第三章 遠期與期貨定價

金融工程FinancialEngineering

授課人：王正文講師

武漢大學經濟與管理學院

郵箱：wzw13@第三章遠期與期貨定價第一節(jié)遠期價格與期貨價格遠期價值是指遠期合約本身的價值。關于遠期價值的討論要分遠期合約簽訂時和簽訂后兩種情形。

－在簽訂遠期合約時，如果信息是對稱的，而且合約雙方對未來的預期相同，對于一份公平的合約，多空雙方所選擇的交割價格應使遠期價值在簽署合約時等于零。－在遠期合約簽訂以后，由于交割價格不再變化，多空雙方的遠期價值將隨著標的資產價格的變化而變化。

3.1.1遠期價值、遠期價格與期貨價格遠期價格是指使遠期合約簽訂時價值為零的交割價格。遠期價格是理論上的交割價格。關于遠期價格的討論也要分遠期合約簽訂時和簽訂后兩種情形。

－一份公平合理的遠期合約在簽訂的當天應使交割價格等于遠期價格。如果實際交割價格不等于這個理論上的遠期價格，該遠期合約價值對于多空雙方來說就都不為零，實際上隱含了套利空間。－在遠期合約簽訂之后，交割價格已經確定，遠期合約價值不一定為零，遠期價格也就不一定等于交割價格。3.1.1遠期價值、遠期價格與期貨價格類似地，在期貨合約中，我們定義期貨價格（FuturesPrices）為使得期貨合約價值為零的理論交割價格。但值得注意的是，對于期貨合約來說，一般較少談及“期貨合約價值”這個概念。基于期貨的交易機制，投資者持有期貨合約，其價值的變動來源于實際期貨報價的變化。由于期貨每日盯市結算、每日結清浮動盈虧，因此期貨合約價值在每日收盤后都歸零。3.1.1遠期價值、遠期價格與期貨價格當無風險利率恒定且所有到期日都相同時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應相等。3.1.2遠期價格與期貨價格的關系當標的資產價格與利率呈正相關時，期貨價格高于遠期價格。這是因為當標的資產價格上升時，期貨價格通常也會隨之升高，期貨合約的多頭將因每日結算制而立即獲利，并可按高于平均利率的利率將所獲利潤進行再投資。而當標的資產價格下跌時，期貨合約的多頭將因每日結算制而立即虧損，但是可按低于平均利率的利率從市場上融資以補充保證金。相比之下，遠期合約的多頭將不會因利率的變動而受到上述影響。在此情況下，期貨多頭比遠期多頭更具吸引力，期貨價格自然就大于遠期價格。當無風險利率恒定且所有到期日都相同時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應相等。3.1.2遠期價格與期貨價格的關系當標的資產價格與利率呈正相關時，期貨價格高于遠期價格。當標的資產價格與利率呈負相關時，遠期價格就會高于期貨價格。當無風險利率恒定且所有到期日都相同時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應相等。3.1.2遠期價格與期貨價格的關系當標的資產價格與利率呈正相關時，期貨價格高于遠期價格。當標的資產價格與利率呈負相關時，遠期價格就會高于期貨價格。當無風險利率恒定且所有到期日都相同時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應相等。3.1.2遠期價格與期貨價格的關系當標的資產價格與利率呈正相關時，期貨價格高于遠期價格。當標的資產價格與利率呈負相關時，遠期價格就會高于期貨價格。3.1.3基本的假設與符號為分析簡便起見，本章的分析是建立在如下假設前提下的：1．沒有交易費用和稅收。2．市場參與者能以相同的無風險利率借入和貸出資金。3．遠期合約沒有違約風險。4．允許現(xiàn)貨賣空。5．當套利機會出現(xiàn)時，市場參與者將參與套利活動，從而使套利機會消失，我們得到的理論價格就是在沒有套利機會下的均衡價格。6．期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風險利率。這意味著任何人均可不花成本地取得遠期和期貨的多頭或空頭地位。（一）基本的假設3.1.3基本的假設與符號本章將要用到的符號主要有：T：遠期和期貨合約的到期時間，單位為年。t：現(xiàn)在的時間，單位為年。變量T和t是從合約生效之前的某個日期開始計算的，T-t代表遠期和期貨合約中以年為單位的距離到期時間的剩余時間。S：遠期（期貨）標的資產在時間t時的價格。ST：遠期（期貨）標的資產在時間T時的價格（在t時刻這個值是個未知變量）。K：遠期合約中的交割價格。f：遠期合約多頭在t時刻的價值，即t時刻的遠期價值。（二）符號3.1.3基本的假設與符號本章將要用到的符號主要有：T：遠期和期貨合約的到期時間，單位為年。t：現(xiàn)在的時間，單位為年。變量T和t是從合約生效之前的某個日期開始計算的，T-t代表遠期和期貨合約中以年為單位的距離到期時間的剩余時間。S：遠期（期貨）標的資產在時間t時的價格。ST：遠期（期貨）標的資產在時間T時的價格（在t時刻這個值是個未知變量）。K：遠期合約中的交割價格。f：遠期合約多頭在t時刻的價值，即t時刻的遠期價值。（二）符號3.1.3基本的假設與符號F：t時刻的遠期合約和期貨合約中的理論遠期價格和理論期貨價格，在本書中如無特別注明，我們分別簡稱為遠期價格和期貨價格。r：T時刻到期的以連續(xù)復利計算的t時刻的無風險利率（年利率），在本書中，如無特別說明，利率均為連續(xù)復利的年利率。（二）符號（續(xù)）第二節(jié)無收益資產遠期合約的定價無套利定價法與無收益資產的遠期價值3.2.1本章所用的定價方法為無套利定價法?；舅悸窞椋簶嫿▋煞N投資組合，令其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等；否則就可進行套利，眾多套利者這樣做的結果，將使較高現(xiàn)值的投資組合價格下降，而較低現(xiàn)值的投資組合價格上升，直至套利機會消失，此時兩種組合的現(xiàn)值相等。這樣，我們就可根據兩種組合現(xiàn)值相等的關系求出遠期價格。16無套利定價法與無收益資產的遠期價值3.2.117遠期A價格：遠期合約簽訂時價格為零的交割價格A:遠期價格P1B:資產組合P3A:終值價值P2P1+ΔP=P2P2=P3根據無套利定價法，初值也應該相等無套利定價法與無收益資產的遠期價值3.2.1無收益資產：是指遠期合約的標的資產在從時刻t到遠期合約到期時刻T之間不產生現(xiàn)金流收入。如貼現(xiàn)債券，在票面上不規(guī)定利率，發(fā)行時按某一折扣率，以低于票面金額的價格發(fā)行，到期時仍按照面額償還本金的債券。為了給無收益資產的遠期合約定價，我們構建如下兩個組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金，K為遠期合約中的交割價格；組合B：一單位標的資產。遠期合約現(xiàn)金組合A標的資產組合B18無套利定價法與無收益資產的遠期價值3.2.1例如，為了給無收益資產的遠期合約定價，我們構建如下兩個組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金；組合B：一單位標的資產。19問題：假設還存在第二種方法構造組合A’和B’，那么這兩種方法得到的結果是否是唯一的？無套利定價法與無收益資產的遠期價值3.2.1例如，為了給無收益資產的遠期合約定價，我們構建如下兩個組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金；組合B：一單位標的資產。遠期合約現(xiàn)金組合A標的資產組合B20

