十三頁第三十四頁，共97頁。①在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長，并反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)大。②另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。側(cè)平線正平線γ實(shí)長實(shí)長ααβ投影面平行線投影特性：b

a

aba

b

b

aa

b

ba

第三十四頁第三十五頁，共97頁。⑵投影面垂直線鉛垂線●●●●XYZOVHWAaa

a

B(b)b

b

●a

b

a(b)a

b

第三十五頁第三十六頁，共97頁。反映線段實(shí)長。且垂直于相應(yīng)的投影軸。正垂線側(cè)垂線②另外兩個(gè)投影，①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影面垂直線的投影特性:●c

(d

)cdd

c

●e

f

efe

(f

)第三十六頁第三十七頁，共97頁。⑶一般位置直線投影特性：三個(gè)投影都縮短。即:都不反映空間線段的實(shí)長及與三個(gè)投影面夾角的實(shí)大，且與三根投影軸都傾斜。abb

a

b

a

第三十七頁第三十八頁，共97頁。側(cè)垂線正平線傾斜線側(cè)平線MNDCαγEF第三十八頁第三十九頁，共97頁。根據(jù)投影，判斷各直線為何種位置直線正垂線水平線鉛垂線正平線一般位置直線側(cè)平線第三十九頁第四十頁，共97頁。HVXαβBAaba′b′AB實(shí)長H面投影abZB-ZAα直角三角形法兩直角邊：①在某投影面上的投影②兩端點(diǎn)距該投影面的距離差斜邊：直線的實(shí)長斜邊與投影的夾角：直線對該投影面的夾角三、直線段的實(shí)長和對投影面的傾角第四十頁第四十一頁，共97頁。1．求直線的實(shí)長及對水平投影面的夾角

角

|zA-zB|

ABab|zA-zB|第四十一頁第四十二頁，共97頁。2．求直線的實(shí)長及對正面投影面的夾角

角|yA-yB|a

Xab

ba

b

AB

AB

a

b

|yA-yB||yA-yB|AB

|yA-yB|

第四十二頁第四十三頁，共97頁。[例題1]已知線段的實(shí)長AB，求它的水平投影。a|zA-zB|

abABab|zA-zB|第四十三頁第四十四頁，共97頁。四、直線上的點(diǎn)◆若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。思考？若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上，點(diǎn)在直線上嗎？投影特性：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

◆若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)分空間線段之比等于點(diǎn)的投影分線段的同名投影之比。即：

從屬性定比性ABCVHbcc

b

a

a第四十四頁第四十五頁，共97頁。點(diǎn)C不在直線AB上例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。點(diǎn)C在直線AB上abca

b

c

①oxc

②abca

b

●ox第四十五頁第四十六頁，共97頁。五、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。⒈兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

第四十六頁第四十七頁，共97頁。HVABCDKabcdka

b

c

k

d

⒉兩直線相交判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)滿足點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)abcdb

a

c

d

kk

OX第四十七頁第四十八頁，共97頁。HVCDABcdabc

d

a

b

ⅠⅡⅢⅣ1

(2

)3(4)⒊兩直線交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律?！铩敖稽c(diǎn)”是兩直線上的一對重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛瘼?、Ⅱ是Ｖ面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。為什么？12●●3

4

●●兩直線相交嗎？d

b

a

abcdc

OX第四十八頁第四十九頁，共97頁。abcdc

a

b

d

例1：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①aVHc

bcdABCDb

d

a

第四十九頁第五十頁，共97頁。b

d

c

a

cbadd

b

a

c

對于特殊位置直線，只有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行。AB與CD不平行。例1：判斷圖中兩條直線是否平行。②方法一：求出側(cè)面投影如何判斷？aVHc

bcdABCDb

d

a

YHYWXZO第五十頁第五十一頁，共97頁。Ocbadd

b

a

c

X方法二：1、假設(shè)AB∥CD,則兩直線組成一平面，在平面上有AD、BC直線，連線2、AD、BC直線的投影不滿足平行條件，又不滿足相交條件，為交叉直線，則A、B、C、D四點(diǎn)不共面3、AB不平行于CD第五十一頁第五十二頁，共97頁。平行交叉平行交叉相交交叉課堂練習(xí)P122-16判斷圖中各直線的相對位置第五十二頁第五十三頁，共97頁。4、兩直線垂直

