新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)32函數(shù)的基本性質(zhì)322函數(shù)的奇偶性課件湘教版必修第一冊(cè)

3．2.2函數(shù)的奇偶性新知初探課前預(yù)習(xí)題型探究課堂解透新知初探課前預(yù)習(xí)最新課程標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義學(xué)科核心素養(yǎng)1.了解函數(shù)奇偶性的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．會(huì)利用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性．(邏輯推理)3．會(huì)利用奇、偶函數(shù)的圖象．(直觀想象)4．能利用函數(shù)的奇偶性解決簡(jiǎn)單問題．(邏輯推理)教材要點(diǎn)要點(diǎn)1．偶函數(shù)的概念如果對(duì)一切使F(x)有定義的x，F(xiàn)(－x)也有定義，并且F(－x)＝________成立，則稱F(x)為偶函數(shù)．2．奇函數(shù)的概念如果對(duì)一切使F(x)有定義的x，F(xiàn)(－x)也有定義，并且F(－x)＝________成立，則稱F(x)為奇函數(shù)．F(x)－F(x)3．奇、偶函數(shù)的圖象特征(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于________成中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)．(2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于________對(duì)稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．原點(diǎn)y軸狀元隨筆奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反之，若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)一定不具有奇偶性．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)．若f(－1)＝f(1)，則f(x)一定是偶函數(shù)．(

)(2)偶函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)．(

)(3)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0.(

)(4)一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)．(

)××

×

√

答案：C解析：A、D兩項(xiàng)，函數(shù)均為偶函數(shù)，B項(xiàng)中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而C項(xiàng)中函數(shù)為奇函數(shù)．故選C.3．若函數(shù)y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函數(shù)，則a的值為(

)A．－2B．2C．0D．不能確定答案：B解析：因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以－2＋a＝0，所以a＝2.故選B.4．下列圖象表示的函數(shù)是奇函數(shù)的是________，是偶函數(shù)的是________．(填序號(hào))(2)(4)(1)(3)解析：(1)(3)關(guān)于y軸對(duì)稱是偶函數(shù)，(2)(4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是奇函數(shù)．題型探究課堂解透

方法歸納判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．步驟如下：①判斷函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若不對(duì)稱，則函數(shù)f(x)為非奇偶函數(shù)，若對(duì)稱，則進(jìn)行下一步．②驗(yàn)證．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．③下結(jié)論．若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(－x)＝f(x)，且f(x)為偶函數(shù)；若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，則f(x)為非奇非偶函數(shù)．(2)圖象法：f(x)是奇(偶)函數(shù)的等價(jià)條件是f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱．

ACA

題型2函數(shù)奇偶性的圖象特征例2

已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已知畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示．

(1)請(qǐng)補(bǔ)出完整函數(shù)y＝f(x)的圖象．(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)y＝f(x)的遞增區(qū)間．(3)根據(jù)圖象寫出使y＝f(x)＜0的x的取值范圍．

方法歸納1．巧用奇偶性作函數(shù)圖象的步驟(1)確定函數(shù)的奇偶性．(2)作出函數(shù)在[0，＋∞)(或(－∞，0])上對(duì)應(yīng)的圖象．(3)根據(jù)奇(偶)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象．2．奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用類型及處理策略(1)類型：利用奇偶函數(shù)的圖象可以解決求值、比較大小及解不等式問題．(2)策略：利用函數(shù)的奇偶性作出相應(yīng)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象直接觀察．跟蹤訓(xùn)練2

設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，若當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，f(x)的圖象如圖，則不等式f(x)＜0的解集是__________________．{x|－2<x<0或2<x≤5}解析：由奇函數(shù)的性質(zhì)知，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)在定義域[－5，5]上的圖象如圖，由圖可知不等式f(x)<0的解集為{x|－2<x<0或2<x≤5}．

BC

方法歸納1．已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值的三種思路(1)若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對(duì)稱性列出關(guān)于參數(shù)的方程．(2)一般化策略：對(duì)x取定義域內(nèi)的任一個(gè)值，利用f(－x)與f(x)的關(guān)系式恒成立來確定參數(shù)的值．(3)特殊化策略：根據(jù)定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特殊自變量值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的關(guān)系列方程求解，不過，這種方法求出的參數(shù)值要代入解析式檢驗(yàn)，看是否滿足條件，不滿足的要舍去．角度2利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值例4

