第3章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

第3

章

Dynamics

ofRigidBody(6)

剛體力學(xué)基礎(chǔ)1第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

本章的主要內(nèi)容是研究剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，尤其是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。核心內(nèi)容：這些內(nèi)容同學(xué)們最不熟悉，請(qǐng)同學(xué)們先預(yù)習(xí)。

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量-質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)的慣性質(zhì)量對(duì)應(yīng)

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理-力矩的瞬時(shí)效應(yīng)-平動(dòng)中力的瞬時(shí)效應(yīng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理及其守恒-力矩的時(shí)間積累效應(yīng)-平動(dòng)中力的時(shí)間積累效應(yīng)

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理-力矩的空間積累效應(yīng)-平動(dòng)中力的空間積累效應(yīng)2第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)剛體——力學(xué)中物體的一種理想模型。剛體：運(yùn)動(dòng)中形狀和大小都保持不變的物體。

實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)物體的形變很小可忽略時(shí)，就將物體視為剛體。(b)剛體有確定的形狀和大小。(c)剛體可看作是由許多質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)元)組成的質(zhì)點(diǎn)系。(a)剛體上各質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變。無(wú)論所受外力多大，不論轉(zhuǎn)動(dòng)多快，剛體的形狀都始終保持不變。剛體的特征：3第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)§3-1.1剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)一.剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)

如果剛體在運(yùn)動(dòng)中,剛體內(nèi)任何兩點(diǎn)的連線在空間的指向始終保持平行,這樣的運(yùn)動(dòng)就稱為平動(dòng)。

在平動(dòng)時(shí),剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同,因此平動(dòng)剛體可視為質(zhì)點(diǎn)。通常是用剛體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整個(gè)剛體的平動(dòng)。4第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

剛體的一般運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜。但可以證明,剛體一般運(yùn)動(dòng)可看作是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合。

如果剛體內(nèi)的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運(yùn)動(dòng),這種運(yùn)動(dòng)便稱為轉(zhuǎn)動(dòng)。如果轉(zhuǎn)軸是固定不動(dòng)的,就稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

剛體在作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),由于各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離不同,所以各質(zhì)點(diǎn)的線速度、加速度一般是不同的。

r

但由于各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置保持不變,所以描述各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一樣的。二.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述5第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

r

1描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)的角量角坐標(biāo)：

角位移：

單位：rad角速度方向：與轉(zhuǎn)向成右手螺旋關(guān)系。6第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)角加速度角加速度為角速度對(duì)時(shí)間t的一次導(dǎo)數(shù)，或?yàn)榻亲鴺?biāo)對(duì)時(shí)間t的二次導(dǎo)數(shù)。單位：弧度/秒2，rad/s2,s-2方向：角速度變化的方向。7第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

對(duì)于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)而言，可用角位移、角速度、角加速度來(lái)描寫(xiě)，但對(duì)于剛體上的某一點(diǎn)來(lái)講是作曲線運(yùn)動(dòng)的，可用位移、速度、加速度來(lái)描寫(xiě)。那么描寫(xiě)平動(dòng)的線量與描寫(xiě)轉(zhuǎn)動(dòng)的角量之間有什么關(guān)系呢？2線量與角量之間的關(guān)系剛體轉(zhuǎn)過(guò)剛體上的一點(diǎn)位移線位移和角位移的關(guān)系8第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)速度與角速度之間的關(guān)系加速度與角加速度之間的關(guān)系

將質(zhì)點(diǎn)的加速度可分解為切向加速度和法向加速度.將式兩邊同除9第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)由若角加速度β

=c(恒量)，則有10第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

一.剛體的角動(dòng)量(質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量)

剛體的角動(dòng)量=剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量之和。

§3-1.1.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)Z

L

mi

irio式中:I=

Δmiri2稱為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

Li=Δmi

iri=Δmiri2

設(shè)剛體以角速度

繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)(見(jiàn)圖),質(zhì)量為Δmi的質(zhì)點(diǎn)對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量為

=I

剛體對(duì)z軸的角動(dòng)量就是

Lz=(

Δmiri2)

11第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

問(wèn)題：為何動(dòng)量的概念對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)已失去意義？P=0Z

L

mi

irio剛體對(duì)z軸的角動(dòng)量：

Lz=I

顯然，剛體的角動(dòng)量的方向與角速度

的方向相同，沿z軸方向(見(jiàn)圖),故也稱為剛體對(duì)固定軸z的角動(dòng)量。12第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)質(zhì)量m—物體平動(dòng)慣性大小的量度。