若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角——直角投影定律∵BC⊥AB,同時(shí)BC⊥Bb∴BC⊥ABba平面直線在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角因此bc⊥ab∴bc⊥ABba平面又∵BC∥bcABCabcHa

c

b

abc.例BC⊥AB且BC//H面第五十三頁第五十四頁，共97頁。d

abca

b

c

●●d例2：過C點(diǎn)作直線與AB垂直相交。AB為正平線,正面投影反映直角。.第五十四頁第五十五頁，共97頁。一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)●●●●●●abca

b

c

直線及線外一點(diǎn)abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線●●●●●●abca

b

c

平面圖形

2-4平面的投影第五十五頁第五十六頁，共97頁。用跡線表示平面HWVPPvPwPHPHPwPvXOZYHYW跡線：平面與投影面的交線。第五十六頁第五十七頁，共97頁。二、平面的投影特性平行垂直傾斜投影特性★平面平行投影面-----投影反映實(shí)形★

平面垂直投影面-----投影積聚成直線★平面傾斜投影面-----投影類似原平面實(shí)形性類似性積聚性⒈平面對一個(gè)投影面的投影特性第五十七頁第五十八頁，共97頁。⒉平面對投影面的各種相對位置平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫娴谖迨隧摰谖迨彭?，?7頁。abca

c

b

c

b

a

（1）投影面垂直面類似性類似性積聚性鉛垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。

另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。為什么？γβ是什么位置的平面？YHYWXZO第五十九頁第六十頁，共97頁。a

b

c

a

b

c

abc⒉投影面平行面積聚性積聚性實(shí)形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。

另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。YHYWXZO第六十頁第六十一頁，共97頁。a

b

c

a

c

b

abc⒊一般位置平面三個(gè)投影都類似。投影特性：YHYWXZO第六十一頁第六十二頁，共97頁。1、平面上取點(diǎn)先找過該點(diǎn)的面上的一條已知直線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。k●

面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線d

k●d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解三、平面上的點(diǎn)和直線②●abca

b

k

c

XOb①acc

a

k

b

●XO第六十二頁第六十三頁，共97頁。判斷直線在平面內(nèi)的方法

定理一若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。2、平面上的一般直線第六十三頁第六十四頁，共97頁。abcb

c

a

d

mnn

m

d例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有多少解？有無數(shù)解。oxabcb

c

a

ox第六十四頁第六十五頁，共97頁。作出平面圖形的第三面投影,并指出對投影面的相對位置正垂面(1)第六十五頁第六十六頁，共97頁。第六十六頁第六十七頁，共97頁。第六十七頁第六十八頁，共97頁。第六十八頁第六十九頁，共97頁。第六十九頁第七十頁，共97頁。例4在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cab唯一解！有多少解？3、平面上的投影面平行線——既在平面上，又平行于某個(gè)投影面第七十頁第七十一頁，共97頁。a

abb

兩點(diǎn)之間距離a

abb

c

c三角形實(shí)形a

abb

c

cdd

直線與平面的交點(diǎn)a

b

c

d

abcd

兩平面夾角2-6投影變換方法第七十一頁第七十二頁，共97頁。1、直線與平面平行

若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。2.3直線、平面與平面的相對位置例1：過M點(diǎn)作水平線MN平行于平面ABC?！瘛馻

c

b

m

abcmn

d′dn一、平行第七十二頁第七十三頁，共97頁。2、兩平面平行①若一平面上的兩相交直線對應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef第七十三頁第七十四頁，共97頁。二、相交直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)，它是直線與平面的共有點(diǎn)。交點(diǎn)是直線投影可見與不可見部分的分界點(diǎn)。BKA第七十四頁第七十五頁，共97頁。M

