中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題11 一元二次方程（解析版）

專題11一元二次方程【考查題型】【知識要點】知識點一一元二次方程有關(guān)概念一元二次方程定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般形式：。其中a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項?！九袛嘁辉畏匠痰臈l件】1）只含有一個未知數(shù)；2）所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2；3）整式方程。一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。考查題型一一元二次方程的解題型1．已知關(guān)于x的方程的一個根為，則實數(shù)m的值為（）A．4 B． C．3 D．【答案】B【提示】根據(jù)方程根的定義，將代入方程，解出m的值即可．【詳解】解：關(guān)于x的方程的一個根為，所以，解得．故選：B．【名師點撥】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握由方程的根求待定系數(shù)的方法是將根代入方程求解．題型1-1．（2022年四川省資陽市中考數(shù)學(xué)真題）若a是一元二次方程的一個根，則的值是___________．【答案】6【提示】將a代入，即可得出，再把整體代入，即可得出答案．【詳解】∵a是一元二次方程的一個根，∴，∴，∴，故答案為：6．【名師點撥】本題考查了一元二次方程的根的定義，整體思想是本題的關(guān)鍵．題型1-2．（2022年廣東省中考數(shù)學(xué)真題試卷）若是方程的根，則____________．【答案】1【提示】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義，把x=1代入方程得到a的值．【詳解】把x=1代入方程，得1?2+a=0，解得a=1，故答案為：1．【名師點撥】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．題型1-3．（2022年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)真題）若關(guān)于的一元二次方程的一個解是，則的值是___．【答案】1【提示】根據(jù)一元二次方程解的定義把代入到進行求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個解是，∴，∴，故答案為：1．【名師點撥】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，熟知一元二次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．知識點二：解一元二次方程（重點）方法一：直接開平方法概念：形如的方程兩邊直接開平方得或者，最后通過解兩個一元一次方程得到原方程的解?！咀⒁狻?)若b>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；2）若b=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；3)若b<0，方程無解。方法二配方法概念：將一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方為(x+m)2=n的形式，再用直接開平方法求解。用配方法解一元二次方程的一般步驟：1）移項：使方程左邊為二次項與一次項，右邊為常數(shù)項；二次項系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項系數(shù)；3）配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一般的平方，把方程化為(x+p)2=q（q≥0）的形式；【注意】：1）當(dāng)q<0時，方程無解2）如q≥0時，方程的根是x=-p±4）求解：判斷右邊等式符號，開平方并求解。方法三：公式法概念：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通過配方推導(dǎo)出來的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)。一元二次方程根的判別式：方程有兩個不相等的實根:（）2）方程有兩個相等的實根：3）方程無實根用公式法解一元二次方程的一般步驟：1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計算);2）求出b2-4ac的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解;3）如果b2-4ac≥0,將a、b、c的值代入求根公式：4）最后求出x1，x2方法四：因式分解法概念：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。（若ab=0，則a=0或b=0。）用因式分解一元二次方程的一般步驟（口訣：右化零，左分解，兩因式，各求解）：1）將方程右邊得各項移到方程左邊，使方程右邊為0；2）將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；3）令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；4）求解?？疾轭}型二解一元二次方程題型2．（2022·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【提示】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．【詳解】解：∵，∴，，則，即，∴，，∴．故選：B．【名師點撥】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．題型2-1．（2022·四川雅安·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，則c的值為（）A．﹣3 B．0 C．3 D．9【答案】C【提示】先移項把方程化為再配方可得結(jié)合已知條件構(gòu)建關(guān)于c的一元一次方程，從而可得答案．【詳解】解：x2+6x+c＝0，移項得：配方得：而（x+3）2＝2c，解得：故選C【名師點撥】本題考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步驟”是解本題的關(guān)鍵．題型2-2．（2022·山東東營·中考真題）一元二次方程的解是（

）A． B．C． D．【答案】D【提示】利用配方法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得，故選D．【名師點撥】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．題型2-3．（2022·天津·中考真題）方程的兩個根為（

