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作業(yè)
115頁3,4,6,12,13第三節(jié)一、三重積分的概念二、三重積分的計算三重積分的概念與計算
第九章一、三重積分的概念類似二重積分解決問題的思想,采用
引例:
設(shè)在空間有界閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量
M.密度函數(shù)為定義.
設(shè)存在,稱為體積元素,
若對作任意分割:任意取點則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作下列“乘積和式”極限記作三重積分的性質(zhì)1.線性性質(zhì)、單調(diào)性、積分估值公式2.區(qū)域可加性4.微元法5.對稱奇偶性*6.中值定理.在有界閉域
上連續(xù),則存在使得V為的體積,二、三重積分的計算1.利用直角坐標(biāo)計算三重積分方法1.
投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)三次積分法方法1.
投影法(“先一后二”)記作投影法三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:適用范圍:由平面圍成的情況其中
為三個坐標(biāo)例.計算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面.計算,其中由錐面及平面圍成.解:例2.化為三次積分,由曲面及平面圍成.解:如圖所以曲面與xOy坐標(biāo)面交于x軸和y軸.例1.方法2.截面法(“先二后一”)特別適用于積分區(qū)域中一坐標(biāo)的范圍易獲得,截面范圍易表示的情況。其中
為三個坐標(biāo)例3.
計算三重積分所圍成的閉區(qū)域.面及平面為面上軸,解:如圖,:軸和圍成的等腰直角三角形.所以注:此題可用投影法求解.計算三重積分其中是上半橢球體解:則而原式例4.例.
計算三重積分解:
用“先二后一”補充:三重積分對稱性:補充:三重積分對稱性:2、奇偶對稱性:解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱,被積函數(shù)是的奇函數(shù),球面關(guān)于xoy面對稱解1.
將用三次積分表示,其中
由所提示:思考與練習(xí)六個平面圍成,3.設(shè)計算提示:利用對稱性原式=奇函數(shù)tobecontinue作業(yè)
115頁
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