動(dòng)量:p=m

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義I=

Δmiri2稱為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Z

L

mi

irio轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I—物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。角動(dòng)量:L=I

13第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)證明：剛體質(zhì)點(diǎn)系的一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零。ij質(zhì)點(diǎn)系中的一對(duì)內(nèi)力的力矩之和為零。質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的力矩之和為零。14第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)證明：剛體質(zhì)點(diǎn)系的一對(duì)內(nèi)力做功之和為零。15第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)二.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理按質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理式，有

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系,第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位矢為ri,外力為Fi,內(nèi)力為,mi：對(duì)各質(zhì)點(diǎn)求和，并注意到得16第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)=M

質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩=L

質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量于是得式的意義是:質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩等于質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。這個(gè)結(jié)論叫質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理。顯然它也適用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體這樣的質(zhì)點(diǎn)系。17第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體,I為常量,d

/dt=β,故式又可寫(xiě)成

上式是一矢量式,它沿通過(guò)定點(diǎn)的固定軸z方向上的分量式為這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理，它是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。

M=Iβ(Lz=I

)上式稱為物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程。18第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

式子表明,剛體所受的合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體角加速度的乘積。恒與方向相同.物理意義:1受合外力矩作用,剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)將發(fā)生改變，產(chǎn)生角加速度。

當(dāng)剛體的一定時(shí)，19第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)2當(dāng)一定時(shí)，注意：1改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，產(chǎn)生角加速度的原因是力矩，而不是力！是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。I表征剛體保持其原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的能力。I是剛體的固有屬性，與剛體處于什么狀態(tài)無(wú)關(guān)．20第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)2為瞬間作用規(guī)律。一旦，立刻，勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。3和，均對(duì)同一轉(zhuǎn)軸而言。4代表作用于剛體的合外力矩，特別強(qiáng)調(diào)：系統(tǒng)所受合外力為零，一對(duì)力偶產(chǎn)生的力矩不為零。

以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)要點(diǎn)：掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律及用隔離體法求解(剛體+質(zhì)點(diǎn))系統(tǒng)問(wèn)題的方法。21第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

質(zhì)量m—物體平動(dòng)慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I—物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度?！?-1.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

動(dòng)量:p=m

角動(dòng)量:L=I

一.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義22第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)I=

Δmiri2即：質(zhì)點(diǎn)體系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量乘以它到轉(zhuǎn)軸距離的平方的總和。式中:r為剛體上的質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的距離。(1)質(zhì)量離散分布質(zhì)點(diǎn)體系二.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算(2)質(zhì)量連續(xù)分布剛體

23第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

三.平行軸定理Io=Ic+Md2Ic

通過(guò)剛體質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;M

剛體系統(tǒng)的總質(zhì)量;d

兩平行軸(o,c)間的距離。IoIcdCMo24第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)平行軸定理的證明25第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)o

通過(guò)o點(diǎn)且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(1)正三角形的各頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)m，用質(zhì)量不計(jì)的細(xì)桿連接,如圖。系統(tǒng)對(duì)通過(guò)質(zhì)心C且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為3=ml2+(3m)r2=2ml2例題質(zhì)量離散分布剛體:I=

Δmiri2lll·crmmm剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅依賴于質(zhì)量的大小，而且還依賴于質(zhì)量到轉(zhuǎn)軸的空間分布。+ml2=2ml2ml2IO=26第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

(2)用質(zhì)量不計(jì)的細(xì)桿連接的五個(gè)質(zhì)點(diǎn),如圖所示。轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)點(diǎn)所在平面且通過(guò)o點(diǎn),轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll27第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

(1)質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l的細(xì)直棒，可繞通過(guò)質(zhì)心C且垂直于棒的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例題質(zhì)量連續(xù)分布剛體:記?。?/p>

若棒繞一端o轉(zhuǎn)動(dòng)，由平行軸定理，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

Cdxdmxxo

解方法：將細(xì)棒分為若干微元dm=(m/l)dx,然后積分得o28第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)R

(3)均質(zhì)圓盤(pán)(m,R)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可將圓盤(pán)劃分為若干個(gè)半徑r、寬dr的圓環(huán)積分：

(2)均質(zhì)細(xì)圓環(huán)(m,R)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

dmrdr29第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

解由M=Iβ,=o+βt

有外力矩時(shí),

例題以20N.m的恒力矩作用在有固定軸的轉(zhuǎn)輪上，在10s內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速均勻地由零增大到100rev/min。此時(shí)撤去該力矩,轉(zhuǎn)輪經(jīng)100s而停止。試推算此轉(zhuǎn)輪對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

