靜電場(chǎng)電勢(shì)零點(diǎn)選擇的任意性

靜電場(chǎng)電勢(shì)零點(diǎn)選擇的任意性

電勢(shì)是描述場(chǎng)中“能量屬性”的變量。定義靜態(tài)電場(chǎng)中點(diǎn)的電勢(shì)，對(duì)應(yīng)于單位的電勢(shì)能，或單位的正電梁在點(diǎn)的移動(dòng)能力?；蛘邔挝坏恼娏簭狞c(diǎn)移動(dòng)到任何路徑，這意味著電勢(shì)作用。其定義式為:顯然電勢(shì)是一個(gè)相對(duì)量,靜電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)總是相對(duì)某一特定的參考點(diǎn),即對(duì)電勢(shì)零點(diǎn)而言的。孤立地談電勢(shì)的值或電勢(shì)函數(shù)的分布是沒(méi)有意義的,因此,在計(jì)算電勢(shì)時(shí)必須首先確定電勢(shì)零點(diǎn)。很多電磁學(xué)論著中提到,電勢(shì)零點(diǎn)的選擇是任意的,但在一些具體問(wèn)題中,電勢(shì)零點(diǎn)的選擇卻受到一定的限制,下面就針對(duì)這一問(wèn)題展開(kāi)討論。首先來(lái)說(shuō)明靜電場(chǎng)中電勢(shì)零點(diǎn)選擇的任意性。1電勢(shì)零選擇的任意性1.1靜電場(chǎng)各點(diǎn)電勢(shì)的選取從物理學(xué)的角度看,靜電場(chǎng)與重力場(chǎng)相似,都是保守力場(chǎng),可以引入勢(shì)能的概念,電勢(shì)能是相互作用的電荷系統(tǒng)才具有的,孤立地談?wù)撾姾稍谀骋稽c(diǎn)的電勢(shì)能或電勢(shì)的高低和正負(fù)是沒(méi)有意義的。為了確定電場(chǎng)中各點(diǎn)的電勢(shì),就要選定參考點(diǎn),也就是電勢(shì)零點(diǎn),它的選擇必須滿足一個(gè)條件,那就是電勢(shì)零點(diǎn)選定后,空間各點(diǎn)的電勢(shì)必須有確定的值。選擇不同的參考點(diǎn),靜電場(chǎng)中各點(diǎn)的電勢(shì)值雖有所不同,但兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差仍然相同,描述的仍然是同一個(gè)靜電場(chǎng)。這就是電勢(shì)零點(diǎn)的選擇在原則上具有任意性的物理原因。1.2場(chǎng)強(qiáng)分布的影響從數(shù)學(xué)的角度看,電勢(shì)從單位正電荷在靜電場(chǎng)中各點(diǎn)所蘊(yùn)含的能量來(lái)描述場(chǎng),電勢(shì)是描述靜電場(chǎng)的標(biāo)量位置函數(shù)。根據(jù)定義有當(dāng)參考點(diǎn)由P01變?yōu)镻02時(shí),各點(diǎn)的電勢(shì)只改變一個(gè)常量根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系不影響場(chǎng)強(qiáng)分布。反映在幾何圖像上(如圖1所示),電勢(shì)零點(diǎn)選擇不同,只是橫坐標(biāo)的位置不同,不會(huì)影響曲線上各點(diǎn)的斜率。而各點(diǎn)的斜率決定曲線的形狀,所以電勢(shì)零點(diǎn)不同,只影響電勢(shì)分布曲線相對(duì)于橫坐標(biāo)的位置,它的形狀、間隔、等勢(shì)面法線方向的空間變化率都不改變,即場(chǎng)強(qiáng)的空間分布并不改變,描述的仍然是同一個(gè)靜電場(chǎng)。這就是靜電場(chǎng)電勢(shì)零點(diǎn)的選擇具有任意性的數(shù)學(xué)原因。2電勢(shì)零選擇限制前面分別從物理學(xué)和數(shù)學(xué)的角度討論了電勢(shì)零點(diǎn)選擇的任意性,但在一些具體問(wèn)題中,電勢(shì)零點(diǎn)的選擇又受到一定的限制,下面舉例說(shuō)明。2.1各點(diǎn)電勢(shì)各點(diǎn)的電勢(shì)比對(duì)對(duì)于點(diǎn)電荷Q激發(fā)的靜電場(chǎng),場(chǎng)強(qiáng)的分布為根據(jù)電勢(shì)的定義式,電場(chǎng)中距點(diǎn)電荷r處點(diǎn)P的電勢(shì)為式中P0為電勢(shì)零點(diǎn),距Q為r0。