在組合A中，Ke-r（T－t）的現(xiàn)金以無風險利率投資，投資期為（T－t）。到T時刻，其金額將達到K。這是因為：Ke-r（T－t）er（T－t）=K

在遠期合約到期時，這筆現(xiàn)金剛好可用來交割換來一單位標的資產。這樣，在T時刻，兩種組合都等于一單位標的資產。根據無套利原則：終值相等，則其現(xiàn)值一定相等，這兩種組合在t時刻的價值必須相等。

即t時刻價值f：

f+Ke-r（T－t）=S

無套利定價法與無收益資產的遠期價值3.2.121當前價值價值改變量未來價值

在組合A中，Ke-r（T－t）的現(xiàn)金以無風險利率投資，投資期為（T－t）。到T時刻，其金額將達到K。這是因為：Ke-r（T－t）er（T－t）=K

在遠期合約到期時，這筆現(xiàn)金剛好可用來交割換來一單位標的資產。這樣，在T時刻，兩種組合都等于一單位標的資產。根據無套利原則：終值相等，則其現(xiàn)值一定相等，這兩種組合在t時刻的價值必須相等。

即t時刻價值f：

f+Ke-r（T－t）=S

f=S－Ke-r（T－t）

（3.1）

該公式表明，無收益資產遠期合約多頭的價值等于標的資產現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差額?；蛘哒f,一單位無收益資產遠期合約多頭等價于一單位標的資產多頭和Ke-r（T－t）單位無風險負債的資產組合。

無套利定價法與無收益資產的遠期價值3.2.122無收益資產的現(xiàn)貨-遠期平價定理3.2.2由于遠期價格就是使遠期合約價值為零的交割價格，即當=0時，=。據此可令式（3.1）中的=0，則遠期價格F：

(3.2)

這就是無收益資產的現(xiàn)貨-遠期平價定理（Spot-ForwardParityTheorem），或稱現(xiàn)貨期貨平價定理（Spot-FuturesParityTheorem）。23為了證明無收益資產的現(xiàn)貨-遠期平價定理，我們用反證法證明等式不成立時的情形是不均衡的。若K>Ser（T－t），即交割價格大于現(xiàn)貨價格的終值。在這種情況下，套利者可以按無風險利率r

借入S現(xiàn)金，期限為T－t。然后用S購買一單位標的資產，同時賣出一份該資產的遠期合約，交割價格為K。在T時刻，該套利者就可將一單位標的資產用于交割換來K現(xiàn)金，并歸還借款本息Ser（T－t），這就實現(xiàn)了

