無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的初態(tài)和能量的通解

無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的初態(tài)和能量的通解

無(wú)限深量差是一種常見(jiàn)的體積能量模型。該模型和自由顆粒的結(jié)合可以更好地表達(dá)幾個(gè)因素的基本概念。一般來(lái)說(shuō)，教科書(shū)只討論具有固定寬度的有限深度。在這項(xiàng)工作中，我們計(jì)算了具有變化寬度的無(wú)限深度和波函數(shù)。結(jié)果表明，顆粒通常不是能量的函數(shù)，而是重疊狀態(tài)的波函數(shù)。要確定顆粒的實(shí)際波函數(shù)，必須通過(guò)求解時(shí)間對(duì)應(yīng)的薛定寅方程和初始條件形成的解決方案來(lái)確定。1解釋型各邊界條件量子體系的初始條件問(wèn)題容易被忽略,這主要緣于該怎樣表達(dá)量子體系的初始條件,實(shí)際上,如果某個(gè)粒子系統(tǒng)在初始時(shí)刻是受控制或約束的話,用無(wú)限深勢(shì)阱來(lái)描述其初態(tài)是合適的.設(shè)想在t≤0時(shí)粒子被約束在0≤x≤a的無(wú)限深勢(shì)阱,其能量為n2π2?22ma2,且處在該能量的本征態(tài),當(dāng)t>0時(shí)位于x=a處的約束被解除,粒子進(jìn)入到寬度為2a的勢(shì)阱(0≤x≤2a)中運(yùn)動(dòng),則求解粒子的狀態(tài)波函數(shù)歸結(jié)為求解如下定解問(wèn)題:i??ψ?t=-?22m?2ψ?x2?(0＜x＜2a)(1)ψ(0?t)=ψ(2a?t)=0ψ(x?0)={√2asinnπxa?0＜x＜a0?x＜0?x＞a(2)用分離變量法不難求得方程(1)滿足所給邊界條件的通解為:ψ(x?t)=∞∑k=1ck√ae-iEkt/?sinkπx2a?(0≤x≤2a)(3)其中Ek=π2?2k28ma2是粒子在寬度為2a的勢(shì)阱中k能級(jí)的能量.將初始條件(2)代入(3)得∑k=1ck√asinkπx2a=√2asinnπxa?(0＜x＜a)(4)將式(4)右邊函數(shù)以4a為周期展開(kāi)成傅里葉正弦級(jí)數(shù)后比較式(4)兩邊系數(shù)得ck=n4√2(-1)nsin(kπ/2)π(k2-4n2)(5)將式(5)代入式(3)即得到滿足初始條件(2)的波函數(shù)ψ(x?t).波函數(shù)(3)已經(jīng)是歸一化的波函數(shù),因?yàn)樗巡淮嬖谌魏未ǖ臍w一化因子,這緣于初始時(shí)刻的波函數(shù)ψ(x,0)是歸一化的.也可以直接證明ψ是歸一化的,這只需要證明∞∑k=1|ck|2=1,顯然,對(duì)所有偶數(shù)k=2j,除c2n一項(xiàng)外其余c2j均等于零,而c2n=limk→2n4√2n(-1)nsin(kπ/2)π(k2-4n2)=1√2(6)而對(duì)所有奇數(shù)k=2j+1有|c2j+1|2=32n2π2[(2j+1)2-(2n)2]2(7)從而有∞∑k=1|ck|2=12+∞∑j=032n2π2[(2j+1)2-(2n)2]2=12+1nπ2∞∑j=0[2j+1+4n(2j+2n+1)2-2j+1-4n(2j-2n+1)2]=12+1nπ2∞∑j=04n(2j+1)2=12+12=1(8)2能量的不確定性下面證明粒子從寬度為a的勢(shì)阱以初態(tài)能量n2π2?22ma2進(jìn)入到寬度為2a的勢(shì)阱過(guò)程中能量是守恒的,即其平均能量值保持不變.