第3章 剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

第3

章

Dynamics

ofRigidBody(6)

剛體力學基礎(chǔ)1第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

本章的主要內(nèi)容是研究剛體的轉(zhuǎn)動，尤其是定軸轉(zhuǎn)動。核心內(nèi)容：這些內(nèi)容同學們最不熟悉，請同學們先預(yù)習。

剛體的轉(zhuǎn)動慣量-質(zhì)點平動的慣性質(zhì)量對應(yīng)

定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理-力矩的瞬時效應(yīng)-平動中力的瞬時效應(yīng)定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理及其守恒-力矩的時間積累效應(yīng)-平動中力的時間積累效應(yīng)

定軸轉(zhuǎn)動的功能原理-力矩的空間積累效應(yīng)-平動中力的空間積累效應(yīng)2第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)剛體——力學中物體的一種理想模型。剛體：運動中形狀和大小都保持不變的物體。

實際問題中，當物體的形變很小可忽略時，就將物體視為剛體。(b)剛體有確定的形狀和大小。(c)剛體可看作是由許多質(zhì)點(質(zhì)元)組成的質(zhì)點系。(a)剛體上各質(zhì)點之間的距離保持不變。無論所受外力多大，不論轉(zhuǎn)動多快，剛體的形狀都始終保持不變。剛體的特征：3第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)§3-1.1剛體運動學一.剛體的平動和轉(zhuǎn)動

如果剛體在運動中,剛體內(nèi)任何兩點的連線在空間的指向始終保持平行,這樣的運動就稱為平動。

在平動時,剛體內(nèi)各質(zhì)點的運動狀態(tài)完全相同,因此平動剛體可視為質(zhì)點。通常是用剛體質(zhì)心的運動來代表整個剛體的平動。4第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

剛體的一般運動比較復(fù)雜。但可以證明,剛體一般運動可看作是平動和轉(zhuǎn)動的結(jié)合。

如果剛體內(nèi)的各個質(zhì)點都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運動,這種運動便稱為轉(zhuǎn)動。如果轉(zhuǎn)軸是固定不動的,就稱為定軸轉(zhuǎn)動。

剛體在作定軸轉(zhuǎn)動時,由于各質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離不同,所以各質(zhì)點的線速度、加速度一般是不同的。

r

但由于各質(zhì)點的相對位置保持不變,所以描述各質(zhì)點運動的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一樣的。二.定軸轉(zhuǎn)動的描述5第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

r

1描述定軸轉(zhuǎn)動剛體的運動的角量角坐標：

角位移：

單位：rad角速度方向：與轉(zhuǎn)向成右手螺旋關(guān)系。6第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)角加速度角加速度為角速度對時間t的一次導(dǎo)數(shù)，或為角坐標對時間t的二次導(dǎo)數(shù)。單位：弧度/秒2，rad/s2,s-2方向：角速度變化的方向。7第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

對于剛體轉(zhuǎn)動而言，可用角位移、角速度、角加速度來描寫，但對于剛體上的某一點來講是作曲線運動的，可用位移、速度、加速度來描寫。那么描寫平動的線量與描寫轉(zhuǎn)動的角量之間有什么關(guān)系呢？2線量與角量之間的關(guān)系剛體轉(zhuǎn)過剛體上的一點位移線位移和角位移的關(guān)系8第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)速度與角速度之間的關(guān)系加速度與角加速度之間的關(guān)系

將質(zhì)點的加速度可分解為切向加速度和法向加速度.將式兩邊同除9第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)由若角加速度β

=c(恒量)，則有10第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

一.剛體的角動量(質(zhì)點系的角動量)

剛體的角動量=剛體上各個質(zhì)點的角動量之和。

§3-1.1.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動Z

L

mi

irio式中:I=

Δmiri2稱為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量。

Li=Δmi

iri=Δmiri2

設(shè)剛體以角速度

繞固定軸z轉(zhuǎn)動(見圖),質(zhì)量為Δmi的質(zhì)點對o點的角動量為

=I

剛體對z軸的角動量就是

Lz=(

Δmiri2)

11第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

問題：為何動量的概念對剛體的轉(zhuǎn)動已失去意義？P=0Z

L

mi

irio剛體對z軸的角動量：

Lz=I

顯然，剛體的角動量的方向與角速度

的方向相同，沿z軸方向(見圖),故也稱為剛體對固定軸z的角動量。12第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)質(zhì)量m—物體平動慣性大小的量度。