）A． B． C． D．【答案】D【提示】將進行因式分解，，計算出答案．【詳解】∵∴∴故選：D．【名師點撥】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解法解一元二次方程．題型2-4．（2022·黑龍江綏化·中考真題）設(shè)與為一元二次方程的兩根，則的值為________．【答案】20【提示】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；【詳解】解：∵△=9-4=5＞0，∴，，∴=，故答案為：20；【名師點撥】本題考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解題關(guān)鍵．題型2-5．（2022·廣西梧州·中考真題）一元二次方程的根是_________．【答案】，【提示】由兩式相乘等于0，則這兩個式子均有可能為0即可求解．【詳解】解：由題意可知：或，∴或，故答案為：或．【名師點撥】本題考查一元二次方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，計算細(xì)心即可．題型2-6．（2022·四川涼山·中考真題）已知實數(shù)a、b滿足a－b2＝4，則代數(shù)式a2－3b2＋a－14的最小值是________．【答案】6【提示】根據(jù)a－b2＝4得出，代入代數(shù)式a2－3b2＋a－14中，通過計算即可得到答案．【詳解】∵a－b2＝4∴將代入a2－3b2＋a－14中得：∵∴當(dāng)a=4時，取得最小值為6∴的最小值為6∵∴的最小值6故答案為：6．【名師點撥】本題考查了代數(shù)式的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握代數(shù)式的性質(zhì)，從而完成求解．題型2-7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：【答案】，【提示】直接開方可得或，然后計算求解即可．【詳解】解：∵∴或解得，．【名師點撥】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋}型2-8．（2022·貴州貴陽·中考真題）（1）a，b兩個實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示．用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；（2）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，他們分別是配方法、公式法和因式分解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程．①x2+2x?1=0；②x2?3x=0；③x2?4x=4；④x2?4=0．【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．【提示】（1）由題意可知：a＜0，b＞0，據(jù)此求解即可；（2）找出適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠碳纯桑驹斀狻拷猓海?）由題意可知：a＜0，b＞0，∴a＜b，ab＜0；故答案為：＜，＜；（2）①x2+2x?1=0；移項得x2+2x=1，配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，則x+1=±，∴x1=-1+，x2=-1-；②x2?3x=0；因式分解得x(x-3)=0，則x=0或x-3=0，解得x1=0，x2=3；③x2?4x=4；配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，則x-2=±，∴x1=2+，x2=2-；④x2?4=0．因式分解得(x+2)(x-2)=0，則x+2=0或x-2=0，解得x1=-2，x2=2．【名師點撥】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．還考查了實數(shù)與數(shù)軸．考查題型三一元二次方程根的判別式題型3．（2022·貴州安順·中考真題）定義新運算，對于任意實數(shù)a，b滿足，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如，若（k為實數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是（

）A．有一個實根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】B【提示】將按照題中的新運算方法展開，可得，所以可得，化簡得：，，可得，即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)新運算法則可得：，則即為，整理得：，則，可得：，；，方程有兩個不相等的實數(shù)根；故答案選：B.【名師點撥】本題考查新定義運算以及一元二次方程根的判別式.注意觀察題干中新定義運算的計算方法，不能出錯；在求一元二次方程根的判別式時，含有參數(shù)的一元二次方程要尤其注意各項系數(shù)的符號.題型3-1．（2022·甘肅蘭州·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】B【提示】若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則根的判別式△＝b2?4ac＝0，據(jù)此可列出關(guān)于k的等量關(guān)系式，即可求得k的值．【詳解】∵原方程有兩個相等的實數(shù)根，∴△＝b2?4ac＝4?4×（?k）＝0，且k≠0；解得．故選：B．【名師點撥】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件．題型3-2．（2022·湖北荊州·中考真題）關(guān)于x的方程實數(shù)根的情況，下列判斷正確的是（