撤去外力矩時(shí),-Mr=Iβ2,

β2=-/t2(2)20=J

1，

1=/t1(因o=0)20-Mr=Iβ1，β1=/t1(因o=0)(1)代入t1=10s,t2=100s,

=(100×2)/60=10.5rad/s,解式(1)、(2)得

I=17.3kg.m2。30第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

解

對(duì)柱體,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=Iβ有

mg.R=Iβ

這式子對(duì)嗎？

例題質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)柱體可繞通過(guò)其中心軸線的光滑水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；柱體邊緣繞有一根不能伸長(zhǎng)的細(xì)繩，繩子下端掛一質(zhì)量為m的物體，如圖所示。求柱體的角加速度及繩中的張力。mg

TmMR

對(duì)m:mg-T=ma錯(cuò)！此時(shí)繩中張力Tmg。隔離體法+轉(zhuǎn)動(dòng)定理。解得β=2mg/[(2m+M)R],T=Mmg/(2m+M)。對(duì)柱：TR=Iβ關(guān)聯(lián)方程：a=Rβ31第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)求解聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)，可得

=2m/s,T1=48N,T2=58N。m1:T1R=m1R2β1

m2:T2r-T1r=m2r2β2

例題兩勻質(zhì)圓盤(pán)可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量m1=24kg，m2=5kg。一輕繩纏繞于盤(pán)m1上，另一端通過(guò)盤(pán)m2后掛有m=10kg的物體。求物體m由靜止開(kāi)始下落h=0.5m時(shí)，物體m的速度及繩中的張力。

解各物體受力情況如圖所示。T1T1m1Rβ1m2β2rT2mgmm:mg-T2=maa=Rβ1=rβ2,

2=2ah32第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)小結(jié):若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)包含物體平動(dòng)和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)處理辦法：對(duì)平動(dòng)的物體，分析受力，按照列方程。對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，分析力矩，按照列方程。補(bǔ)加轉(zhuǎn)動(dòng)與平動(dòng)的關(guān)聯(lián)方程聯(lián)立求解各方程。33第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

例題一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒AB，可繞一水平光滑軸o在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，Ao=

l/3。今使棒從水平位置由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，求棒轉(zhuǎn)過(guò)角

時(shí)的角加速度和角速度。

CmgABo

解細(xì)棒AB受的重力可集中在質(zhì)心，故重力的力矩為34第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)完成積分得討論:

(1)當(dāng)

=0時(shí)，β=3g/2l，

=0

；

(2)當(dāng)

=90°時(shí)，β=0，又因CmgABo

35第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

例題勻質(zhì)圓盤(pán)：質(zhì)量m、半徑R，以

o的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)將盤(pán)置于粗糙的水平桌面上，摩擦系數(shù)為μ，求圓盤(pán)經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來(lái)？

解將圓盤(pán)分為無(wú)限多個(gè)半徑為r、寬為dr的圓環(huán)，用積分計(jì)算出摩擦力矩。

o水平桌面rdr36第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)于是得由

=

o+βt=0得

又由

2-o2=2β

，所以停下來(lái)前轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為

o水平桌面rdr37第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

§3-2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律

上式的物理意義是：合外力矩的沖量(沖量矩)等于物體角動(dòng)量的增量。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程:若物體所受的合外力矩為零(即Ｍ＝0)時(shí)，則

I

=常量

這表明：當(dāng)合外力矩為零時(shí)，物體的角動(dòng)量將保持不變，這就是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律。38第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

當(dāng)系統(tǒng)所受的合外力力矩為零時(shí)，系統(tǒng)的總角動(dòng)量的矢量和就保持不變。

在日常生活中,利用角動(dòng)量守恒的例子也是很多的。

系統(tǒng)角動(dòng)量守恒定律：

系統(tǒng)動(dòng)量守恒是：時(shí),

對(duì)比：

時(shí),系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：39第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)40第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

角動(dòng)量守恒在現(xiàn)代技術(shù)中有著非常廣泛的應(yīng)用。例如直升飛機(jī)在未發(fā)動(dòng)前總角動(dòng)量為零,發(fā)動(dòng)以后旋翼在水平面內(nèi)高速旋轉(zhuǎn)必然引起機(jī)身的反向旋轉(zhuǎn)。為了避免這種情況,人們?cè)跈C(jī)尾上安裝一個(gè)在豎直平面旋轉(zhuǎn)的尾翼,由此產(chǎn)生水平面內(nèi)的推動(dòng)力來(lái)阻礙機(jī)身的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。與此類(lèi)似,魚(yú)雷尾部采用左右兩個(gè)沿相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)的螺旋漿來(lái)推動(dòng)魚(yú)雷前進(jìn),也是為了避免魚(yú)雷前進(jìn)中的自旋。安裝在輪船、飛機(jī)、導(dǎo)彈或宇宙飛船上的回轉(zhuǎn)儀(也叫“陀螺”)的導(dǎo)航作用，也是角動(dòng)量守恒應(yīng)用的最好例證。

