淺談利用微積分證明不等式

淺談利用微積分證明不等式

如果在初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域證明平等，請(qǐng)使用幾種常見的數(shù)學(xué)方法，如分析、補(bǔ)充方法、教育法、反證法、判決方法、反證法、判決方法、反證法、反證法、立證法、換證法等。雖然種類不同，但一般不注重解決問(wèn)題的技能，因此解決問(wèn)題容易陷入復(fù)雜和“死胡同”的局面。面對(duì)一些較難證明的不等式,微積分理論不啻為一種極佳的解題路徑。根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),微積分可以構(gòu)造出輔助函數(shù)。這樣一來(lái),單純的不等式問(wèn)題便轉(zhuǎn)換成函數(shù)的問(wèn)題,繼而再利用微積分理論來(lái)證明不等式的成立。當(dāng)前,微積分理論證明不等式的運(yùn)用已經(jīng)成為數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中一個(gè)被關(guān)注的研究課題,受到了學(xué)者的普遍重視。作為高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,微積分理論具有非凡的教學(xué)價(jià)值,有助于常量數(shù)學(xué)以及變量數(shù)學(xué)之間的相互過(guò)渡。相較于初等數(shù)學(xué)中的常用數(shù)學(xué)方法,微積分證明不等式可以增強(qiáng)解題的直觀形象性,從而能起到化解難度、增加成功率等作用。認(rèn)識(shí)到用微積分理論證明不等式的解題“優(yōu)勢(shì)”后,我們?cè)陂_展高數(shù)教學(xué)時(shí),應(yīng)當(dāng)致力于理論與實(shí)踐兩個(gè)層面的共同開發(fā),讓學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法,并探索這一領(lǐng)域的內(nèi)涵與外延。本文以“微積分證明不等式”為研究基點(diǎn),力圖探討這一數(shù)學(xué)方法在高數(shù)領(lǐng)域的重要性、運(yùn)用方法以及發(fā)展前景,以期促成高數(shù)教學(xué)工作的長(zhǎng)足發(fā)展。一、鼓勵(lì)學(xué)生探索和挖掘自身的思維能力微積分理論是一個(gè)完整的理論體系,其中蘊(yùn)含著極限思想、無(wú)限逼近思想、無(wú)窮小思想等等,這些思想都折射出辯證統(tǒng)一的唯物主義思辨內(nèi)涵。在學(xué)習(xí)微積分理論時(shí),學(xué)生自然會(huì)透過(guò)公理的表象,從中去探索和挖掘自身的思維能力。此外,微積分證明不等式的教學(xué)理念在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力方面發(fā)揮著不可小覷的作用。因?yàn)槲⒎e分證明不等式能夠不拘泥于固定的模式,途徑靈活多樣,通過(guò)這些優(yōu)點(diǎn)令學(xué)生舉一反三,易于掌握。將不等式的證明過(guò)程納入到微積分理論領(lǐng)域中,正是高數(shù)研究發(fā)展到成熟期的重要表現(xiàn)之一。具體說(shuō)來(lái),微積分證明不等式在高數(shù)中的重要性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:1.證明式的應(yīng)用正如前文所言,常量數(shù)學(xué)中常常有一些較難解決的問(wèn)題,所以在證明不等式時(shí)會(huì)遭遇一些“死角”。微積分證明不等式可以破除常量數(shù)學(xué)的狹隘性,并且更為快速、有效。還有一點(diǎn)極為重要,在利用微積分理論去證明不等式時(shí),學(xué)生的應(yīng)用思維能力會(huì)隨之得到提升,并從公理化方法中提煉出辯證思維能力。2.等數(shù)學(xué)或稱微數(shù)學(xué)初等數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生常量和靜態(tài)的數(shù)學(xué)應(yīng)用,它只是在常量的幾何問(wèn)題與物理問(wèn)題上做解釋。例如規(guī)則圖形的容量、高度、運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)速率,質(zhì)點(diǎn)間的作用力等等方面。高等數(shù)學(xué)則是變量和動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué),它主要是針對(duì)一些變化的幾何問(wèn)題與物理過(guò)程問(wèn)題的研究,特別是在近距離物體與瞬間物理量等問(wèn)題上的內(nèi)容居多。例如不規(guī)則圖形的長(zhǎng)度、面積、容量等,還有一般運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、曲線運(yùn)動(dòng)的變力做功,物體間的吸引力等等問(wèn)題方面均可運(yùn)用。根據(jù)這兩者的內(nèi)容對(duì)照,我們可以了解到初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)之間看似橫亙著巨大的差距,實(shí)際上兩者是相互影響、相互印證的關(guān)系。而其中微積分理論就是一處“樞紐”,通過(guò)微積分證明不等式環(huán)節(jié),可以有效地將兩者聯(lián)系起來(lái),從而完成了數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過(guò)渡與升華。