）A．有兩個相等實數(shù)根 B．有兩個不相等實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．有一個實數(shù)根【答案】B【提示】根據(jù)根的判別式直接判斷即可得出答案．【詳解】解：對于關(guān)于x的方程，∵，∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選B．【名師點撥】此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．題型3-3．（2022·四川宜賓·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】B【提示】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，解得：a＞-1且a≠0，故選：B．【名師點撥】本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根．題型3-4．（2022·遼寧·本溪市教師進修學(xué)院中考真題）下列一元二次方程無實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】C【提示】利用一元二次方程根的判別式判斷即可；【詳解】解：A．，方程有兩個不等的實數(shù)根，不符合題意；B．，方程有兩個不等的實數(shù)根，不符合題意；C．，方程沒有實數(shù)根，符合題意；D．，方程有兩個相等的實數(shù)根，不符合題意；故選：C．【名師點撥】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判別式△=b2-4ac：△＞0時方程有兩個不等的實數(shù)根；△=0時方程有兩個相等的實數(shù)根；△＜0時方程沒有實數(shù)根．題型3-5．（2022·西藏·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1【答案】D【提示】方程為一元二次方程，二次項系數(shù)不能為0，方程有實根，△≥0，綜合以上兩方面進行計算即可．【詳解】解∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有實數(shù)根，∴，解得：m≥且m≠1．故選D．【名師點撥】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)的取值范圍．注意不要忽略一元二次方程的系數(shù)不為0這一條件．題型3-6．（2022·四川·巴中市教育科學(xué)研究所中考真題）對于實數(shù)，定義新運算：，若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍（

）A． B． C．且 D．且【答案】A【提示】根據(jù)新定義運算法則列方程，然后根據(jù)一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判別式列不等式組求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：，故A正確．故選：A．【名師點撥】本題屬于新定義題目，考查一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0方程沒有實數(shù)根．題型3-7．（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）對于實數(shù)a，b定義運算“?”為，例如，則關(guān)于x的方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【提示】先根據(jù)新定義得到關(guān)于x的方程為，再利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選A．【名師點撥】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，新定義下的實數(shù)運算，正確得到關(guān)于x的方程為是解題的關(guān)鍵．題型3-8．（2022·江蘇揚州·中考真題）請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得關(guān)于的方程____________有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】0（答案不唯一）【提示】設(shè)這個常數(shù)為a，利用一元二次方程根的判別式求出a的取值范圍即可得到答案．【詳解】解：設(shè)這個常數(shù)為a，∵要使原方程有兩個不同的實數(shù)根，∴，∴，∴滿足題意的常數(shù)可以為0，故答案為：0（答案不唯一）．【名師點撥】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．題型3-9．（2022·廣東廣州·中考真題）已知T=(1)化簡T；(2)若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，求T的值．【答案】(1)；(2)T=【提示】(1)根據(jù)整式的四則運算法則化簡即可；(2)由方程有兩個相等的實數(shù)根得到判別式△=4a2-4(-ab+1)=0即可得到，整體代入即可求解．（1）解：T==；（2）解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴?=2a2∴，則T=．【名師點撥】本題考查了整式的四則運算法則、一元二次方程的實數(shù)根的判別、整體思想，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握運算法則及一元二次方程的根的判別式是解題的關(guān)鍵．知識點三一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠Q(mào)UOTE≠0，Δ≥0）的兩個根是和，則和與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關(guān)系：+＝；＝【擴展】用根與系數(shù)的關(guān)系求值時的常見轉(zhuǎn)化：1）；2）；3）；4）；考查題型四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系題型4．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）已知，是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值是（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【答案】A【提示】根據(jù)一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：解：∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴，，故選A【名師點撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型3-1．（2022·貴州黔東南·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（

）A．7 B． C．6 D．【答案】B【提示】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求出=3，a=3，再求代數(shù)式的值即．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根分別記為，，∴+=2，∵，∴=3，∴·=-a=-3，∴a=3，∴．故選B．【名師點撥】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，代數(shù)式的值，掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，代數(shù)式的值是解題關(guān)鍵．題型4-2．（2022·四川宜賓·中考真題）已知m、n是一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A．0 B．－10 C．3 D．10【答案】A【提示】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．【詳解】解：∵m、n是一元二次方程的兩個根，∴mn=－5，m2+2m-5=0，∴m2+2m=5，∴=5－5=0，故選：A．【名師點撥】本題考查代數(shù)式求值，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，方程解的意義，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和方程解的意義得出mn=-5，m2+2m=5是解題的關(guān)鍵．題型4-3．（2022·四川瀘州·中考真題）已知關(guān)于的方程的兩實數(shù)根為，，若，則的值為（

）A． B． C．或3 D．或3【答案】A【提示】利用根與系數(shù)的關(guān)系以及求解即可．【詳解】解：由題意可知：，且∵，∴，解得：或，∵，即，∴，故選：A【名師點撥】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系以及根據(jù)方程根的情況確定參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵是求出，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出或（舍去）．題型4-4．（2022·湖南益陽·中考真題）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一個根，則此方程的另一個根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】B【提示】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【詳解】設(shè)x2+x+m＝0另一個根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故選：B．【名師點撥】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．題型4-5．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（