若選取點(diǎn)電荷所在處即r0=0為電勢(shì)零點(diǎn),則有就是說(shuō)電場(chǎng)中其他各點(diǎn)的電勢(shì)均為無(wú)窮大,這樣電場(chǎng)中各點(diǎn)的電勢(shì)就無(wú)從區(qū)分和比較,用它來(lái)描述的性質(zhì)也就毫無(wú)意義了。因此,在點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)中,不能選點(diǎn)電荷所在處為電勢(shì)零點(diǎn)。2.2帶線帶平面邊強(qiáng)對(duì)于無(wú)限大均勻帶電平面(設(shè)電荷面密度為+σ)所激發(fā)的電場(chǎng),應(yīng)用高斯定理可得帶電平面兩邊的場(chǎng)強(qiáng)分布為根據(jù)電勢(shì)的定義式,可得距平面r處點(diǎn)P的電勢(shì)為式中P0為電勢(shì)零點(diǎn),距帶電平面為r0。若選擇無(wú)限遠(yuǎn)處,即r0→∞處為電勢(shì)零點(diǎn),得UP→∞,則電場(chǎng)中各點(diǎn)的電勢(shì)無(wú)從區(qū)分和比較,故不能選取無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。2.3無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的電勢(shì)對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線(設(shè)電荷線密度為+λ)所激發(fā)的電場(chǎng),同樣可以應(yīng)用高斯定理求得場(chǎng)強(qiáng)分布為根據(jù)電勢(shì)的定義式,距直線r處點(diǎn)P的電勢(shì)為式中P0為電勢(shì)零點(diǎn),距帶電直線為r0。若選擇無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)即r0→∞處為電勢(shì)零點(diǎn),得UF→∞,電場(chǎng)中各點(diǎn)的電勢(shì)無(wú)從區(qū)分和比較,故不能選取無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。若選擇帶電直線處即r0=0處為電勢(shì)零點(diǎn),得ln0沒(méi)有意義,無(wú)法計(jì)算出各場(chǎng)點(diǎn)的電勢(shì),故也不能選取帶電直線處為電勢(shì)零點(diǎn)。3無(wú)限大均勻帶由前面的討論可知,點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)不能選擇點(diǎn)電荷所在處為電勢(shì)零點(diǎn);無(wú)限大均勻帶電平面激發(fā)的電場(chǎng)不能選取無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn);而無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線激發(fā)的電場(chǎng)既不能選擇帶電直線處為電勢(shì)零點(diǎn),也不能選擇無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。可見(jiàn),電勢(shì)零點(diǎn)選擇的限制性都出現(xiàn)在理想化的情形中。3.1荷密度、場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)均有對(duì)比我們知道,點(diǎn)電荷是理想模型,對(duì)于實(shí)際的帶電體,只有研究的場(chǎng)點(diǎn)到帶電體的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于帶電體本身的幾何線度時(shí),才能把實(shí)際的帶電體看作是點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷把有限的電量集中在無(wú)窮小的空間范圍(一點(diǎn))之內(nèi),這就必然導(dǎo)致點(diǎn)電荷所在處電荷密度為無(wú)窮大!場(chǎng)強(qiáng)為無(wú)窮大!電勢(shì)無(wú)限增長(zhǎng),使得空間各點(diǎn)的電勢(shì)都趨于無(wú)窮大,從而無(wú)從區(qū)分和比較。顯然,對(duì)于任何實(shí)際的帶電體,電荷分布都不會(huì)出現(xiàn)這種情況。