動量:p=m

轉(zhuǎn)動慣量的物理意義I=

Δmiri2稱為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量。Z

L

mi

irio轉(zhuǎn)動慣量I—物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。角動量:L=I

13第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)證明：剛體質(zhì)點系的一對內(nèi)力的力矩之和為零。ij質(zhì)點系中的一對內(nèi)力的力矩之和為零。質(zhì)點系內(nèi)力的力矩之和為零。14第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)證明：剛體質(zhì)點系的一對內(nèi)力做功之和為零。15第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)二.剛體定軸轉(zhuǎn)動定理按質(zhì)點角動量定理式，有

設(shè)有一質(zhì)點系,第i個質(zhì)點的位矢為ri,外力為Fi,內(nèi)力為,mi：對各質(zhì)點求和，并注意到得16第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)=M

質(zhì)點系所受的合外力矩=L

質(zhì)點系的總角動量于是得式的意義是:質(zhì)點系所受的合外力矩等于質(zhì)點系的總角動量對時間的變化率。這個結(jié)論叫質(zhì)點系角動量定理。顯然它也適用于定軸轉(zhuǎn)動剛體這樣的質(zhì)點系。17第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

對定軸轉(zhuǎn)動的剛體,I為常量,d

/dt=β,故式又可寫成

上式是一矢量式,它沿通過定點的固定軸z方向上的分量式為這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動定理，它是剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學方程。

M=Iβ(Lz=I

)上式稱為物體定軸轉(zhuǎn)動方程。18第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

式子表明,剛體所受的合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體角加速度的乘積。恒與方向相同.物理意義:1受合外力矩作用,剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)將發(fā)生改變，產(chǎn)生角加速度。

當剛體的一定時，19第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)2當一定時，注意：1改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)，產(chǎn)生角加速度的原因是力矩，而不是力！是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。I表征剛體保持其原有轉(zhuǎn)動狀態(tài)的能力。I是剛體的固有屬性，與剛體處于什么狀態(tài)無關(guān)．20第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)2為瞬間作用規(guī)律。一旦，立刻，勻角速度轉(zhuǎn)動。3和，均對同一轉(zhuǎn)軸而言。4代表作用于剛體的合外力矩，特別強調(diào)：系統(tǒng)所受合外力為零，一對力偶產(chǎn)生的力矩不為零。

以上內(nèi)容的學習要點：掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動定律及用隔離體法求解(剛體+質(zhì)點)系統(tǒng)問題的方法。21第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

質(zhì)量m—物體平動慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動慣量I—物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。§3-1.2轉(zhuǎn)動慣量

動量:p=m

角動量:L=I

一.轉(zhuǎn)動慣量的物理意義22第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)I=

Δmiri2即：質(zhì)點體系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的質(zhì)量乘以它到轉(zhuǎn)軸距離的平方的總和。式中:r為剛體上的質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的距離。(1)質(zhì)量離散分布質(zhì)點體系二.轉(zhuǎn)動慣量的計算(2)質(zhì)量連續(xù)分布剛體

23第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

三.平行軸定理Io=Ic+Md2Ic

通過剛體質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量;M

剛體系統(tǒng)的總質(zhì)量;d

兩平行軸(o,c)間的距離。IoIcdCMo24第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)平行軸定理的證明25第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)o

通過o點且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為

(1)正三角形的各頂點處有一質(zhì)點m，用質(zhì)量不計的細桿連接,如圖。系統(tǒng)對通過質(zhì)心C且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為3=ml2+(3m)r2=2ml2例題質(zhì)量離散分布剛體:I=

Δmiri2lll·crmmm剛體的轉(zhuǎn)動慣量不僅依賴于質(zhì)量的大小，而且還依賴于質(zhì)量到轉(zhuǎn)軸的空間分布。+ml2=2ml2ml2IO=26第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

(2)用質(zhì)量不計的細桿連接的五個質(zhì)點,如圖所示。轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)點所在平面且通過o點,轉(zhuǎn)動慣量為IO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll27第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

(1)質(zhì)量為m、長度為l的細直棒，可繞通過質(zhì)心C且垂直于棒的中心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量。例題質(zhì)量連續(xù)分布剛體:記??！

若棒繞一端o轉(zhuǎn)動，由平行軸定理，則轉(zhuǎn)動慣量為

Cdxdmxxo

解方法：將細棒分為若干微元dm=(m/l)dx,然后積分得o28第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)R