）A．3或 B．或9 C．3或 D．或6【答案】A【提示】結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系以及解出方程進行分類討論即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，,則兩根為：3或-1，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故選：A．【名師點撥】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及解二元一次方程，正確解出方程進行分類討論是解題的關(guān)鍵．題型4-6．（2022·四川樂山·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩根，其中一根為，則這兩根之積為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【提示】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程有兩根，其中一根為，設(shè)另一根為，則，，，故選：D【名師點撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型4-7．（2022·山東日照·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個不同的實數(shù)根x1，x2，且，則m=__________．【答案】##-0.125【提示】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=變形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得x1+x2=-2m，x1x2=，∵x12+x22=，∴（x1+x2）2-2x1x2=，∴4m2-m=，∴m1=-，m2=，∵Δ=16m2-8m＞0，∴m＞或m＜0時，∴m=不合題意，故答案為：．【名師點撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，，．題型4-8．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為_____．【答案】2【提示】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及解的定義得到x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根據(jù)＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數(shù)根，∴x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，當(dāng)k＝2時，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合題意；當(dāng)k＝5時，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程無實數(shù)解，不符合題意；∴k＝2，故答案為：2．【名師點撥】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型4-9．（2022·湖北十堰·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的兩個實數(shù)根分別為，，且，求的值．【答案】(1)見解析(2)【提示】（1）根據(jù)根的判別式，即可判斷；（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求出，由即可解出，，再根據(jù)，即可得到的值．【詳解】（1），∵，∴，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）方程的兩個實數(shù)根，，由根與系數(shù)關(guān)系可知，，，∵，∴，∴，解得：，，∴，即．【名師點撥】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．題型4-10．（2022·四川南充·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．(1)求實數(shù)k的取值范圍．(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，若，求k的值．【答案】(1)k；(2)k=3【提示】根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，將等式左側(cè)展開代入計算即可得到k值．【詳解】（1）解：∵一元二次方程有實數(shù)根．∴?0，即32-4（k-2）0，解得k（2）∵方程的兩個實數(shù)根分別為，∴，∵，∴，∴，解得k=3．【名師點撥】此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，熟練掌握一元二次方程有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．題型4-11．（2022·四川涼山·中考真題）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝；x1x2＝．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．【答案】(1)；(2)(3)或【提示】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系直接進行計算即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后將進行變形求解即可；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后求出s-t的值，然后將進行變形求解即可．【詳解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩個根為x1，x2，∴，．故答案為：；．（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩根分別為m、n，∴，，∴（3）∵實數(shù)s、t滿足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的兩個根，∴，，∵∴或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上提示可知，的值為或．【名師點撥】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計算，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出或，是解答本題的關(guān)鍵．題型4-12．（2022·湖北黃石·中考真題）閱讀材料，解答問題：材料1為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．材料2已知實數(shù)m，n滿足，，且，顯然m，n是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由書達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為_______________________；(2)間接應(yīng)用：已知實數(shù)a，b滿足：，且，求的值；(3)拓展應(yīng)用：已知實數(shù)x，y滿足：，且，求的值．【答案】(1)，，，(2)或(3)15【提示】（1）利用換元法降次解決問題；（2）模仿例題解決問題即可；（3）令=a，-n=b，則+a-7=0，+b=0，再模仿例題解決問題．（1）解：令y=，則有-5y+6=0，∴（y-2）（y-3）=0，∴=2，=3，∴=2或3，∴，，，，故答案為：，，，；（2）解：∵，∴或①當(dāng)時，令，，∴則，，∴，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，∴，此時；②當(dāng)時，，此時；綜上：或（3）解：令，，則，，∵，∴即，∴，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，∴，故．【名師點撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，冪的乘方與積的乘方，換元法，解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會模仿例題解決問題．知識點四一元二次方程的應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用題，其步驟和二元一次方程組解應(yīng)用題類似：“審”，弄清楚已知量，未知量以及他們之間的等量關(guān)系；“設(shè)”指設(shè)元，即設(shè)未知數(shù)，可分為直接設(shè)元和間接設(shè)元；“列”指列方程，找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，即方程。“解”就是求出說列方程的解；“答”就是書寫答案，檢驗得出的方程解，舍去不符合實際意義的方程?！境Ｒ婎愋汀夸N售類問題、幾何圖形類問題、傳播類問題銷售類問題思路：1）增長率等量關(guān)系：①增長率＝×100%；②設(shè)a為原來量，m為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量，則a(1+m)n=b；【易錯點】增長率不為負(fù)，降低率不超過1。2）利潤等量關(guān)系：①成本價：俗稱進價，是商家進貨時的價格；②標(biāo)價：商家出售時標(biāo)注的價格；③打折：打折就是以標(biāo)價為基礎(chǔ)，按一定比例降價出售。如：打9折，就是按標(biāo)價的90℅出售。④利潤=售價－進價，利潤>0時盈利，利潤<0時虧損。⑤利潤率=利潤成本幾何圖形類問題：如幾何圖形面積模型、勾股定理等；考查題型五利用一元二次方程解決傳播問題題型5．（2022·黑龍江·中考真題）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（