ˉE=∞∑k=1Ek|ck|2=∑【math304】π2?2k28ma2|ck|2=π2?2n22ma212+∞∑j=0π2?2(2j+1)28ma232n2π2[(2j+1)2-(2n)2]2=π2?2n24ma2+?22ma2∞∑j=0[-(2j+1)(2j+2n+1)2+2j+1(2j-2n+1)2]=π2?2n24ma2+n?22ma2[∞∑t=n2n-2t-1(2t+1)2+∞∑t=-n2n+2t+1(2t+1)2]=π2?2n24ma2+n?22ma2[∞∑t=02n-2t-1(2t+1)2+∞∑t=02n+2t+1(2t+1)2]=π2?2n24ma2+4n2?22ma2∞∑t=01(2t+1)2=π2?2n24ma2+4n2?22ma2π28=π2?2n22ma2(9)這一模型顯示系統(tǒng)的能量具有不確定性,Ek=π2?2k28ma2有無(wú)限多種量子化的可能取值,能量的不確定量ΔE=ΔEk-ˉE越大,對(duì)應(yīng)的概率|ck|2就越小,這意味著粒子在高能級(jí)的壽命相對(duì)更短暫.此時(shí),量子體系中能量守恒的意義,就是能量的測(cè)量平均值保持不變.顯然,由于束縛的量子體系的能級(jí)雖然是量子化的,但系統(tǒng)的平均能量值ˉE卻是可連續(xù)變化的,ˉE可取不低于基態(tài)能量的任意值.這表明系統(tǒng)并非處在能量的本征態(tài),而且處在疊加態(tài),即對(duì)任意給定的初始能量E0,系統(tǒng)存在若干個(gè)不同的疊加態(tài)∑ckψk,使得系統(tǒng)的平均能量ˉE=∑Ek|ck|2=E0,亦即初始能量或平均能量不能完全決定狀態(tài),狀態(tài)是由初始狀態(tài)波函數(shù)包括初始能量共同決定的.3材料中全能量的粒子群里葉積分在前面的模型中,粒子的初態(tài)能量是n2π2?22ma2,在寬度為2a的勢(shì)阱中k=2n能級(jí)的能量值E2n=π2?2(2n)2/2m(2a)2=π2?2n2/2ma2也恰好等于粒子的初始能量,但粒子并非穩(wěn)定地停留在該能量定態(tài),在此能量狀態(tài)的概率只有1/2.當(dāng)粒子分別從寬度為a和2a的無(wú)限深勢(shì)阱以相同的初始能量π2?2n2/2ma2躍遷到寬度為4a的無(wú)限深勢(shì)阱時(shí)的波函數(shù)分別為:ψ1(x,t)=∞∑k=1c1k√2ae-iEkt/?sinkπx4a(10)ψ2(x,t)=∞∑k=1c2k√2ae-iEkt/?sinkπx4a(11)其中Ek=π2?2k2/32ma2?c1k=16(-1)nnsinkπ4/π(k2-16n2)c2k=16nsinkπ2/√2π(k2-16n2)顯然c2k≠c1k,這是兩個(gè)完全不同的狀態(tài)波函數(shù),我們已經(jīng)證明兩狀態(tài)的平均能量值相等且都等于初始能量,即有ˉE1=ˉE2=ˉE0.作為更普遍的結(jié)果,當(dāng)粒子從寬度為a的勢(shì)阱的n能級(jí)本征態(tài)躍遷到寬度為λa(λ>1)的勢(shì)阱時(shí)的波函數(shù)為ψ(x,t)=∞∑k=1ck√2λae-iEkt/?sinkπxλa?(0≤x≤λa)(12)其中ck=2nλ3/2(-1)nsin(kπ/λ)π(k2-λ2n2)(13)Ek=π2?2k2/2mλ2a2(14)歸一化條件要求∞∑k=1|ck|2=∞∑k=14n2λ3sin2(kπ/λ)π2(k2-λ2n2)2=1(15)能量守恒要求∞∑k=1Ek|ck|2=π2?2n2/2ma2(16)即有∞∑k=14k2λsin2(kπ/λ)π2(k2-λ2n2)2=1(17)式(15)應(yīng)對(duì)任何自然數(shù)n及任意λ>0成立,式(17)應(yīng)對(duì)任意自然數(shù)n及任意λ>1成立.當(dāng)λ<1時(shí),式(17)肯定不成立,因?yàn)閯?shì)阱寬度變小時(shí)外界對(duì)系統(tǒng)做功,系統(tǒng)能量增加.我們已經(jīng)證明,在λ等于2、3、4幾種情況時(shí)兩恒等式(15)和(17)成立.順便指出,在式(12)和式(13)中取λ→∞的極限,即可得到滿足初始條件的自由粒子波函數(shù)的傅里葉積分.4系統(tǒng)力學(xué)量的不確定度事實(shí)上,在一維無(wú)限深勢(shì)阱的動(dòng)態(tài)模型中,勢(shì)阱寬度的變化可以理解為