二項分布為背景的概率模型（解析版）

二項分布為背景的概率模型思路引導思路引導求二項分布為背景的概率模型的解題思路：第一步：根據(jù)題意設(shè)出隨機變量.第二步：分析隨機變量服從二項分布.第三步：找到參數(shù)n，p.第四步：寫出二項分布的概率表達式.第五步：求解相關(guān)概率.【易錯提醒】二項分布與超幾何分布的關(guān)系在n次試驗中，某事件A發(fā)生的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項分布．區(qū)別①當這n次試驗是n重伯努利試驗時(如有放回摸球)，X服從二項分布；②當n次試驗不是n重伯努利試驗時(如不放回摸球)，X服從超幾何分布聯(lián)系在不放回n次試驗中，如果總體數(shù)量N很大，而試驗次數(shù)n很小，此時超幾何分布可近似轉(zhuǎn)化成二項分布如本例(3)母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)【典例】（2022·陜西高三模擬）每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉．若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?！保?Ⅰ)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸福”的人數(shù),求的分布列及．【解題指導】(Ⅰ)先計算人都認為不很幸福的概率→再有對立事件就概率；(Ⅱ)確定二項分步→的可能的取值→列出分布列→求出期望．【解析】(Ⅰ)設(shè)事件抽出的人至少有人是“很幸?！钡模瑒t表示人都認為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意，隨機變量，的可能的取值為；；；所以隨機變量的分布列為：所以的期望方法總結(jié)方法總結(jié)二項分布的均值與方差.(1)如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量.(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b).模擬訓練模擬訓練1．【與五育并舉融合】2023年亞運會在中國杭州舉辦，開幕式門票與其他賽事門票在網(wǎng)上開始預定，亞奧理事會規(guī)定：開幕式門票分為A、B兩檔，當預定A檔未成功時，系統(tǒng)自動進入B檔預定，已知獲得A檔門票的概率是，若未成功，仍有的概率獲得B檔門票的機會；而成功獲得其他賽事門票的概率均為，且獲得每張門票之間互不影響．甲預定了一張A檔開幕式門票，一張賽事門票；乙預定了兩張賽事門票．(1)求甲乙兩人都沒有獲得任何門票的概率；(2)求乙獲得的門票數(shù)比甲多的概率．【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)甲、乙獲得的門票數(shù)分別為、，分別求、的分布列，進而可得結(jié)果；（2）“乙獲得的門票數(shù)比甲多”有3種可能、和，結(jié)合（1）中的數(shù)據(jù)運算求解.【詳解】（1）由題意可得：預定一張開幕式門票不成功的概率，成功的概率為，設(shè)甲獲得的門票數(shù)為，則的可能取值為，故，故的分布列為：012設(shè)乙獲得的門票數(shù)為，則，故，故的分布列為：012故甲乙兩人都沒有獲得任何門票的概率.（2）由（1）可得：乙獲得的門票數(shù)比甲多的概率.2．【與頻率分布直方圖融合】為了響應教育部門疫情期間“停課不停學”的號召，某校實施網(wǎng)絡(luò)授課，為了檢驗學生上網(wǎng)課的效果，在高三年級進行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試，從中抽取了100人的數(shù)學成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1.(1)根據(jù)頻率分布直方圖求學生成績在區(qū)間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學數(shù)學成績的中位數(shù)(2)若將頻率視為概率，從全校高三年級學生中隨機抽取3個人，記抽取的3人成績在[100，130）內(nèi)的學生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出數(shù)學成績落在區(qū)間內(nèi)的頻率，再根據(jù)數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1可求出數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120）的頻率；根據(jù)中位數(shù)公式可求出中位數(shù)；（2）先求出數(shù)學成績落在區(qū)間[100，130）內(nèi)的頻率為，再根據(jù)二項分布可求出分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1）由直方圖可知，數(shù)學成績落在區(qū)間內(nèi)的頻率為,所以數(shù)學成績落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，因為數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1，所以數(shù)學成績落在區(qū)間[110，120）的頻率為，數(shù)學成績落在區(qū)間[70，100）的頻率為，所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以抽取的這100名同學數(shù)學成績的中位數(shù)為.