以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)要點(diǎn)：掌握角動(dòng)量守恒的條件及用角動(dòng)量守恒定律求解問(wèn)題的方法。41第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

解

(1)桿+子彈：豎直位置，外力(軸o處的力和重力)均不產(chǎn)生力矩，故碰撞過(guò)程中角動(dòng)量守恒：

解得

例題勻質(zhì)桿：長(zhǎng)為l、質(zhì)量M，可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)桿豎直下垂。質(zhì)量為m的子彈以水平速度

o射入桿上的A點(diǎn)，并嵌在桿中，oA=2l/3,求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度;m

ooA

42第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

例題勻質(zhì)園盤(pán)(M、R)與人(m,視為質(zhì)點(diǎn))一起以角速度

o繞通過(guò)其盤(pán)心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)此人從盤(pán)的邊緣走到盤(pán)心時(shí)，圓盤(pán)的角速度是多少？

解

(1)系統(tǒng)(圓盤(pán)+人)什么量守恒？

o系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：43第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

解

(1)系統(tǒng)(圓盤(pán)+人)什么量守恒？

例題5-12

勻質(zhì)園盤(pán)(m、R)與一人(,視為質(zhì)點(diǎn))一起以角速度

o繞通過(guò)其盤(pán)心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),如圖所示。如果此人相對(duì)于盤(pán)以速率

、沿半徑為的園周運(yùn)動(dòng)(方向與盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反),求:

(1)圓盤(pán)對(duì)地的角速度;(2)欲使園盤(pán)對(duì)地靜止，人相對(duì)園盤(pán)的速度大小和方向？

o

上式正確嗎？系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：44第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

o

角動(dòng)量守恒式子是：

錯(cuò)！因?yàn)榻莿?dòng)量守恒定律只適用于慣性系。

所以應(yīng)代入人相對(duì)于慣性系(地面)的角動(dòng)量。45第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)解出：

o

人對(duì)地=

人對(duì)盤(pán)+

盤(pán)對(duì)地

人對(duì)地=+

46第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)(2)欲使盤(pán)靜止，可令得式中負(fù)號(hào)表示人的運(yùn)動(dòng)方向與盤(pán)的初始轉(zhuǎn)動(dòng)(

o)方向一致。

o

47第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

1.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能=剛體上各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和。設(shè)剛體繞一定軸以角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)Δmi到轉(zhuǎn)軸的距離為ri,

Δmi的線速度

i=ri

,相應(yīng)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)動(dòng)能為對(duì)比！§3-3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能一.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Z

mi

irio48第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

設(shè)物體在力F作用下，繞定軸oz轉(zhuǎn)動(dòng)，則力F的元功是二.力矩的功

力矩的功率是ZFdsd

op

r即：力矩的元功等于力矩M和角位移d

的乘積。=Frdsin=Md

dA=Fdscos(90-)49第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

上式說(shuō)明：合外力矩的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。這便是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。

三.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理對(duì)比:質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：（I=恒量）50第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

一個(gè)包括有剛體在內(nèi)的系統(tǒng),如果只有保守內(nèi)力作功,則這系統(tǒng)的機(jī)械能也同樣守恒。式中,hc為剛體質(zhì)心到零勢(shì)面的高度。

四.機(jī)械能守恒定律在剛體系統(tǒng)中的應(yīng)用

在計(jì)算剛體的重力勢(shì)能時(shí)，可將它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心。剛體的機(jī)械能為51第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

例題均勻細(xì)直棒：質(zhì)量m、長(zhǎng)為l，可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)。開(kāi)始時(shí)，棒靜止在豎直位置，求棒轉(zhuǎn)到與水平面成

角時(shí)的角速度和角加速度。

Chco

解

棒在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，只有保守力(重力)作功，故機(jī)械能守恒。取水平面為零勢(shì)面，于是有由上得52第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)(完全版)

討論：本題也可先由M=Iβ求出β，再用β=d/dt積分求出

，如ppt34例題那樣。

Chco角加速度：53第3章剛體力學(xué)基