(1)已知函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋2，則f(1)＋g(1)＝(

)A．－2B．－1C．1D．2(2)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋3，且f(－2)＝10，則函數(shù)f(2)的值是________．D－4解析：(1)∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋2，由－x代入x得：f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋2由題意知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋2，所以f(1)＋g(1)＝－1＋1＋2＝2.故選D.(2)令g(x)＝ax3＋bx∵g(－x)＝a(－x3)＋b(－x)＝－ax3－bx＝－(ax3＋bx)＝－g(x)，∴g(x)為奇函數(shù)．∴f(－x)＝g(－x)＋3＝－g(x)＋3，∴g(2)＝－7，∴f(2)＝g(2)＋3＝－7＋3＝－4.方法歸納利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值的方法已知函數(shù)的某一個(gè)值，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值時(shí)，常利用函數(shù)的奇偶性或部分函數(shù)的奇偶性求值．角度3利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式例5

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時(shí)，f(x)＝x(x－1)，求f(x)．

方法歸納利用奇偶性求函數(shù)解析式的方法已知函數(shù)的奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式的方法是：先設(shè)出未知解析式的定義區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入已知的解析式，然后利用函數(shù)的奇偶性求解即可．具體如下：(1)求哪個(gè)區(qū)間上的解析式，x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間上；(2)將－x代入已知區(qū)間上的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性把f(－x)寫成－f(x)或f(x)，從而解出對(duì)應(yīng)區(qū)間上的f(x)．

答案：(1)B

(2)見解析

方法歸納利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用單調(diào)性脫掉“f”求解．(2)在對(duì)稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，求解即可，同時(shí)要注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響．

－1

(2)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－2，2a]，則a＝________，b＝________．(3)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，則f(2)＝________．

0－26

a>c>b

答案：D易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得忽視了函數(shù)的定義域，直接利用函數(shù)奇偶性的定義判斷，錯(cuò)選了C.根據(jù)函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域，只有在函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的情況下，才能根據(jù)解析式是否滿足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)判斷函數(shù)的奇偶性．若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則可以直接說明函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．

答案：AD

答案：A

答案：D

1解析：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＋f(1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.5．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x(x－1)，求函數(shù)f(x)的解析式．

抽象函數(shù)

沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù)．題型1抽象函數(shù)的定義域(1)函數(shù)f(x)的定義域是指x的取值范圍．(2)函數(shù)f(φ(x))的定義域是指x的取值范圍，而不是φ(x)的取值范圍．(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三個(gè)函數(shù)中的t，φ(x)，h(x)在對(duì)應(yīng)關(guān)系f下的范圍相同．例1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，1]，求函數(shù)g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m＞0)的定義域．思路分析：由f(x)的定義域?yàn)閇0，1]可知對(duì)應(yīng)關(guān)系f作用的范圍為[0，1]，而f(x＋m)＋f(x－m)的定義域是指當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，才能使x＋m，x－m都在[0，1]這個(gè)區(qū)間內(nèi)，從而使f(x＋m)＋f(x－m)有意義．

題型2抽象函數(shù)的奇偶性對(duì)于抽象函數(shù)奇偶性的判斷，由于無具體的解析式，要充分利用給定的函數(shù)方程關(guān)系式，對(duì)變量進(jìn)行賦值，使其變?yōu)楹衒(x)，f(－x)的式子．再利用奇偶性的定義加以判斷．其解題策略為(1)要善于對(duì)所給的關(guān)系式進(jìn)行賦值．(2)變形要有目的性，要以“f(－x)與f(x)的關(guān)系”為目標(biāo)進(jìn)行化簡(jiǎn)和變形．例2函數(shù)f(x)，x∈R，若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求證：f(x)為奇函數(shù)．證明：令a＝0，則f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.又令a＝－x，b＝x，代入f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)．即f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)為奇函數(shù)．題型3抽象函數(shù)的單調(diào)性判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性，通常利用單調(diào)性的定義，但要注意充分運(yùn)用所給條件，判斷出函數(shù)值之間的關(guān)系．常見思路：先在所證區(qū)間上任取兩數(shù)x1，x2(x1＜x2)，然后利用題設(shè)條件向已知區(qū)間上轉(zhuǎn)化，最后運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義解決問題．

解析：(1)證明：由題意可知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∵對(duì)定義域內(nèi)任意的x1，x2，都有f(x1x2)＝f(