）A．8 B．10 C．7 D．9【答案】B【提示】設(shè)有x支隊伍，根據(jù)題意，得，解方程即可．【詳解】設(shè)有x支隊伍，根據(jù)題意，得，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故選B．【名師點撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．題型5-1．（2021·黑龍江·中考真題）有一個人患了流行性感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是（

）A．14 B．11 C．10 D．9【答案】B【提示】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，由題意可得，然后求解即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，由題意可得：，解得：（舍去），故選B．【名師點撥】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．考查題型六利用一元二次方程解決增長率問題題型6．（2022·重慶·中考真題）小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【提示】平均增長率為x，關(guān)系式為：第三天攬件量＝第一天攬件量×（1＋平均增長率）2，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【詳解】解：由題意得：第一天攬件200件，第三天攬件242件，∴可列方程為：，故選：A．【名師點撥】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，得到三天的攬件量關(guān)系式是解決本題的突破點，難度一般．題型6-1．（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）某種商品原來每件售價為150元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，該種商品每件售價為96元，設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)隨意，所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【提示】結(jié)合題意提示：第一次降價后的價格=原價×（1-降低的百分率），第二次降價后的價格=第一次降價后的價格×（1-降低的百分率），把相關(guān)數(shù)值代入即可．【詳解】解：設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意可列方程150（1-x）2=96，故選：C．【名師點撥】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，解題的關(guān)鍵是能夠分別表示出兩次降價后的售價．題型6-2．（2022·江蘇南通·中考真題）李師傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若從1月到3月，每月盈利的平均增長率都相同，則這個平均增長率是（