(3)均質(zhì)圓盤(m,R)繞中心軸轉(zhuǎn)動時，可將圓盤劃分為若干個半徑r、寬dr的圓環(huán)積分：

(2)均質(zhì)細圓環(huán)(m,R)繞中心軸轉(zhuǎn)動時，其轉(zhuǎn)動慣量為

dmrdr29第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

解由M=Iβ,=o+βt

有外力矩時,

例題以20N.m的恒力矩作用在有固定軸的轉(zhuǎn)輪上，在10s內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速均勻地由零增大到100rev/min。此時撤去該力矩,轉(zhuǎn)輪經(jīng)100s而停止。試推算此轉(zhuǎn)輪對該軸的轉(zhuǎn)動慣量。

撤去外力矩時,-Mr=Iβ2,

β2=-/t2(2)20=J

1，

1=/t1(因o=0)20-Mr=Iβ1，β1=/t1(因o=0)(1)代入t1=10s,t2=100s,

=(100×2)/60=10.5rad/s,解式(1)、(2)得

I=17.3kg.m2。30第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

解

對柱體,由轉(zhuǎn)動定律M=Iβ有

mg.R=Iβ

這式子對嗎？

例題質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)柱體可繞通過其中心軸線的光滑水平固定軸轉(zhuǎn)動；柱體邊緣繞有一根不能伸長的細繩，繩子下端掛一質(zhì)量為m的物體，如圖所示。求柱體的角加速度及繩中的張力。mg

TmMR

對m:mg-T=ma錯！此時繩中張力Tmg。隔離體法+轉(zhuǎn)動定理。解得β=2mg/[(2m+M)R],T=Mmg/(2m+M)。對柱：TR=Iβ關(guān)聯(lián)方程：a=Rβ31第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)求解聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)，可得

=2m/s,T1=48N,T2=58N。m1:T1R=m1R2β1

m2:T2r-T1r=m2r2β2

例題兩勻質(zhì)圓盤可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動，質(zhì)量m1=24kg，m2=5kg。一輕繩纏繞于盤m1上，另一端通過盤m2后掛有m=10kg的物體。求物體m由靜止開始下落h=0.5m時，物體m的速度及繩中的張力。

解各物體受力情況如圖所示。T1T1m1Rβ1m2β2rT2mgmm:mg-T2=maa=Rβ1=rβ2,

2=2ah32第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)小結(jié):若一個系統(tǒng)的運動包含物體平動和剛體的轉(zhuǎn)動處理辦法：對平動的物體，分析受力，按照列方程。對轉(zhuǎn)動的剛體，分析力矩，按照列方程。補加轉(zhuǎn)動與平動的關(guān)聯(lián)方程聯(lián)立求解各方程。33第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

例題一根質(zhì)量為m、長為l的均勻細棒AB，可繞一水平光滑軸o在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，Ao=

l/3。今使棒從水平位置由靜止開始轉(zhuǎn)動，求棒轉(zhuǎn)過角

時的角加速度和角速度。

CmgABo

解細棒AB受的重力可集中在質(zhì)心，故重力的力矩為34第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)完成積分得討論:

(1)當

=0時，β=3g/2l，

=0

；

(2)當

=90°時，β=0，又因CmgABo

35第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

例題勻質(zhì)圓盤：質(zhì)量m、半徑R，以

o的角速度轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)將盤置于粗糙的水平桌面上，摩擦系數(shù)為μ，求圓盤經(jīng)多少時間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來？

解將圓盤分為無限多個半徑為r、寬為dr的圓環(huán)，用積分計算出摩擦力矩。

o水平桌面rdr36第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)于是得由

=

o+βt=0得

又由

2-o2=2β

，所以停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為

o水平桌面rdr37第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

§3-2定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律

上式的物理意義是：合外力矩的沖量(沖量矩)等于物體角動量的增量。定軸轉(zhuǎn)動方程:若物體所受的合外力矩為零(即Ｍ＝0)時，則

I

=常量

這表明：當合外力矩為零時，物體的角動量將保持不變，這就是定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律。38第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

當系統(tǒng)所受的合外力力矩為零時，系統(tǒng)的總角動量的矢量和就保持不變。

在日常生活中,利用角動量守恒的例子也是很多的。

系統(tǒng)角動量守恒定律：

系統(tǒng)動量守恒是：時,

對比：

時,系統(tǒng)角動量守恒：39第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)40第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