3.極限、中極限在微積分證明不等式的過(guò)程中,我們需要應(yīng)用各種不同的數(shù)學(xué)思想方法去解決相應(yīng)的問(wèn)題。這其中,“極限”概念是微積分理論中最基礎(chǔ)、最重要的。利用微積分證明不等式這一載體,學(xué)生可以找尋到理解“極限”的入口,繼而深入探尋微積分理論更深層次的內(nèi)涵。極限語(yǔ)言的簡(jiǎn)練、精確性,也可以讓學(xué)生充分地感悟到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的優(yōu)美,從而激發(fā)出學(xué)習(xí)興趣和熱情。二、高等數(shù)學(xué)中的微結(jié)構(gòu)擬合在高等數(shù)學(xué)的不等式內(nèi)容介紹中,總體上可分為函數(shù)不等式和數(shù)值不等式兩種,它們之間有著含變量與不含變量的區(qū)別。而微積分證明不等式也是高等數(shù)學(xué)中重要內(nèi)容組成之一,人們可以通過(guò)微積分作為“介質(zhì)”,從而研究函數(shù)的不同性質(zhì)與形態(tài)。比如針對(duì)一些用常規(guī)證明無(wú)法求證的不等式,我們就可以利用其不等式本身的結(jié)構(gòu)特性,巧化函數(shù)不等式的構(gòu)成,使不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形態(tài),再利用微積分的性質(zhì)定理證明不等式。1.采用等式教學(xué)在初等數(shù)學(xué)中,微積分證明不等式的方法有很多,但是人們比較看重解題過(guò)程中的解題技巧。用微積分證明不等式與以往所學(xué)的其他方法相比,它更多的體現(xiàn)了解題結(jié)構(gòu)上的精細(xì)巧妙,在證明過(guò)程中往往要求忽略或簡(jiǎn)化過(guò)程。所以,教師在教導(dǎo)學(xué)生的時(shí)候,要分清教學(xué)內(nèi)容的主次,有效利用初等高數(shù)的教學(xué)內(nèi)容來(lái)展開,高等數(shù)學(xué)微積分不等式內(nèi)容的課程教學(xué)工作,同時(shí)做好內(nèi)容之間的銜接問(wèn)題。讓學(xué)生可以在原有的基礎(chǔ)上拓展思路。2.利用微管證明研在初等數(shù)學(xué)里我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了很多關(guān)于不等式證明的方法,例如,比較法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等等。但是當(dāng)這些方法都很難證明有些非常規(guī)的不等式時(shí),我們就可以運(yùn)用微積分中的導(dǎo)數(shù)定義、函數(shù)的極值、拉各日郎中值、柯西中值、定積分理論等等證明不等式,這樣相對(duì)簡(jiǎn)單一點(diǎn)。因此,把不等式轉(zhuǎn)化為微積分的形式求證是一個(gè)比較有效的證明方式。以下是對(duì)微積分證明不等式主要方法的介紹:(1)典型的線性范圍用導(dǎo)數(shù)定義來(lái)證明不等式,這個(gè)方法適用的范圍不太廣泛,所以在講不等式內(nèi)容的時(shí)候,應(yīng)該突出最為常用的典型例題。我們?cè)谧屑?xì)觀察以下例題時(shí)候,不難發(fā)現(xiàn)其問(wèn)題與結(jié)論之間的關(guān)系。有些不等式符合導(dǎo)數(shù)的定義,因此可以利用導(dǎo)數(shù)的定義把不等式轉(zhuǎn)化,從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。在教微積分證明不等式時(shí),我們不僅要圍繞解題的簡(jiǎn)易原則,而且課程例題不能太過(guò)繁多,這樣不利學(xué)生的思維發(fā)展。(2)x內(nèi)可導(dǎo)在某領(lǐng)域內(nèi),函數(shù)可取極小值,極大值,最小值,最大值,利用這些值也是可以用來(lái)求不等式。定理(極值的第一充分條件)設(shè)f在點(diǎn)x0連續(xù),在某領(lǐng)域U0(x0;ξ)內(nèi)可導(dǎo)。若當(dāng)時(shí)x∈(x-ξ),當(dāng)fl(x≤0);當(dāng)x∈(x0,x+ξ)時(shí),則f在x0取得極小值。若當(dāng)x∈(x-ξ)時(shí),當(dāng)fl(x≥0);當(dāng)x∈(x0-ξ,x)時(shí),則f在x0取得極大值。若函數(shù)連續(xù),則在f′(x)=0取得極值,將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值比較,便可求出最大值與最小值,然后將其運(yùn)用到不等式證明當(dāng)中,大大簡(jiǎn)化證明的過(guò)程,教師可以根據(jù)以下的簡(jiǎn)題構(gòu)造與學(xué)生解釋,函數(shù)的極值證明不等式解題信息的簡(jiǎn)化問(wèn)題。(3)拉格朗日1和2拉格郎日定理,是指如果函數(shù)y=f(x)滿足以下條件:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在區(qū)間[a,b]內(nèi)可導(dǎo)。則在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使f(ξ′)=f(b)?f(a)b?af(ξ′)=f(b)-f(a)b-a。由于ξ在a,b之間,因此f′(ξ)將有一個(gè)取值范圍,這個(gè)取值范圍也是所求證的不等式的取值范圍。方案一:在上式可以觀察得到,羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特殊形式。