隨機過程第4章sjgc4

電子科技大學§4.3

平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經性一、問題背景

實際問題中常需確定隨機過程的數(shù)學期望和方差、相關函數(shù)；

如飛機在高空飛行，受湍流影響產生機翼震動，需考慮機翼振幅大小的均值與方差.電子科技大學設想研究平穩(wěn)過程{X(t),t∈T}，X(t1,ω)X(t,ω1)X(t,ω2)X(t,ω3)t1tn+τX(tn+τ,ω)進行足夠多次的試驗，得到樣本函數(shù)族電子科技大學根據大數(shù)定律，對固定t1∈T，可令

缺點

1)需要很大n,實際工程中難以實現(xiàn).

統(tǒng)計平均2)過程具有不可重復性.電子科技大學

能否用一條樣本函數(shù)去估計隨機過程的數(shù)字特征？問題即能否用一條樣本函數(shù)在時間軸上的均值近似估計E{X(t)}?時間平均？過程須滿足一定條件時可行。電子科技大學二、平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經性

定義4.3.1

設{X(t),t∈(－∞,+∞)}是平穩(wěn)過程，若均方極限存在,稱為X(t)在(－∞,+∞)上的時間平均.二次均方極限對于固定的τ，均方極限二次均方極限存在,稱為X(t)在(－∞,+∞)上的時間相關函數(shù).

電子科技大學

注1

應保證{X(t),t∈R}在任意有限區(qū)間上均方可積.(均方連續(xù)是充分條件).時間相關函數(shù)是隨機過程.注2

時間平均是隨機變量,參數(shù)為τ

平穩(wěn)隨機過程的均值函數(shù)是常數(shù)，相關函數(shù)R(τ)是普通函數(shù).電子科技大學

Ex.1

設X(t)=Y,t∈(－∞,+∞),且D(Y)≠0,D(Y)<+∞.計算X(t)

的時間平均和時間相關函數(shù)解

{X(t)

是平穩(wěn)過程.電子科技大學Ex.2設a,ω0是實常數(shù),Θ～U(0,2π),計算X(t)

的時間平均和時間相關函數(shù).{X(t),t∈(－∞,+∞)}是平穩(wěn)過程.

解電子科技大學電子科技大學定義4.3.2

設{X(t),t∈(－∞,+∞)}是平穩(wěn)過程稱X(t)的均值具有各態(tài)歷經性(均方遍歷性).

稱X(t)的相關函數(shù)具有各態(tài)歷經性.

均值和相關函數(shù)都具有各態(tài)歷經性的平穩(wěn)過程稱為各態(tài)歷經過程.注

各態(tài)歷經過程一定是平穩(wěn)過程,逆不真.電子科技大學

一個隨機過程具備各態(tài)歷經性,可以通過研究其一條樣本函數(shù)來獲取過程的全部信息.思想方法：用時間平均代替統(tǒng)計平均.

續(xù)Ex.1

設X(t)=Y,t∈(－∞,+∞),且D(Y)≠0,D(Y)<+∞,{X(t)}

是平穩(wěn)過程.X(t)的均值不具有各態(tài)歷經性.若Y非單點分布時,電子科技大學又因X(t)的自相關函數(shù)也不具有各態(tài)歷經性.續(xù)Ex.2

設a,ω0是實常數(shù),Θ～U(0,2π),討論過程的遍歷性.

解電子科技大學X(t)的均值和相關函數(shù)都具有各態(tài)歷經性.

多數(shù)情況不必根據定義驗證過程的均方遍歷性,以下給出判斷遍歷性的遍歷性定理.電子科技大學三、均值各態(tài)歷經性定理定理4.3.1

設{X(t),t∈R}是平穩(wěn)過程,則其均值各態(tài)歷經的充要條件是電子科技大學推論1

實隨機過程{X(t),t∈R}是平穩(wěn)過程,則其均值各態(tài)歷經的充要條件為證均值各態(tài)歷經電子科技大學電子科技大學推論2電子科技大學推論3

若平穩(wěn)過程{X(t),t∈R}的相關函數(shù)滿足則X(t)是均值各態(tài)歷經的.

續(xù)Ex.2

設a,ω0是實常數(shù),Θ～U(0,2π),討論過程的遍歷性.

解已按定義驗證了X(t)的均值各態(tài)歷經,

電子科技大學故X(t)的均值有各態(tài)歷經性.

電子科技大學

Ex.3

設隨機過程X(t)=Acos(ωt+Θ),其中A,ω,Θ是相互獨立的隨機變量,Θ～U[－π,π],ω～U[－5,5],E(A)=0,D(A)=4,討論1)X(t)是否平穩(wěn)過程；2)X(t)的均值是否各態(tài)歷經.解

E[X(t)]=E[Acos(ωt+Θ)]=0；=E{A2cos(ωt+Θ)cos(ω(t+τ)+Θ)}電子科技大學X(t)是平穩(wěn)過程,又因X(t)關于均值各態(tài)歷經.電子科技大學四、相關函數(shù)各態(tài)歷經性定理{X(t),t∈R}是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程,且對固定的τ,{X(t)X(t+τ),t∈R}也是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，

則{X(t),t∈R}的相關函數(shù)各態(tài)歷經的充要條件是定理4.3.2電子科技大學證則RX(τ)=E[Z(t)]=mZ,

根據定理4.3.1,對固定的τ,Z(t)均值各態(tài)歷經的充要條件為電子科技大學推論1

又若定理4.3.1中的{X(t),t∈R}是實隨機過程，則相關函數(shù)均方遍歷的充要條件為電子科技大學五、各態(tài)歷經性的應用

對于具有各態(tài)歷經性的平穩(wěn)過程,可以通過一條樣本函數(shù)來推斷過程的統(tǒng)計特征.如{X(t),t∈[0,+∞)}的均值各態(tài)歷經,則有

電子科技大學t0=0

tN=T[]t1t2tN－1電子科技大學因均方收斂必依概率收斂，

電子科技大學

對一次抽樣得到的樣本函數(shù)x(t),t∈[0,+∞]，取足夠大的T及N,

電子科技大學0Δ2ΔnΔx1x2xn類似地，可得RX(τ)的近似估計量為

工程實際中有許多隨機過程滿足各態(tài)歷經性，數(shù)學驗證往往很困難.電子科技大學

或先假定它的各態(tài)歷經性,對數(shù)據進行統(tǒng)計