醫(yī)用高等數(shù)學(xué)-矩陣的初等變換

第三節(jié)矩陣的初等變換醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-01一、矩陣的初等變換二、利用初等變換解線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-02

在求解線性方程組的過程中，用到如下三種變換：（1）交換方程次序；（2）以不等于0的數(shù)乘以某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-03

上述三種變換都是可逆的。所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的。故這三種變換是同解變換。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-04矩陣的初等行變換對(duì)矩陣A

施以下面三種變換，稱為矩陣的初等行變換：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-05（1）互換A

的兩行；（2）將A

的某行各元素乘以同一非零常數(shù)；（3）把A

的某行各元素乘以非零常數(shù)后加到另一行相對(duì)應(yīng)的元素上。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-06矩陣的初等列變換對(duì)矩陣A

施以下面三種變換，稱為矩陣的初等列變換：（1）互換A

的兩列；（2）將A

的某列各元素乘以同一非零常數(shù)；（3）把A

的某列各元素乘以非零常數(shù)后加到另一列相對(duì)應(yīng)的元素上。

三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換（以行變換為例）：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-07（1）ri

rj

ri

rj；（2）ri

k

ri1/k；（3）+kri

rj

kri

rj。矩陣的初等變換矩陣的初等行變換與列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。k

階子式在矩陣A=(aij)m

n

中任取k

行k

列(k

min(m,n))，在這些行、列交叉位置上的k2

個(gè)元素保持它們?cè)瓉淼南鄬?duì)位置不變而所構(gòu)成的k階行列式，稱為矩陣A

的一個(gè)k階子式。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-08例矩陣醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-09秩

矩陣A

中不等于零的子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A

的秩，記作r(A)。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-10例矩陣醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-11r(A)=2r(A)=3

若矩陣A

中的所有r+1階子式全等于0時(shí)，那么由行列式的性質(zhì)知，所有高于r+1階的子式也全等于0，因此，矩陣A

的秩r(A)就是矩陣A

中不等于0的子式的最高階數(shù)。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-12滿秩矩陣若A

是n

階方陣，則當(dāng)r(A)=n

時(shí)，稱A

是滿秩矩陣，否則稱A

是降秩矩陣。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-13

由于滿秩矩陣的n

階子式即行列式detA

0，因此滿秩矩陣是可逆矩陣，而降秩矩陣是不可逆矩陣。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-14行階梯形矩陣若矩陣中每行的左邊第一個(gè)非零元素出現(xiàn)在上一行左邊第一個(gè)非零元素的右邊，稱此矩陣為行階梯形矩陣。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-15醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-16r(A)=4例

行階梯形矩陣醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-17r(A)=3例

行階梯形矩陣醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-18求矩陣的秩的簡便方法對(duì)矩陣A

作初等行變換將其化為行階梯形矩陣，則非零行向量的個(gè)數(shù)即是矩陣r(A)的秩。定理矩陣經(jīng)初等變換后，其秩不變。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-19例求下列矩陣A

的秩。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-20醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-21定理若A

是可逆矩陣，則將A

化為單位矩陣E

的初等行變換恰好將E化為A

1，即

(A:E)

(E:A

1)初等行變換例試用初等變換判別下列矩陣是否可逆，在可逆時(shí)求出逆矩陣。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-22（1）（2）注（1）對(duì)矩陣(A:E)只能施以行初等變換求逆陣，不得出現(xiàn)列初等變換；醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-23（2）若不知矩陣A

是否可逆，也可對(duì)矩陣(A:E)施以行初等變換，如果左邊子塊中有一行（或列）的元素都為零，則A

不可逆。課堂討論題利用初等變換求下列矩陣A

的逆矩陣。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-24例求解線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-25醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-26醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-27醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-28醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-29

在線性方程組中醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-30令則方程組可表示為矩陣形式AX=B醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-31其中，A

稱為線性方程組的系數(shù)矩陣，X

稱為線性方程組的未知量矩陣，B

稱為線性方程組的常數(shù)項(xiàng)矩陣。且把稱為線性方程組的增廣矩陣。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-32標(biāo)準(zhǔn)階梯形把增廣矩陣化為階梯形，而且通過初等行變換，還可以使階梯形每行第一個(gè)非零元素為1，并且這個(gè)1的同列其他元素都為零，這樣的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)階梯形。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-33例求解線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-34定理設(shè)線性方程組AX=B

的系數(shù)矩陣為A，增廣矩陣為(A:B)，則（1）當(dāng)r(A:B)>r(A)，方程組無解；（2）當(dāng)r(A:B)=r(A)=n，方程組有唯一解；（3）當(dāng)r(A:B)=r(A)=r<n，方程組有無窮多解（有n

r

個(gè)自由未知量）醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-35相容的設(shè)線性方程組AX=B

的系數(shù)矩陣為A，增廣矩陣為(A:B)，當(dāng)r(A:B)=r(A)時(shí)，稱方程組AX=B

是相容的，當(dāng)r(A:B)>r(A)時(shí)，稱方程組AX=B

是不相容的。例求解線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-36例求解線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-37例求解線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-38例

取何值時(shí)，線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)08-03-39無解、有唯一解或有無窮多解？并在有解時(shí)求出其解。推論設(shè)有齊次線性方程組醫(yī)用高等數(shù)學(xué)