）A．10.5% B．10% C．20% D．21%【答案】B【提示】設(shè)每月盈利的平均增長率為x，根據(jù)今年1月盈利3000元，3月盈利3630元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)每月盈利的平均增長率為x，依題意，得：3000（1＋x）2＝3630，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝?2.1（不合題意，舍去）．故選：B．【名師點撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題型6-3．（2022·浙江杭州·中考真題）某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺2019年的新注冊用戶數(shù)為100萬，2021年的新注冊用戶數(shù)為169萬，設(shè)新注冊用戶數(shù)的年平均增長率為x（），則_________（用百分?jǐn)?shù)表示）．【答案】30%【提示】由題意：2019年的新注冊用戶數(shù)為100萬，2021年的新注冊用戶數(shù)為169萬，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)新注冊用戶數(shù)的年平均增長率為x（），則2020年新注冊用戶數(shù)為100（1+x）萬，2021年的新注冊用戶數(shù)為100（1+x）2萬戶，依題意得100（1+x）2=169，解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合題意舍去），∴x=0.3=30%，故答案為：30%．【名師點撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題型6-4．（2022·四川眉山·中考真題）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個小區(qū)改造費用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？【答案】(1)20%(2)18個【提示】（1）先設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為，根據(jù)2019年投入資金2021年投入的總資金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的資金年增長率求出2022年的投入資金，然后2022年改造老舊小區(qū)的總費用要小于等于2022年投入資金，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為，根據(jù)題意得：，解這個方程得，，，經(jīng)檢驗，符合本題要求．答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%．（2）設(shè)該市在2022年可以改造個老舊小區(qū)，由題意得：，解得．∵為正整數(shù)，∴最多可以改造18個小區(qū)．答：該市在2022年最多可以改造18個老舊小區(qū)．【名師點撥】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的等量關(guān)系和相應(yīng)的不等關(guān)系，列出正確的方程和不等式．考查題型七利用一元二次方程解決與圖形有關(guān)的問題題型7．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，小明同學(xué)用一張長11cm，寬7cm的矩形紙板制作一個底面積為的無蓋長方體紙盒，他將紙板的四個角各剪去一個同樣大小的正方形，將四周向上折疊即可（損耗不計）．設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，則可列出關(guān)于x的方程為______．【答案】【提示】設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，根據(jù)題意得：．故答案為：【名師點撥】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型7-1．（2022·四川成都·中考真題）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則這個直角三角形斜邊的長是_________．【答案】【提示】由題意解一元二次方程得到或，再根據(jù)勾股定理得到直角三角形斜邊的長是．【詳解】解：一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程的兩個實數(shù)根，由公式法解一元二次方程可得，根據(jù)勾股定理可得直角三角形斜邊的長是，故答案為：．【名師點撥】本題考查勾股定理求線段長，根據(jù)題意解出一元二次方程的兩根是解決問題的關(guān)鍵．題型7-2．（2022·湖南永州·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證明.如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則______．【答案】3【提示】根據(jù)題意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，結(jié)合圖形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根據(jù)題意，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，則AE=x-1，在Rt?AED中，，即，解得：x=4（負(fù)值已經(jīng)舍去），∴x-1=3，故答案為：3．【名師點撥】題目主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，一元二次方程的應(yīng)用等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．題型7-3．（2022·浙江衢州·中考真題）將一個容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示．利用容積列出圖中x（cm）滿足的一元二次方程：_____（不必化簡）．【答案】【提示】根據(jù)題意分別找出包裝盒的長、寬、高，再利用長方體的體積即可列出關(guān)于x的方程．【詳解】由包裝盒容積為360cm3可得，，故答案為：．【名師點撥】本題主要考查了將實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，能夠利用長方形的體積列出方程是解題關(guān)鍵．題型7-4．（2022·山東濟南·中考真題）利用圖形的分、和、移、補探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a＝4，b＝2，則矩形ABCD的面積是______．【答案】16【提示】設(shè)小正方形的邊長為，利用、、表示矩形的面積，再用、、表示三角形以及正方形的面積，根據(jù)面積列出關(guān)于、、的關(guān)系式，解出，即可求出矩形面積．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為，矩形的長為，寬為，由圖1可得：，整理得：，，，，，矩形的面積為．故答案為：16．【名師點撥】本題主要考查列代數(shù)式，一元二次方程的應(yīng)用，求出小正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．題型7-5．（2022·江蘇無錫·中考真題）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．(1)若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，求此時x的值；(2)當(dāng)x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【答案】(1)x的值為2m；(2)當(dāng)時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2【提示】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依題意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合題意，舍去)，此時x的值為2m；；（2）解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墻的長度為10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵-3<0，∴x＜4時，S隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x=時，S有最大值，最大值為，即當(dāng)時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【名師點撥】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型7-6．（2022·遼寧沈陽·中考真題）如圖，用一根長60厘米的鐵絲制作一個“日”字型框架ABCD，鐵絲恰好全部用完．(1)若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米？(2)矩形框架ABCD面積最大值為______平方厘米．【答案】(1)AB的長為8厘米或12厘米．(2)150【提示】（1）設(shè)AB的長為x厘米，則有厘米，然后根據(jù)題意可得方程，進而求解即可；（2）由（1）可設(shè)矩形框架ABCD的面積為S，則有，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進行求解．（1）解：設(shè)AB的長為x厘米，則有厘米，由題意得：，整理得：，解得：，∵，∴，∴都符合題意，答：AB的長為8厘米或12厘米．（2）解：由（1）可設(shè)矩形框架ABCD的面積為S平方厘米，則有：，∵，且，∴當(dāng)時，S有最大值，即為；故答案為：150．【名師點撥】本題主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題干中的等量關(guān)系．考查題型八利用一元二次方程解決營銷問題題型8．（2022·山東泰安·中考真題）我國