教師在引導(dǎo)學(xué)生思路的時(shí)候,可以指導(dǎo)學(xué)生由羅爾中值定理來(lái)證明拉格朗日中值定理,在證明的過(guò)程中,記憶其定理的性質(zhì)。方案二:在教學(xué)中,教師還可以提出,構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=[f(b)-f(a)]x-(b-a)f(x)指出由于f(x)在[a,b]上面連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),所以F(x)也在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)又可導(dǎo),也因?yàn)镕(a)=af(b)-bf(a)和F(b)=af(b)-bf(a),F(a)=F(b)…把求證的思路延伸出去,力求在不等式與拉格郎日定理之間找出切入點(diǎn),快速解題。在解題過(guò)程中,讓學(xué)生積累一些解題的方法與經(jīng)驗(yàn),增加教育的全面性。(4)xa,b評(píng)分柯西中值定理:設(shè)函數(shù)f(x),g(x)滿足是在[a,b]連續(xù),(a、b)可導(dǎo),g'(x)≠0(x∈(a,b))則至少存在一點(diǎn),ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]成立。在用柯西中值定理證明不等式的時(shí)候,它的應(yīng)用條件是:不等式含有兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值及一階可導(dǎo),或兩個(gè)函數(shù)的增量及一階可導(dǎo),它是在不等式應(yīng)用中較為常見的方法之一。(5)用絕對(duì)積分理論證明方程1.[a,b]可積函數(shù)定理:(積分不等式性質(zhì))設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)為定義在[a,b]上的兩個(gè)可積函數(shù),若f(x)≤g(x),x∈[a,b],則有,∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx。2.不含界面約束的不基于規(guī)則的不一定性在定積分理論證明不等式的過(guò)程中,以下面為例,我們要教會(huì)學(xué)生利用積分和微分是互逆運(yùn)算和積分本身具有單調(diào)性這兩個(gè)特性,把問(wèn)題的關(guān)鍵放在不等式兩邊構(gòu)造成積分的形式當(dāng)中,再使用牛頓-萊布尼茨公式,利用上面的定理即可證明。同時(shí),還可以利用積分的有界性來(lái)證明不等式,這里就不一一舉例了。三、“微課”的提出背景時(shí)代的發(fā)展總會(huì)影響到各類學(xué)科的發(fā)展基調(diào),這其中當(dāng)然也包括微積分領(lǐng)域。我國(guó)的微積分教學(xué)已經(jīng)歷經(jīng)了六十年的巨大變革。發(fā)生改變的原因,一方面和現(xiàn)實(shí)環(huán)境相關(guān)聯(lián),比如院校擴(kuò)招等等;還有一部分原因則是源于知識(shí)本身的探索與追求。上世紀(jì)八十年代所發(fā)起的“微積分改革”,使教學(xué)方法更加多樣、教學(xué)視野更為廣闊?？梢哉f(shuō)微積分證明不等式在高數(shù)教學(xué)中的發(fā)展?jié)撃苁菬o(wú)限的,需要教學(xué)者積極探索、大膽創(chuàng)新。1.用微管理工具求解化微積分是數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)重要工具,雖然不能用微積分的思路來(lái)代替高校數(shù)學(xué)所具有的解題思路,但是它作為高校數(shù)學(xué)的的輔助工具,還是有重要的指導(dǎo)作用。用微積分的方法可以直接預(yù)測(cè)題目的答案,便于檢查,還可以對(duì)數(shù)學(xué)中的一些猜想和假設(shè)進(jìn)行證明和推廣,在構(gòu)造題型,探求解題思路方面也有很廣泛的應(yīng)用。微積分思想和方法的應(yīng)用已被高等數(shù)學(xué)所重視,在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。2.利用證明式獲取創(chuàng)造型人才如果教師僅僅注重概念和概念之間的銜接,而不帶領(lǐng)學(xué)生們?nèi)ヌ骄科渲械摹扒耙蚝蠊?以及追求內(nèi)容中所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法,那么高數(shù)教學(xué)成果必然會(huì)大打折扣。所以高數(shù)教學(xué)中不可缺乏數(shù)學(xué)基本思想的灌溉,否則數(shù)學(xué)教學(xué)的課程則有可能變?yōu)椤盁o(wú)源之水”。在利用微積分證明不等式時(shí),教師同樣要適當(dāng)滲入一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想方法,改變學(xué)生的被動(dòng)接受局面,從而激發(fā)他們的自覺(jué)性和主動(dòng)性,向現(xiàn)代社會(huì)所需要的創(chuàng)造型人才方向靠攏。例如證明不等式時(shí)所用到的函數(shù)圖像,會(huì)包含有微積分理論中的“極限”概念。而認(rèn)識(shí)這一概念,必須要經(jīng)歷從直觀到抽象、從感性到理想的循環(huán)發(fā)展過(guò)程。這時(shí),教師便可以鼓勵(lì)學(xué)生們發(fā)揚(yáng)創(chuàng)造思維能力,利用可感知的事例去理解極限數(shù)學(xué)思想。證明不等式也是一種實(shí)例化