（2）由（1）知，數(shù)學成績落在區(qū)間[100，130）內(nèi)的頻率為，由題意可知，，的所有可能取值為，，，，，所以的分布列為：0123所以數(shù)學期望.3．【決策問題】某學校在50年校慶到來之際，舉行了一次趣味運動項目比賽，比賽由傳統(tǒng)運動項目和新增運動項目組成，每位參賽運動員共需要完成3個運動項目．對于每一個傳統(tǒng)運動項目，若沒有完成，得0分，若完成了，得30分．對于新增運動項目，若沒有完成，得0分，若只完成了1個，得40分，若完成了2個，得90分．最后得分越多者，獲得的資金越多．現(xiàn)有兩種參賽的方案供運動員選擇．方案一：只參加3個傳統(tǒng)運動項目．方案二：先參加1個傳統(tǒng)運動項目，再參加2個新增運動項目．已知甲、乙兩位運動員能完成每個傳統(tǒng)項目的概率為，能完成每個新增運動項目的概率均為，且甲、乙參加的每個運動項目是否能完成相互獨立．(1)若運動員甲選擇方案一，求甲得分不低于60分的概率．(2)若以最后得分的數(shù)學期望為依據(jù)，請問運動員乙應該選擇方案一還是方案二？說明你的理由．【答案】(1)；(2)運動員乙應該選擇方案一；理由見解析【分析】（1）甲得分不低于60分等價甲至少要完成2項傳統(tǒng)運動項目；（2）方案一服從二項分布從而可求數(shù)學期望，再由方案二得分的分布列求得數(shù)學期望，比較兩個期望的大小.【詳解】（1）運動員甲選擇方案一，若甲得分不低于60分，則甲至少要完成2項傳統(tǒng)運動項目，故甲得分不低于60分的概率．（2）若乙選擇方案一，則乙完成的運動項目的個數(shù)，所以乙最后得分的數(shù)學期望為．若乙選擇方案二，則乙得分Y的可能為取值為0，30，40，70，90，120，，，，，，．所以Y的數(shù)學期，因為，所以運動員乙應該選擇方案一．4．【與數(shù)列融合】近兩年因為疫情的原因，線上教學越來越普遍了．為了提升同學們的聽課效率，授課教師可以選擇在授課過程中進行專注度監(jiān)測，即要求同學們在10秒鐘內(nèi)在軟件平臺上按鈕簽到，若同學們能夠在10秒鐘內(nèi)完成簽到，則說明該同學在認真聽課，否則就可以認為該同學目前走神了．經(jīng)過一個月對全體同學上課情況的觀察統(tǒng)計，平均每次專注度監(jiān)測有的同學能夠正常完成簽到．為了能夠進一步研究同學們上課的專注度情況，我們做如下兩個約定：①假設(shè)每名同學在專注度監(jiān)測中出現(xiàn)走神情況的概率均相等；②約定每次專注度監(jiān)測中，每名同學完成簽到加2分，未完成簽到加1分．請回答如下兩個問題：(1)若一節(jié)課老師會進行3次專注度監(jiān)測，那么某班同學在3次專注度監(jiān)測中的總得分的數(shù)學期望是多少？(2)記某位同學在數(shù)次專注度監(jiān)測中累計得分恰為分的概率為（比如：表示累計得分為分的概率，表示累計得分為的概率），求：①的通項公式；②的通項公式．【答案】(1)；(2)①；②.【分析】（1）根據(jù)二項分布的期望求解，求得三次監(jiān)測中完成簽到次數(shù)的數(shù)學期望，再求結(jié)果即可；（2）求得的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可求得；再結(jié)合累加法，以及等比數(shù)列前項和公式，即可求得.【詳解】（1）設(shè)某班同學在3次專注度監(jiān)測中完成簽到的次數(shù)為，由題可知，，故，設(shè)某班同學3次專注度監(jiān)測的總得分為，根據(jù)題意，故.故某班同學在3次專注度監(jiān)測中的總得分的數(shù)學期望是.（2）①由題可知，根據(jù)題意，，故可得故數(shù)列為首項，公比為的等比數(shù)列，則.②根據(jù)上式可得，則，故的通項公式.5．【與獨立性檢驗融合】某核酸檢測機構(gòu)為了提高核酸檢測效率，對核酸檢測設(shè)備進行了技術(shù)改造，為了對比技術(shù)改造后的效果，采集了技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運行的時間長度（單位：小時）數(shù)據(jù)，整理如下：改造前：141，140，146，127，147，159，136，162，140，126，178，134，125，139，121，178，128，138，129，142；改造后：145，136，127，148，156，172，169，121，172，182，181，124，147，181，140，175，156，132，115，137.