第二課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用

第二課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用[典例1]

(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為30，前2n項(xiàng)的和為100，則它的前3n項(xiàng)的和為

(

)A．130 B．170C．210 D．260(2)等差數(shù)列{an}共有2n＋1項(xiàng)，所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為132，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為120，則n等于________．[方法技巧]利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)解題時(shí)，一是要注意判斷等差數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)，二是注意整體思想在解題中的應(yīng)用．[對(duì)點(diǎn)練清]1．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝27，S6＝81，則S12＝

(

)A．270

B．108C．162 D．150解析：∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差數(shù)列，且該數(shù)列的公差d＝S6－S3－S3＝27，∴S9－S6＝S3＋2d＝81，S12－S9＝S3＋3d＝108，∴S9＝162，S12＝270.答案：A

2．一個(gè)等差數(shù)列前20項(xiàng)和為75，其中的奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為1∶2，則公差d＝________.題型二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題

[學(xué)透用活][典例2]在等差數(shù)列{an}中，公差為d，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．(3)尋求正、負(fù)項(xiàng)交替點(diǎn)法，即利用等差數(shù)列的性質(zhì)，找到數(shù)列中正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)交替變換的位置，其實(shí)質(zhì)仍然是找到數(shù)列中最后的一個(gè)非正數(shù)項(xiàng)(或非負(fù)數(shù)項(xiàng))，然后確定Sn的最值．

[對(duì)點(diǎn)練清]1．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝－26，a8＋a13＝5，當(dāng){an}的前n項(xiàng)和Sn取最小值時(shí)，n等于

(

)A．8 B．9C．10 D．112．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S13＞0，S14＜0，則Sn取最大值時(shí)n的值為

(

)A．6 B．7C．8 D．13解析：根據(jù)S13＞0，S14＜0，可以確定a1＋a13＝2a7＞0，a1＋a14＝a7＋a8＜0，∴可以得到a7＞0，a8＜0，∴Sn取最大值時(shí)n的值為7.故選B.答案：B

題型三等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

[學(xué)透用活][典例3]在我國(guó)古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì)．例如，北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成(如圖)，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開(kāi)始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈．請(qǐng)問(wèn)：(1)第9圈共有多少塊石板？(2)前9圈一共有多少塊石板？[對(duì)點(diǎn)練清]中國(guó)植樹(shù)節(jié)定于每年的3月12日，是中國(guó)為激發(fā)人們愛(ài)林、造林的熱情，促進(jìn)國(guó)土綠化，保護(hù)人類(lèi)賴以生存的生態(tài)環(huán)境，通過(guò)立法確定的節(jié)日．某班41名同學(xué)打算在明年的植樹(shù)節(jié)這一天，在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米．開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在第n(n＝1,2，…，41)個(gè)樹(shù)坑旁邊，則將樹(shù)苗集中放置在第________個(gè)樹(shù)坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最?。甗課堂思維激活]一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通1．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＋an＝4n－1，n∈N*.求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2．《張丘建算經(jīng)》是公元5世紀(jì)中國(guó)古代內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)著作，書(shū)中卷上第二十三問(wèn)：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問(wèn)半月積幾何？”其意思為“有個(gè)女子織布，每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺，一個(gè)月(按30天計(jì))共織布9匹3丈．問(wèn)：前半個(gè)月(按15天計(jì))共織多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半個(gè)月一共織的布約有

(

)A．195尺

B．133尺C．130尺

D．135尺

三、創(chuàng)新性——強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維3．已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a5＝1，________.若存在正整數(shù)n，使得Sn有最小值．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求Sn