K－Ser（T－t）

的無風險利潤。

無收益資產的現(xiàn)貨-遠期平價定理3.2.224若K<Ser（T－t），即交割價值小于現(xiàn)貨價格的終值。套利者就可進行反向操作，即賣空標的資產，將所得收入以無風險利率進行投資，期限為T-t，同時買進一份該標的資產的遠期合約，交割價格為K。在T時刻，套利者收到投資本息Ser（T－t），并以K現(xiàn)金購買一單位標的資產，用于歸還賣空時借入的標的資產，從而實現(xiàn)Ser（T－t）-K的利潤。無收益資產的現(xiàn)貨-遠期平價定理3.2.225無收益資產的現(xiàn)貨-遠期平價定理3.2.226無收益資產的現(xiàn)貨-遠期平價定理3.2.227遠期價格的期限結構3.2.3

遠期價格的期限結構描述的是不同期限遠期價格之間的關系。

設F為在T時刻交割的遠期價格，F(xiàn)*為在T*時刻交割的遠期價格,r為T時刻到期的無風險利率,r*為T*時刻到期的無風險利率。對于無收益資產而言，從無收益資產的現(xiàn)貨-遠期平價公式可知,

兩式消除掉S后，（3.3）28遠期價格的期限結構3.2.329基期價格當期無風險利率當期時長基期無風險利率基期時長遠期價格的期限結構3.2.3

遠期價格的期限結構描述的是不同期限遠期價格之間的關系。

設F為在T時刻交割的遠期價格，F(xiàn)*為在T*時刻交割的遠期價格,r為T時刻到期的無風險利率,r*為T*時刻到期的無風險利率。對于無收益資產而言，從無收益資產的現(xiàn)貨-遠期平價公式可知,

兩式消除掉S后，（3.3）30遠期價格的期限結構3.2.331案例無收益資產遠期合約的遠期價格期限結構目前，3個月期和6個月期的無風險年利率分別為3.99%與4.17%。某支不支付紅利的股票3個月期合約的遠期價格為20元，該股票6個月期的遠期價格為？根據題意F=20,r=3.99%,r*=4.17%,T-t=0.25,T*-t=0.5可以得出6個月期遠期價格應該為：F*=F*er*(T*-t)-r(T-t)=20.22第三節(jié)支付已知現(xiàn)金收益資產遠期合約的定價32

支付已知現(xiàn)金收益的標的資產是指在遠期合約到期前會產生完全可預測的現(xiàn)金流的資產，例如支付已知現(xiàn)金紅利的股票。

仍然采用無套利定價法給支付已知現(xiàn)金收益資產的遠期合約定價。構建如下兩個組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke–r(T-t)的現(xiàn)金。組合B：一單位標的證券加上利率為無風險利率、期限為從當前時刻到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I的負債。支付已知現(xiàn)金收益資產的遠期價值3.3.133組合A在T時刻的價值等于一單位標的證券。在組合B中，由于標的證券的現(xiàn)金收益剛好可以用來償還負債的本息，因此在T時刻，該組合的價值也等于一單位標的證券。因此，在t時刻，這兩個組合的價值應相等，即

(3.4)從組合的角度考慮，式（3.4）說明一單位支付已知現(xiàn)金收益資產的遠期合約多頭可由一單位標的資產和(I+Ke–r(T-t))單位無風險負債構成。支付已知現(xiàn)金收益資產的遠期價值3.3.1343.3.135案例支付已知現(xiàn)金收益資產遠期合約的價值目前，6個月期和1年期的無風險年利率分別為4.17%與4.11%。市場上一種10年期國債現(xiàn)貨價格為990元，該證券一年期遠期合約的交割價格為1001元，該債券在6個月和12個月后都將收到60元利息，且第二次付息在遠期二月交割之前，求該合約的價值。根據題意，可以先算出該債券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值I=60*e-4.17%*0.5+60*e-4.11%*1=116.35進一步可以得到遠期合約多頭的價值：f=S-I-Ke-r(T-t)=-87.04相應的合約的價值為87.04.支付已知現(xiàn)金收益資產的遠期價值支付已知現(xiàn)金收益資產的遠期價格3.3.2

令f=0,K=F,根據遠期價格的定義，我們可從式中求得：（3.5）這就是支付已知現(xiàn)金收益資產的現(xiàn)貨-遠期平價公式。式（3.5）表明，支付已知現(xiàn)金收益資產的遠期價格等于標的證券現(xiàn)貨價格與已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值差額的終值。36反證法：

假設，即交割價格高于遠期理論價格。則套利者可以進行如下操作：以無風險利率借入現(xiàn)金S買入標的資產，并賣出一份交割價為K的遠期合約，將在T-t期間從標的資產獲得的現(xiàn)金收益以無風險利率貸出至T時刻。這樣，到T