因此,出現(xiàn)點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)不能選點(diǎn)電荷所在處為電勢(shì)零點(diǎn)的原因在于,當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)無(wú)限接近點(diǎn)電荷時(shí),點(diǎn)電荷的理想模型已經(jīng)失效,此時(shí)的點(diǎn)電荷反過(guò)來(lái)可以用帶電球面代替,其電勢(shì)零點(diǎn)就可以選在電荷所在處了,證明如下。對(duì)于半徑為R、電量為Q的均勻帶電球面所激發(fā)的電場(chǎng),其場(chǎng)強(qiáng)分布為若選擇球面球心為電勢(shì)零點(diǎn),根據(jù)電勢(shì)的定義式,可得距帶電球面r處點(diǎn)P的電勢(shì)為可見(jiàn)帶電球面激發(fā)的電場(chǎng)可以選擇電荷所在處為電勢(shì)零點(diǎn)(如圖2所示),點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)之所以不能選擇電荷所在處為電勢(shì)零點(diǎn),完全是因?yàn)辄c(diǎn)電荷這個(gè)理想模型有一定適用范圍造成的。3.2“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”的電勢(shì)恒實(shí)際的帶電體電荷總是分布在有限區(qū)域。大致來(lái)說(shuō),帶電體附近電場(chǎng)較強(qiáng),電勢(shì)變化劇烈,而遠(yuǎn)處的電場(chǎng)較弱,電勢(shì)變化和緩,當(dāng)距離帶電體足夠遠(yuǎn)時(shí),可以近似地認(rèn)為該區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)為零,電勢(shì)恒定,這些區(qū)域就是物理上稱的“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”。對(duì)于實(shí)際靜電場(chǎng)問(wèn)題,都存在著具有上述特點(diǎn)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),這是它們普遍的共同點(diǎn)。因此,對(duì)于分布在有限區(qū)域的帶電體所產(chǎn)生的靜電場(chǎng),把無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)選為電勢(shì)零點(diǎn),既普遍適用又方便自然。無(wú)限大帶電平面也是一個(gè)理想模型,對(duì)于實(shí)際的帶電平面,只有研究的場(chǎng)點(diǎn)距離帶電體很近且不靠近端點(diǎn),才能將其視為無(wú)限大。無(wú)限大帶電平面激發(fā)的電場(chǎng),已經(jīng)不存在比帶電平面伸展的范圍遠(yuǎn)得多的場(chǎng)強(qiáng)為零、電勢(shì)恒定,被稱為“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”的廣大空間了,所以如果堅(jiān)持帶電平面無(wú)限大就不能再選無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)了。3.3無(wú)限長(zhǎng)均勻帶頭可能不太遠(yuǎn)無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線同樣是一個(gè)理想模型,適用條件是研究的場(chǎng)點(diǎn)既不能離帶電體太近(否則不能視作帶電直線)也不能離帶電體太遠(yuǎn)(否則不能視作無(wú)限長(zhǎng))。所以,無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線激發(fā)的電場(chǎng)既不能選直線所在處為電勢(shì)零點(diǎn),也不能選擇無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)。由此可見(jiàn),存在于理想化情形中電勢(shì)零點(diǎn)選擇的限制性,完全是因?yàn)槔硐肽Ｐ妥陨碛幸欢ǖ倪m用條件造成的,不能因此從原則上否定電勢(shì)零點(diǎn)選擇的任意性。4靜電場(chǎng)物理規(guī)律點(diǎn)電荷、無(wú)限大均勻帶電平面、無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線都是理想模型,是實(shí)際模型的近似和抽象,它們不