(1)完成下面的列聯(lián)表，并判是否有90%以上的把握認為判斷技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異?技術(shù)改造設(shè)備連續(xù)正常運行小時合計超過144不超過144改造前改造后合計(2)核酸檢測機構(gòu)的檢測設(shè)備的運行需要進行維護，核酸檢測機構(gòu)對檢測設(shè)備的維護費用包括正常維護費和額外維護費兩種，對檢測設(shè)備設(shè)定維護周期為144小時（開機運行144小時內(nèi)檢測一次）進行維護，檢測設(shè)備在一個月內(nèi)（720小時）設(shè)5個維護周期，每個維護周期相互獨立在一個維護周期內(nèi)，若檢測設(shè)備能連續(xù)運行，則只產(chǎn)生一次正常維護費，而不會產(chǎn)生額外維護費；若檢測設(shè)備不能連續(xù)運行，則除產(chǎn)生一次正常維護費外，還產(chǎn)生額外維護費，經(jīng)測算，正常維護費為0.56萬元/次，額外維護費第一次為0.22萬元/周期，此后每增加一次則額外維護費增加0.22萬元.已知檢測設(shè)備在技術(shù)改造后一個周期內(nèi)能連續(xù)正常運行的概率為，求一個月內(nèi)維護費的分布列及均值.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（其中）【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，有以上的把握認為判斷技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異.(2)分布列答案見解析，均值為萬元【分析】（1）根據(jù)題意，補全列聯(lián)表，代入公式計算結(jié)果，對照表格，判斷得答案；（2）首先判斷一個維護周期內(nèi)，檢測設(shè)備需要額外維護費的概率為，設(shè)一個月內(nèi)需額外維護的次數(shù)為，則服從二項分布，再根據(jù)題意找到與一個月的維護費的關(guān)系，計算的可能取值，依次計算其概率得分布列，計算分布列的期望，得答案.【詳解】（1）列聯(lián)表為：技術(shù)改造設(shè)備連續(xù)正常運行小時合計超過144不超過144改造前14620改造后81220合計221840易知：，所以有以上的把握認為判斷技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異.（2）已知，一個月內(nèi)設(shè)有個維護周期，一個周期內(nèi)能連續(xù)正常運行的概率為，即需要額外維護費的概率為，設(shè)一個月內(nèi)需額外維護的次數(shù)為，則，一個月內(nèi)的正常維護費為，額外維護費為萬元.所以一個月內(nèi)需額外維護次數(shù)為時需要的維護費為萬元，設(shè)一個月內(nèi)的維護費為，則的所有可能取值為，，，，，，；；；；；；所以，的分布列為2.83.023.464.1256.1.一個月內(nèi)維護費的均值為萬元.6．【結(jié)構(gòu)不良問題】甲?乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標，互不影響；每次射擊是否擊中目標，互不影響.(1)記甲擊中目標的次數(shù)為X，求X的分布列；(2)在①甲恰好比乙多擊中目標2次，②乙擊中目標的次數(shù)不超過2次，③甲擊中目標3次且乙擊中目標2次這三個條件中任取一個，補充在橫線中，并解答問題.求___________事件的概率.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【答案】(1)分布列見解析；(2)答案見解析.【分析】（1）確定X的可能取值，利用二項分布求X的分布列；（2）根據(jù)所選的條件，利用獨立事件乘法公式、互斥事件加法公式及對立事件概率求法求概率.【解析】（1）由題意知：X的取值范圍是，，，，.故X的分布列為：X0123P（2）選擇①：設(shè)甲恰好比乙多擊中目標2次為事件A，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標0次為事件，甲恰好擊中目標3次且乙恰好擊中目標1次為事件，則，又和為互斥事件，則.所以甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為.選擇②：記乙擊中目標的次數(shù)為Y，而的對立事件為，由，故.選擇③：甲擊中目標與乙擊中目標為相互獨立事件，所以甲擊中目標3次且乙擊中目標2次的概率為.7．【與條形圖融合】第屆冬季奧林匹克運動會，于年月在北京市和張家口市聯(lián)合舉行．某校寒假期間組織部分滑雪愛好者參加冬令營集訓．訓練期間，冬令營的同學們都參加了“單板滑雪”這個項目相同次數(shù)的訓練測試，成績分別為、、、、五個等級，分別對應的分數(shù)為、、、、．