角動量守恒在現(xiàn)代技術(shù)中有著非常廣泛的應(yīng)用。例如直升飛機在未發(fā)動前總角動量為零,發(fā)動以后旋翼在水平面內(nèi)高速旋轉(zhuǎn)必然引起機身的反向旋轉(zhuǎn)。為了避免這種情況,人們在機尾上安裝一個在豎直平面旋轉(zhuǎn)的尾翼,由此產(chǎn)生水平面內(nèi)的推動力來阻礙機身的旋轉(zhuǎn)運動。與此類似,魚雷尾部采用左右兩個沿相反方向轉(zhuǎn)動的螺旋漿來推動魚雷前進,也是為了避免魚雷前進中的自旋。安裝在輪船、飛機、導(dǎo)彈或宇宙飛船上的回轉(zhuǎn)儀(也叫“陀螺”)的導(dǎo)航作用，也是角動量守恒應(yīng)用的最好例證。

以上內(nèi)容的學習要點：掌握角動量守恒的條件及用角動量守恒定律求解問題的方法。41第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

解

(1)桿+子彈：豎直位置，外力(軸o處的力和重力)均不產(chǎn)生力矩，故碰撞過程中角動量守恒：

解得

例題勻質(zhì)桿：長為l、質(zhì)量M，可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動，開始時桿豎直下垂。質(zhì)量為m的子彈以水平速度

o射入桿上的A點，并嵌在桿中，oA=2l/3,求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度;m

ooA

42第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

例題勻質(zhì)園盤(M、R)與人(m,視為質(zhì)點)一起以角速度

o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。當此人從盤的邊緣走到盤心時，圓盤的角速度是多少？

解

(1)系統(tǒng)(圓盤+人)什么量守恒？

o系統(tǒng)角動量守恒：43第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

解

(1)系統(tǒng)(圓盤+人)什么量守恒？

例題5-12

勻質(zhì)園盤(m、R)與一人(,視為質(zhì)點)一起以角速度

o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動,如圖所示。如果此人相對于盤以速率

、沿半徑為的園周運動(方向與盤轉(zhuǎn)動方向相反),求:

(1)圓盤對地的角速度;(2)欲使園盤對地靜止，人相對園盤的速度大小和方向？

o

上式正確嗎？系統(tǒng)角動量守恒：44第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

o

角動量守恒式子是：

錯！因為角動量守恒定律只適用于慣性系。

所以應(yīng)代入人相對于慣性系(地面)的角動量。45第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)解出：

o

人對地=

人對盤+

盤對地

人對地=+

46第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)(2)欲使盤靜止，可令得式中負號表示人的運動方向與盤的初始轉(zhuǎn)動(

o)方向一致。

o

47第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)剛體的轉(zhuǎn)動動能為

1.剛體的轉(zhuǎn)動動能=剛體上各質(zhì)點動能之和。設(shè)剛體繞一定軸以角速度

轉(zhuǎn)動，第i個質(zhì)點Δmi到轉(zhuǎn)軸的距離為ri,

Δmi的線速度

i=ri

,相應(yīng)的動能質(zhì)點的平動動能為對比！§3-3定軸轉(zhuǎn)動中的功和能一.剛體的轉(zhuǎn)動動能Z

mi

irio48第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

設(shè)物體在力F作用下，繞定軸oz轉(zhuǎn)動，則力F的元功是二.力矩的功

力矩的功率是ZFdsd

op

r即：力矩的元功等于力矩M和角位移d

的乘積。=Frdsin=Md

dA=Fdscos(90-)49第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

上式說明：合外力矩的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。這便是定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。

三.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理對比:質(zhì)點動能定理：（I=恒量）50第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

一個包括有剛體在內(nèi)的系統(tǒng),如果只有保守內(nèi)力作功,則這系統(tǒng)的機械能也同樣守恒。式中,hc為剛體質(zhì)心到零勢面的高度。

四.機械能守恒定律在剛體系統(tǒng)中的應(yīng)用

在計算剛體的重力勢能時，可將它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心。剛體的機械能為51第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

例題均勻細直棒：質(zhì)量m、長為l，可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動。開始時，棒靜止在豎直位置，求棒轉(zhuǎn)到與水平面成

角時的角速度和角加速度。

Chco

解

棒在轉(zhuǎn)動的過程中，只有保守力(重力)作功，故機械能守恒。取水平面為零勢面，于是有由上得52第3章剛體力學基礎(chǔ)(完全版)

討論：本題也可先由M=Iβ求出β，再用β=d/dt積分求出

，如ppt34例題那樣。

Chco角加速度：53第3章剛體力學基