兩平面的交線是一條直線，交線是兩平面的共有線。交線是平面投影可見與不可見部分的分界線。FKNL要討論的問題：●求交點(diǎn)、交線

●判斷直線、平面投影的可見性。第七十五頁第七十六頁，共97頁。b

ba

acc

m

mnn

例3：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性。

由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。kk

1、作出交點(diǎn)K的投影第七十六頁第七十七頁，共97頁。2、判斷直線投影的可見性b

ba

acc

m

mn

kk

n

特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。

第七十七頁第七十八頁，共97頁。()例4、求鉛垂線EF與一般位置平面△ABC的交點(diǎn)并判別其可見性。k21k'2'1'第七十八頁第七十九頁，共97頁。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)n●m●●例5：求兩平面的交線MN并判別可見性。⑴兩投影面垂直面相交，交線為投影面垂直線。第七十九頁第八十頁，共97頁。b

c

f

h

a

e

abcefh1(2)①求交線②判別可見性點(diǎn)Ⅰ在FH上，點(diǎn)Ⅱ在BC上，點(diǎn)Ⅰ在上，點(diǎn)Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●n

●2

●n●m

●1

●⑵第八十頁第八十一頁，共97頁。c

d

e

f

a

b

abcdef⑶n●n

●m

●k●m●k

●互交第八十一頁第八十二頁，共97頁。三、垂直1．直線與平面垂直

若一平面為投影面垂直面，則與這個(gè)平面垂直的直線一定是該投影面的平行線。

edd'e'OXbcac'b'a'第八十二頁第八十三頁，共97頁。

2.

平面與平面垂直

若兩空間平面垂直相交，且兩平面都垂直于某一投影面時(shí)，兩平面的積聚性投影一定互相垂直，且交線為該投影面的垂直線。

f(e)e'f'(b)ad（c）c'XOb'd'a'第八十三頁第八十四頁，共97頁。

例6已知點(diǎn)D和平面△ABC的投影，求點(diǎn)D到平面△ABC的距離及投影。e'ecc'XOa'b'abd'd第八十四頁第八十五頁，共97頁?！锶绾吻笠话阄恢弥本€的實(shí)長？★如何求一般位置平面的真實(shí)大??？

換面法：物體本身在空間的位置不動，而用某一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使物體相對新的投影面處于解題所需要的有利位置，然后將物體向新投影面進(jìn)行投射。解決方法：更換投影面。一、概述第八十五頁第八十六頁，共97頁。VHABa

b

ab新投影面的選擇原則1.新投影面必須對空間物體處于最有利的解題位置。

平行于新的投影面

垂直于新的投影面2.新投影面必須垂直于某一保留的原投影面，以構(gòu)成一個(gè)相互垂直的兩投影面的新體系。Pa1b1第八十六頁第八十七頁，共97頁。VHAa

a

axX

舊投影體系X—VH

新投影體系P1HX1—A點(diǎn)的兩個(gè)投影：a，a

A點(diǎn)的兩個(gè)投影：a，a1點(diǎn)的換面X1P1a1ax1

二、換面法的基本作圖方法第八十七頁第八十八頁，共97頁。ax1

VHXP1HX1a

aa1VHA

a

axXX1P1a1ax1

aa1

X1

a1ax1=a

ax

點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。axa

一般規(guī)律：

點(diǎn)的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直于新投影軸。.第八十八頁第八十九頁，共97頁。

XVHaa

ax更換H面

VHXP1HX1由點(diǎn)的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。aa

X1P1H

a1axax1ax1更換V面●a1作圖方法：

..第八十九頁第九十頁，共97頁。先把V面換成平面P1，P1H，得到中間新投影體系:P1HX1