甲、乙兩位同學在這個項目的測試成績統(tǒng)計結(jié)果如圖所示．(1)根據(jù)上圖判斷，甲、乙兩位同學哪位同學的單板滑雪成績更穩(wěn)定？（結(jié)論不需要證明）(2)求甲單板滑雪項目各次測試分數(shù)的眾數(shù)和平均數(shù)；(3)若甲、乙再同時參加兩次測試，設(shè)甲的成績?yōu)榉植⑶乙业某煽優(yōu)榉只蚍值拇螖?shù)為，求的分布列（頻率當作概率使用）．【答案】(1)乙比甲的單板滑雪成績更穩(wěn)定；(2)眾數(shù)為3分，平均數(shù)為2.9分；(3)分布列答案見解析【分析】（1）根據(jù)條形圖判斷可得出結(jié)論；（2）根據(jù)條形圖可得出眾數(shù)，將每組值乘以對應組的頻率，將所得結(jié)果全部相加可得平均數(shù)；（3）分析可知，利用二項分布可得出隨機變量的分布列.【詳解】（1）解：由圖可知，乙比甲的單板滑雪成績更穩(wěn)定.（2）解：因為甲單板滑雪項目測試中分和分成績的頻率之和為，分成績的頻率為，所以，甲單板滑雪項目各次測試分數(shù)的眾數(shù)為分，測試成績分的頻率為，所以，甲單板滑雪項目各次測試分數(shù)的平均數(shù)為.（3）解：由題意可知，在每次測試中，甲的成績?yōu)榉?，并且乙的成績?yōu)榉只蚍值母怕蕿?，依題意，，所以，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：8．【與分層抽樣融合】今年上海疫情牽動人心，大量醫(yī)務人員馳援上海．現(xiàn)從這些醫(yī)務人員中隨機選取了年齡（單位：歲）在內(nèi)的男、女醫(yī)務人員各100人，以他們的年齡作為樣本，得出女醫(yī)務人員的年齡頻率分布直方圖和男醫(yī)務人員的年齡頻數(shù)分布表如下：年齡（單位：歲）頻數(shù)3020251510(1)求頻率分布直方圖中a的值：(2)在上述樣本中用分層抽樣的方法從年齡在內(nèi)的女醫(yī)務人員中抽取8人，從年齡在內(nèi)的男醫(yī)務人員中抽取5人．記這13人中年齡在內(nèi)的醫(yī)務人員有m人，再從這m人中隨機抽取2人，求這2人是異性的概率：(3)將上述樣本頻率視為概率，從所有馳援上海的年齡在內(nèi)的男醫(yī)務人員中隨機抽取8人，用表示抽到年齡在內(nèi)的人數(shù)，求的數(shù)學期望及方差．【答案】(1)；(2)；(3)，【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有的小矩形的面積之和為1得到方程，解得即可；（2）首先按照分層抽樣求出男、女年齡在、內(nèi)的人數(shù)，再由古典概型的概率公式計算可得；（3）依題意可得年齡在內(nèi)的概率為，則，根據(jù)二項分布的期望、方差公式計算可得；【解析】（1）由題意，解得：（2）由已知得8名女醫(yī)務人員中，年齡在內(nèi)的有人，在內(nèi)的有人5名男醫(yī)務人員中，年齡在內(nèi)的有人，在內(nèi)的有人∴這13人中，年齡在內(nèi)的有8人，其中女醫(yī)務人員有6人，男醫(yī)務人員有2人．設(shè)從這8人中抽取2人，這2人是異性為事件A，則（3）由題意，在男醫(yī)務人員中，年齡在內(nèi)與年齡在內(nèi)的人數(shù)比為，故在年齡在內(nèi)的男醫(yī)務人員中隨機抽取1人，其年齡在內(nèi)的概率為，∴∴的數(shù)學期望為，的方差為9．【與對立事件融合】已知某機床的控制芯片由個相同的單元組成，每個單元正常工作的概率為，且每個單元正常工作與否相互獨立.（1）若，求至少有3個單元正常工作的概率；（2）若，并且個單元里有一半及其以上的正常工作，這個芯片就能控制機床，其概率記為.①求的值；②若，求的值.【答案】（1）；（2）①；②.【分析】(1)至少有3個單元正常工作的概率,即求3個單元和4個單元正常工作的概率之和；(2)①的值，即時，至少有4個單元正常工作的概率，根據(jù)二項分布的概率計算公式求解即可；②對分奇偶討論，結(jié)合二項分布的概率計算公式及組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：（1）設(shè)至少有3個單元正常工作的概率為，則.（2）①時，至少有4個單元正常工作芯片就能控制機床，所以，由，而，所以.②若，則，頁所以，符合題意.若，則，而對立事件，且，則，所以，故：.10．【與折線圖融合】2022年冬季奧林匹克運動會在北京勝利舉行，北京也成為了第一個同時舉辦過夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會以及亞洲運動會三項國際賽事的城市.為推廣普及冰雪運動，深入了解湖北某地中小學學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，隨機選取了10所學校進行研究，得到如下圖數(shù)據(jù)：(1)在這10所學校中隨機選取3所來調(diào)查研究，求在抽到學校至少有一個參與“自由式滑雪”超過4